Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3} x.$ Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0 \mid 0).$

(1)

Begründe, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen.

(2)

Für jedes $b \in \mathbb{R} , b\gt0$ , gilt $\displaystyle \int_{-b}^b f(x) \;\mathrm d x=0.$

Erkläre dieses Ergebnis.

(3)

$G_f$ hat zwei Extrempunkte.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ ist.

(4)

Bestimme eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6)).$

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $t: y=\dfrac{8}{3} x-16.\bigg]$

(5)

(i)

Die Tangente $t$ hat mit $G_f$ neben $P$ nur den Punkt $Q(-12 \mid f(-12))$ gemeinsam.

Gib die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=f(x)-\left(\frac{8}{3} x-16\right)$ an und berechne den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen.

(ii)

Die von $G_f$ und $t$ eingeschlossene Fläche wird durch die $y$ -Achse in zwei Teilflächen unterteilt.

Ermittle den Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche.

(3 + 2 + 3 + 3 + 7 Punkte)

Aus $G_f$ werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

Spiegeln an der $x$ -Achse.
Verschieben um 6 in positive $x$ -Richtung.
Verschieben um 14 in positive $y$ -Richtung.

Jeder Schritt wird genau einmal ausgeführt, nur die Reihenfolge kann verändert werden. Es wird jeweils nur der neue Graph nach Ausführung aller drei Schritte betrachtet.

Gib an, wie viele verschiedene neue Graphen aus $G_f$ auf diese Art erzeugt werden können.

Begründe deine Angabe.

(4 Punkte)

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe c) betrachteten Funktion $g.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$g(x)=-\dfrac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \leq x\lt 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

Abbildung 1

(1)

Ermittle, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über $15^{\circ} C$ liegt.

(2)

Gib die Wendestelle von $g$ an.

Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur.

(3)

Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12} \vee x=6+\sqrt{12}$

$g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6,2$

Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(4)

Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

Abbildung 2

(i)

Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit

$h(x)=a \cdot x^4+b \cdot x^3+c \cdot x^2+d \cdot x+e,$ $x \in \mathbb{R},$ $a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$

modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in ${ }^{\circ} C$ sein.

(ii)

Bei der Modellierung mit der Funktion $h$ sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x=1$ vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^{\circ} C$ liegt bei $x=7$ vor. Bei $x=10,5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $-4,2^{\circ} C$ pro Monat am schnellsten ab.

Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a, b, c, d$ und $e$ auf.

[Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.]

(2 + 2 + 4 + 5 Punkte)