Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit

$f(x): x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+...$

Funktion anzeigen

mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$

(1)

Begründe, dass der Graph von $f$ maximal drei Extremstellen besitzt.

(2 Punkte)

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(2)

Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art der Extrempunkte.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$ ]

(8 Punkte)

$\,$

(3)

Ermittle das absolute Maximum des Graphen von $f.$

(3 Punkte)

Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Nullstellen.

Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ und gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

[Zur Kontrolle: Für die eine Nullstelle gilt $x \lt 0$ und für die andere gilt $x \lt 240.$ ]

(4 Punkte)

Der Graph der Funktion $f$ soll um $p$ Einheiten $(p\in\mathbb{R})$ nach unten verschoben werden.
Gib alle Werte vo $p$ an, für die der verschobene Graph genau drei Nullstellen besitzt.

(4 Punkte)

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der zur $y$ -Achse parallelen Geraden mit der Gleichung $x=240$ ein Flächenstück ein.

$\,$

(1)

Stelle das Flächenstück in der nachfolgenden Abbildung graphisch dar.

(2 Punkte)

$\,$

(2)

Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks.

(3 Punkte)

$\,$

(3)

Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

(4 Punkte)

Abbildung 1: Graph von $f$

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mit Hilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d.h. die Konzentration der Glukose im Blut , ständig zu messen.

Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0\leq x \leq 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{dl}} \right).$

Bestimme für den betrachteten Zeitraum $(0\leq x\leq 240)$ denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.

(6 Punkte)

Es gibt Zeitpunkte, an denen sich der Glukosewert um $-0,5\,\dfrac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute verändert.
Bestimme alle Zeitpunkte im betrachteten Zeitraum, an denen eine solche Veränderung auftritt.

(4 Punkte)

(1)

$\blacktriangleright$ Maximale Anzahl der Extremstellen begründen

$f$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Das bedeutet, dass die erste Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist. Eine ganzrationale Funktion kann maximal so viele Nullstellen besitzen, wie ihr Grad angibt. $f‘$ kann also maximal drei Nullstellen besitzen.
Das notwendige Kriterium für eine Extremstelle von $f$ ist, dass $f‘$ an dieser Stelle eine Nullstelle besitzt. Ist dies nicht der Fall, kann es sich nicht um eine Extremstelle handeln.
Da $f‘$ maximal drei Nullstellen besitzt, besitzt auch $f$ maximal drei Extremstellen.

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(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& ... \\[5pt] f‘(x) &=& ... \\[5pt] f‘‘(x) &=& ... \\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Die Gleichung $f‘(x)=0$ kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f‘$ anzeigen lässt und die Nullstellen bestimmst:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& 20\\[5pt] x_2 &=& 100 \\[5pt] x_3 &=& 200\\[5pt] \end{array}$

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Mögliche Extremstellen besitzt $f$ also bei $x_1=20,$ $x_2=100$ und $x_3=200.$ Weitere kann es wegen Teilaufgabe a) (1) nicht geben.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(20)&=& -0,0576 \lt 0 \\[10pt] f‘‘(100)&=& 0,032 \gt 0 \\[10pt] f‘‘(200)&=& -0,072 \lt 0 \\[10pt] \end{array}$

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An den Stellen $x_1=20$ und $x_2=200$ besitzt der Graph von $f$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2=100$ einen Tiefpunkt.

4. Schritt: Fehlende Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(20)&\approx& 154,45 \\[10pt] f(100)&\approx& 106,67 \\[10pt] f(200)&\approx& 193,33 \\[10pt] \end{array}$

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Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1(20\mid \frac{11.584}{75})$ und $H_2(200\mid \frac{580}{3})$ sowie einen Tiefpunkt $T(100\mid \frac{320}{3}).$

$\,$

(3)

$\blacktriangleright$ Absolutes Maximum ermitteln

Wie oben bestimmt, besitzt der Graph von $f$ zwei lokale Maxima. Für $x\to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x\to \infty$ gilt analog $f(x)\to -\infty.$ Das absolute Maximum muss also in einem der beiden Hochpunkte liegen. Der Funktionswert in $H_2$ ist größer als der in $H_1.$
Das globale Maximum des Graphen von $f$ liegt also bei $x = 200$ und beträgt $\frac{580}{3}\approx 193,33.$

$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

Wie oben kannst du die Gleichung $f(x)=0$ mit dem GTR lösen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x_5 &\approx& -35,07 \\[5pt] x_6 &\approx& 256,61 \\[5pt] \end{array}$

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Weitere Nullstellen gibt es laut Aufgabenstellung nicht. Die Nullstellen von $f$ sind $x_5 \approx -35,07$ und $x_6 \approx 256,61.$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

$f(0)= 140.$ Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 140).$

$\blacktriangleright$ Parameterwerte angeben

Der verschobene Graph hat genau dann drei Nullstellen, wenn der Graph von $f$ so verchoben wird, dass entweder der Hochpunkt $H_1$ oder der Tiefpunkt $T$ auf der $x$ -Achse liegen.
Der verschobene Graph besitzt also für $p=f(20) = \frac{11.584}{75}$ und $p=f(100)=\frac{320}{3}$ genau drei Nullstellen.

(1)

$\blacktriangleright$ Flächenstück graphisch darstellen

Abb. 1: Flächenstück

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(2)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals bestimmt werden. Zur Berechnung des Integrals kannst du deinen GTR verwenden:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$A\approx 34.705,92$

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Der Flächeninhalt des beschriebenen Flächenstücks beträgt ca. $34.705,92\,\text{FE}.$

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(3)

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:

$\frac{1}{2} \cdot 34.705,92 = ...$

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Forme das Integral mithilfe einer Stammfunktion um, bis du deinen GTR zum Lösen verwenden kannst:

$17.352,96= ...$

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Löse die Gleichung, indem du die rechte Seite als Funktion auffasst und dir den zugehörigen Graphen anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit der Gerade zu $y = 17.352,96.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $17.352,96$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst dann $b \approx 135,46.$ Eine Gleichung der Geraden, die das Flächenstück halbiert lautet $x =135,46.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg bestimmen

Der Anstieg des Glukosewerts wird durch die erste Ableitung $f‘$ von $f$ beschrieben. Gesucht ist also das absolute Maximum von $f‘$ im Bereich $0\leq x\leq 240.$
Die lokalen Maxima von $f‘$ kannst du mit deinem GTR bestimmen, indem du dir den Graphen von

$f‘(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Du erhältst folgenden Hochpunkt des Graphen von $f‘:\,$ $H(158,74 \mid 1,35).$

Für die Intervallränder gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0)&=& 1,6 \\[5pt] f‘(240)&\approx& -4,928 \end{array}$

An der Stelle $x=240$ fällt der Glukosewert, da $f‘(240)$ negativ ist.
Der Glukosewert steigt also zu Beginn des betrachteten Zeitraums, $x=0,$ am stärksten an.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkte bestimmen

Da die Änderungsrate des Glukosewerts durch die erste Ableitung $f‘$ von $f$ beschrieben wird, sind die Zeitpunkte $x$ gesucht mit $f‘(x)= -0,5.$ Diese Gleichung kannst du wie zuvor mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $f‘$ anzeigen lässt.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& -0,5 \\[5pt] x_1&\approx& 30,64 \\[5pt] x_2&\approx& 83,05 \\[5pt] x_3&\approx& 206,31 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die beschriebene Änderung des Glukosewerts findet jeweils ca. $31$ Minuten, $83$ Minuten und $206$ Minuten nach Beobachtungsbeginn statt.

Bildnachweise [nach oben]

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