Analysis 2

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 5 \cdot \left(\mathrm{e}^{-0,3x} - \mathrm{e}^{-4x}\right)$ modelliert für $0 \leq x \leq 12$ die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Stunden $(\text{h})$ nach der Einnahme des Medikamentes und $f(x)$ die Konzentration im Blut in Milligramm pro Liter $\left( \dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}\right)$ .

Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass $\(f$ gilt.

Berechne die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8 \frac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ annimmt.
Bestimme, wie lange die Konzentration mindestens $0,5 \frac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ beträgt.

(6 Punkte)

Bestimme $\(f$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

(2 Punkte)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt.

(3 Punkte)

Die Konzentration im Blut sollte möglichst eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten sein.
Ermittle, wie viele Stunden vor dem Schlafengehen das Medikament optimalerweise eingenommen werden sollte.

(4 Punkte)

Für $1 \leq x \leq 12$ hat die Gleichung $f(x)= \dfrac{1}{2} f(x-1)$ keine Lösung.
Interpretiere diese Aussage im Sachkontext.

(2 Punkte)

Untersuche, ob es ein Zeitintervall $[x\; ; 12]$ gibt, in dem die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration so groß ist wie die momentane Änderungsrate der Konzentration 0,75 Stunden nach der Einnahme.

(4 Punkte)

Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben.
Ermittle die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme.
Die Gesamtkonzentration soll $6 \frac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ nicht übersteigen.
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.

(6 Punkte)

Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass die Konzentration ab einem bestimmten Zeitpunkt $z$ durch die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(z \mid f(z))$ beschrieben werden kann.

Bestimme für $z=5$ den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell Null ist.

(4 Punkte)

Untersuche, ob es nach dieser vereinfachten Modellierung einen Zeitpunkt $z$ gibt, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist.

(4 Punkte)

(35 Punkte)

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Konzentration eine Stunde nach Einnahme berechnen

Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme in $\dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ ist gegeben durch $f(1 ) \approx 3,6.$

Zeitpunkt angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2,8 & \\[5pt] 5 \cdot\left(\mathrm{e}^{-0,3 x}-\mathrm{e}^{-4 x}\right)&=& 2,8 \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Mit dem GTR folgt $x_1=0,25$ und $x_2=1,93.$

Die Konzentration nimmt folglich nach einer Viertelstunde zum ersten Mal den Wert $2,8 \dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ an.

Zeitraum bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0,5 & \\[5pt] 5 \cdot\left(\mathrm{e}^{-0,3 x}-\mathrm{e}^{-4 x}\right)&=& 0,5& \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Mit dem GTR ergeben sich die Schnittstellen $x_1\approx 0,03$ und $x_2\approx 7,7.$

Da $f(x) \gt 0,5$ für $x_1 \lt x \lt x_2$ gilt, beträgt die Konzentration ungefähr $7,7-0,03 = 7,67$ Stunden mindestens $0,5 \dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}.$

Rechnung anzeigen

$\( f$

Nach einer halben Stunde nimmt die Konzentration im Blut um etwa $1,42 \; \dfrac{\,\text{mg}}{\,\text{l}}$ pro Stunde zu.

Der Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt, entspricht der Stelle, an welcher der Graph von $\(f$ sein Minimum annimmt.

Mit dem GTR ergibt sich hierfür:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

An der Stelle $x\approx 1,4$ ist der Wert von $\(f$ minimal. Folglich ist der Zeitpunkt der stärksten Abnahme etwa $1,4$ Stunden nach der Einnahme erreicht.

Mit dem GTR kann der Zeitpunkt der maximalen Konzentration graphisch bestimmen werden:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Die Extremstelle liegt bei $x_E \approx 0,7.$

Damit die Konzentration also eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten ist, muss das Medikament ca. $1,7$ Stunden davor eingenommen werden.

Im Zeitraum zwischen der ersten und der zwölften Stunde gibt es keinen Zeitpunkt, an dem die Konzentration halb so groß ist wie eine Stunde zuvor.

Die momentane Änderungsrate 0,75 Stunden nach der Einnahme ist gegeben durch $\(f$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann durch $\dfrac{f(x)-f(12)}{x-12}$ berechnet werden.

Mit $f(12)\approx0,14$ folgt:

Rechnung anzeigen

$5 \cdot (\mathrm{e}^{-0,3x} - \mathrm{e}^{-4x}) = -0,2x+2,54$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Gleichung besitzt die Lösung $x \approx 0,2.$

Ein solches Zeitintervall existiert also.

Gesamtkonzentration eine Stunde nach Einnahme bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(1)+f(5)&=& 3,6 + 1,1 & \\[5pt] &=& 4,7 \end{array}$

Einhaltung der Vorgabe untersuchen

Es muss gelten:

$g(x)=f(x)+f(x-4) \lt 6$ für $x \geq 4 .$

Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion $g$ beschrieben:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Die Funktion nimmt den maximalen Wert $y_{\text{max}} \approx 4,98 \lt 6$ an.

Somit wird die Vorgabe eingehalten.

1. Schritt: Koordinaten des Punkts $P$ bestimmen

$f(5) \approx 1,12$

Die Koordinaten des Punktes $P$ sind damit gegeben durch $(5 \mid 1,12).$

2. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Die allgemeine Tangentengleichgung lautet $t(x) = mx +b.$

Steigung berechnen:

$\(m=f$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1,12 &=& -0,34 \cdot 5 +b &\quad \scriptsize \mid\; +1,7 \\[5pt] 2,82&=& b \end{array}$

Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $z=5$ ist also gegeben durch $t(x)=-0,34x+2,82.$

3. Schritt: Schnittstelle mit der $x$ -Achse ermitteln

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch $x = 8,3.$ Nach diesem vereinfachten Modell ist die Konzentration also nach ungefähr $8,3$ Stunden gleich Null.