Aufgabe 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto-x^2-x+1$ und $q: x \mapsto \mathrm e ^{-x}.$

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q^{\prime}(x)=-q(x).$

(1)

Beschreibe, wie der Graph von $\(q$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann.

(2)

Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.

(3)

Gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_0^2(q(x)-p(x))\;\mathrm d x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch.

(2 + 3 + 3 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto\left(x^2-x-1\right) \cdot \mathrm e ^{-x}.$

(1)

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen.

(2)

(i)

Zeige: $h^{\prime}(x)=\left(-x^2+3 x\right) \cdot \mathrm e ^{-x}.$

(ii)

Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte.

(3)

Die beiden Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ ein Rechteck $T P H Q,$ dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion $h$ in zwei Teilstücke zerlegt (siehe Abbildung 1).

Abbildung 1

Ermittle, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des markierten Teilstücks einnimmt.

(3 + 6 + 6 Punkte)

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot\left(x^2-x-1\right) \cdot \mathrm e ^{-x}+4$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w.$

(1)

Für $x \rightarrow \infty$ gilt $w(x) \rightarrow c.$

Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

Ohne Nachweis kannst du im Weiteren $w^{\prime}(x)=\left(12 x-4 x^2\right) \cdot \mathrm e ^{-x}$ verwenden.

(2)

Es gibt zwei Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0 ; 10]$ übereinstimmt.
Ermittle eine dieser Stellen.

(3)

Bestimme denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt.

(4)

(i)

Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.

(ii)

Die Gleichung $\displaystyle \int_t^{t+3} w(x) \;\mathrm d x=13$ hat für $t \geq 0$ die Lösungen $t_1$ und $t_2$ mit $t_1 \approx 0,8$ und $t_2 \approx 4,4.$

Interpretiere die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang.

(2 + 3 + 3 + 4 Punkte)

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(1)

Der Graph von $\(q$ kann aus dem Graphen von $q$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse erzeugt werden.

(2)

1. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes ermitteln

Da der gemeinsame Punkt $P$ auf der $y$ -Achse liegt, gilt $x_P=0:$

$y_P = q(0) = \mathrm e^0 =1$

Die Koordinaten des gemeinsamen Punktes lauten $P(0 \mid 1).$

2. Schritt: Nachweis der gemeinsamen Tangente

Damit die Graphen von $f$ und $g$ eine gemeinsame Tangente im Punkt $P$ haben, müssen sie in diesem Punkt die gleiche Steigung haben. Die Steigungen werden mit der jeweiligen ersten Ableitungsfunktion berechnet.

$\(p$

$\(q$

Mit $\(p$ und $\(q$ liegt in $P$ eine gemeinsame Tangente vor.

3. Schritt: Gleichung der gemeinsamen Tangente angeben

$t: y = m\cdot x + b$

Für die Steigung der Tangente gilt $\(m=p$

Da $P$ auf der $y$ -Achse liegt, folgt $b=y_P=1.$

Die Gleichung der Tangente lautet somit $t(x)= -x+1.$

(3)

Wert des Integrals angeben

Mit dem GTR ergibt sich:

$\displaystyle\int_0^2(q(x)-p(x)) \;\mathrm d x \approx 3,53$

Geometrische Interpretation

Die Fläche, die die Graphen von $p$ und $q$ sowie die Gerade mit der Gleichung $x=2$ einschließen, hat einen Inhalt von ca. 3,53 Flächeneinheiten.

(1)

1. Schritt: Schnittstellen des Graphen von $h$ mit der $x$ -Achse bestimmen

Die Nullstellen von $h$ können aus der Darstellung des Graphen von $h$ mittels GTR abgelesen werden.

Alternativ wird die Gleichung $h(x)=0$ mit dem solve-Befehl des GTRs gelöst.

Es ergeben sich $x_1 \approx -0,62$ und $x_2 \approx 1,62.$

2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x) \;\mathrm d x\right| \\[5pt] &=&\left|\displaystyle\int_{-0,62}^{1,62} h(x) \;\mathrm d x\right| \end{array}$

Der Wert des Integrals ergibt sich mit dem GTR und somit auch die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen: $A \approx 1,28 \;\text{[FE]}$

(2)

(i)

Anwendung von Produkt- und Kettenregel:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

(ii)

Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Es ist stets $\mathrm e^{-x} \neq 0,$ somit folgen nach dem Satz vom Nullprodukt $x=0$ und $x=3$ als Lösungen der Gleichung.

Da $h^{\prime}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln. Damit kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen verzichtet werden.

Die Koordinaten der Extrempunkte folgen zu $T(0 \mid h(0))=T(0 \mid -1)$ und $H(3 \mid h(3)) = H(3 \mid 5\mathrm e^{-3}).$

Abstand der Extrempunkte berechnen

Hilfsskizze zum besseren Verständnis

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& 3^2+(5\mathrm e^{-3}+1)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] d&=& \sqrt{3^2+(5\mathrm e^{-3}+1)^2} \\[5pt] &\approx & 3,25 \;\text{[LE]} \end{array}$

(3)

1. Schritt: Flächeninhalt des Rechtecks $\boldsymbol{TPHQ}$ bestimmen

Aus den Längen der Seiten folgt:

$A_{TPHQ}=3 \cdot\left(5 \mathrm e ^{-3}+1\right) \approx 3,75\;\text{[FE]}$

2. Schritt: Flächeninhalt des markierten Teilstücks bestimmen

Markiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der Geraden mit der Gleichung $y=-1$ über dem Intervall $[0;3].$

Ihr Inhalt entspricht dem Wert folgenden Integrals, welches mit Hilfe des GTRs bestimmt wird:

$\displaystyle \int_0^3(h(x)-(-1)) \;\mathrm d x \approx 2,40$

3. Schritt: Anteil ermitteln

$\dfrac{2,4 \;\text{FE}}{3 \cdot\left(5 \mathrm e ^{-3}+1\right)\;\text{FE}}$ $\approx 0,641$

Somit nimmt das markierte Teilstück einen Anteil von ca. $64,1 \;\%$ an der Fläche des Rechtecks ein.

(1)

Ablesen aus Abbildung 2: Es ist $c=4.$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass sich die momentane Durchflussrate langfristig einem Wert von $4 \;\frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ annähert.

(2)

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0;10]$ entspricht $\dfrac{w(10)-w(0)}{10}.$

Gleichsetzen mit der momentanen Änderungsrate:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich $x_3 \approx 0,04.$

(Alternative Lösung: $x_4 \approx 2,51$ )

(3)

Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_w$ des Graphen von $w$ vor, für die $x_w\gt 3$ gilt.

Diese kann dem Graphen von $\(w$ mit Hilfe des GTRs entnommen werden. Die Analyse des Graphen von $w^{\prime}$ ergibt die Koordinaten des zugehörigen Tiefpunkts zu $T(4,3 \mid-0,303).$

Damit liegt die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr 4,3 Sekunden nach Beobachtungsbeginn vor.

(4)

(i)

$\displaystyle\int_0^2 w(t) \;\mathrm d t \approx 4,75$

In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $4,75 \;\text{m}^3$ Wasser an der Messstelle vorbei.

(ii)

Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13\;\text{m}^3$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.

Das heißt: Von etwa $0,8 \;\text{s}$ bis $3,8 \;\text{s}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $4,4 \;\text{s}$ bis $7,4 \;\text{s}$ nach Beobachtungsbeginn beträgt der Wasserdurchfluss jeweils $13\;\text{m}^3.$

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