Aufgabe 3

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $K$ mit den Eckpunkten $A_1, A_2, A_3, A_4, B_1, B_2, B_3$ und $B_4$ hat folgende Eigenschaften:

$A_1 A_2 A_3 A_4$ ist ein Rechteck in der $x_1 x_2$ -Ebene, $B_1 B_2 B_3 B_4$ ist ein Rechteck in einer zur $x_1 x_2$ -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke $A_2 A_3 B_3 B_2$ und $A_1 A_4 B_4 B_1$ liegen in Ebenen, die parallel zur $x_1 x_3$ -Ebene verlaufen.

Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch

$A_1(50 \mid -5\mid 0)$

$A_2(50\mid 5\mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid 5\mid 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid -5\mid 0\right)$

$B_2(10\mid 5\mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\mid 5\mid 30\right)$

Abbildung 1

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $B_1$ an.

(2)

Begründe, dass die Seitenfläche $A_2 A_3 B_3 B_2$ ein Trapez ist, und berechne das Volumen des Körpers $K.$

(3)

Berechne den Winkel zwischen $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}.$

(1 + 4 + 2 Punkte)

Der Körper $K$ ist Teil eines mathematischen Modells eines Architekturbüros zur Planung eines neuen Hotels, das aus drei Gebäuden bestehen soll, die jeweils die gleiche Form besitzen (siehe Abbildung 2). Durch den Körper $K$ wird Gebäude I modelliert, die Gebäude II und III sind gegenüber Gebäude I jeweils um $120^{\circ}$ gedreht. Alle drei Gebäude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der $x_1 x_2$ -Ebene.

Abbildung 2

Abbildung 3 zeigt das Modell des Hotels von oben.

Abbildung 3

Der Innenhof $A_4 A_3 P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

(1)

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P.$

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \mid 0 \mid 0\right) \approx P(-5,77\mid 0 \mid 0).\bigg]$

(2)

Berechne den Abstand von $A_4$ zum Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$

(4 + 2 Punkte)

(1)

Begründe, dass es sich bei $E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50 \\ -5 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right),$ $r, s \in \mathbb{R}$ , um die Ebene handelt, in der die Fläche $A_1 A_2 B_2 B_1$ liegt.

(2)

In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S(0\mid 0 \mid 35)$ liegt. Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r}=\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$ besitzen.

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_1 A_2 B_2 B_1$ liegt.

(3 + 4 Punkte)

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(1)

$B_1(10\mid -5 \mid 30)$

(2)

Trapezform begründen

Anhand der $x_2$ - und $x_3$ -Koordinaten der Punkte der Seitenfläche $A_2 A_3 B_3 B_2$ wird auf $\overline{A_2 A_3} \| \overline{B_2 B_3}$ geschlossen.

Somit handelt es sich um ein Trapez.

Seitenlängen und Volumen berechnen

$\left|\overline{A_2 A_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_2 A_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0}-\pmatrix{50\\5\\0}\right|$ $=50-\dfrac{\sqrt{75}}{3}$ $\approx 47,11 \;\text{[LE]}$

$\left|\overline{B_2 B_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{B_2 B_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30}-\pmatrix{10\\5\\30}\right|$ $=10-\dfrac{\sqrt{75}}{3}$ $\approx 7,11\;\text{[LE]}$

$\left|\overline{A_3 B_3}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_3 B_3}\right|$ $=\left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\30}-\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\5\\0}\right|= 30\;\text{[LE]}$

$\left|\overline{A_1 A_2}\right|$ $=\left|\overrightarrow{A_1 A_2}\right|$ $=\left|\pmatrix{50\\5\\0 }-\pmatrix{50\\-5\\0}\right|=10\;\text{[LE]}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text {Körper }}&=& A_{\text {Trapez }} \cdot h \\[5pt] &=& \frac{\left(\left|\overline{A_2 A_3}\right|+\left|\overline{B_2 B_3}\right|\right) \cdot\left|\overline{A_3 B_3}\right|}{2} \cdot\left|\overline{A_1 A_2}\right| \\[5pt] &\approx& 8134 \;\text{[VE]} \end{array}$

(3)

$\cos (\alpha)$ $=\dfrac{\overrightarrow{A_2 A_3} \cdot \overrightarrow{A_2 B_2}}{\mid \overrightarrow{A_2 A_3|\cdot| \overrightarrow{A_2 B_2} \mid}}$ $\approx \dfrac{\left(\begin{array}{c}-47,11 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}-40 \\ 0 \\ 30\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}-47,11 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}-40 \\ 0 \\ 30\end{array}\right)\right|}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\alpha)&\approx&\dfrac{1884,4}{2355,5} \\[5pt] &\approx & 0,8 &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 36,87^{\circ} \end{array}$

(1)

Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_1$ -Achse liegen.

Die Seiten des Dreiecks $A_4 A_3 P$ besitzen eine Länge von $\left|\overline{A_3 A_4}\right|=10\;\text{[ LE ]}.$

Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{10}{2}\right)^2+h^2&=&10^2 &\quad \scriptsize \mid\;-5^2 \\[5pt] h^2&=& 75 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h&=& \sqrt{75} \\[5pt] &=&5 \cdot \sqrt{3}\;\text{[LE]} \end{array}$

Hilfsskizze zum besseren Verständnis

Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{A_3A_4}$ hat die $x_1$ -Koordinate $\frac{\sqrt{75}}{3}.$

Für die $x_1$ -Koordinate $p_1$ von $P$ gilt somit:

$p_1=\dfrac{\sqrt{75}}{3}-\sqrt{75}=-\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}.$

Die gesuchten Koodinaten ergeben sich zu:

$P\left(-\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}\mid 0 \mid 0\right) \approx P(-5,77\mid 0\mid 0)$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{O A_4}\right|&=& \left|\pmatrix{\frac{\sqrt{75}}{3}\\-5\\0}\right| \\[5pt] &=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{75}}{3}\right)^2+(-5)^2 + 0^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \\[5pt] &\approx & 5,77\;\text{[LE]} \end{array}$

(1)

Es gilt:

$E: \vec{x}=\overrightarrow{O A_1}+r \cdot \overrightarrow{A_1 A_2}+s \cdot \overrightarrow{A_1 B_2}$

$E$ enthält die Punkte $A_1, A_2$ und $B_2$ und damit auch $B_1$ .

(2)

Eine Geradengleichung durch Punkt $S$ mit Richtungsvektor $\vec{r}$ aufstellen:

$k: \vec{x}= \pmatrix{0\\0\\35}+q\cdot \pmatrix{6\\0\\-2}$ mit $q \in \mathbb{R}$

Durch Gleichsetzen werden die Koordinaten des Schnittpunkts $Q$ von $E$ und $k$ berechnet:

Rechenweg anzeigen

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -40s -6q &=& -50 \\ \text{II}\quad& 10r +10s &=& 5 \\ \text{III}\quad& 30s+2q &=& 35 \\ \end{array}$

Aus $\text{I}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -40s -6q &=& -50 &\quad \scriptsize \mid\; + 6q\\[5pt] -40s &=& -50 +6q &\quad \scriptsize \mid\; :(-40)\\[5pt] s &=& \dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{20}q \end{array}$

Einsetzen in $\text{III}:$

$\begin{array}[t]{rll} 30\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{3}{20}q \right)+2q &=& 35 \\[5pt] \dfrac{150}{4} - \dfrac{5}{2}q &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] 150 - 10q &=& 140 &\quad \scriptsize \mid\; -150 \\[5pt] -10q &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; :(-10)\\[5pt] q&=& 1 \end{array}$

Weiterhin ergeben sich durch einsetzen in die beiden anderen Gleichungen $s= \dfrac{11}{10}$ und $r=-\dfrac{3}{5}.$

Einsetzen in die Geradengleichung $k$ ergibt die Koordinaten des Schattenpunktes $Q$ der Mastspitze:

$\overrightarrow{OQ}= \pmatrix{0\\0\\35}+1\cdot \pmatrix{6\\0\\-2}$ $= \pmatrix{6\\0\\33}$

$Q(6 \mid 0 \mid 33)$

Die $x_3$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30.$ Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_1 A_2 B_2 B_1.$

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