Aufgabe 1

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten	Temeratur in $\color{#ffffff}{^{\circ}\text{C}}$
0	23,0
2	54,0
4	76,9
10	76,8
15	77,3
20	76,8
40	37,9
60	26,0
80	23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f( t )= 23 + 20\cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}$

modellhaft beschrieben werden. Dabei ist die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

(1)

Gib an, welche Temperaturen die Funktion $f$ für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert.
Bestimme jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.

(4 BE)

(2)

Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ genau einen Extrempunkt hat.
Vergleiche die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.
[Zur Kontrolle: $f‘(t)= \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \cdot (20-2\cdot t)$ ]

(12 BE)

(3)

Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ für große Werte von $t$ und interpretiere diesen Verlauf im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Der Zeitabschnitt, in dem die Flüssigkeit im Produktionsprozess konstant bei $77^{\circ}C$ gehalten wird, entspricht im Modell dem Intervall, in dem die Funktion $f$ mindestens diese Temperatur liefert.

(4)

Bestimme die Zeitpunkte, zu denen dieser Zeitabschnitt beginnt und endet.
Stelle den konstanten Temperaturverlauf in diesem Zeitabschnitt in Abbildung 1 dar.

Graph zeigt eine Funktion mit Zeit t auf der x-Achse und Temperatur T(t) auf der y-Achse.

Abbuildung 1

(5 BE)

Die Steuerung des Prozesses kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \geq 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)= 23+20t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ mit $k\gt 0$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

(5)

Die in der Abbildung 2 dargestellten Graphen $A,$ $B$ und $C$ gehören jeweils zu einem der Werte $k = 0,5 ,$ $k = 2$ und $k = 5.$ Entscheide, welcher dieser Werte welchem Graphen zugeordnet werden kann.

(3 BE)

Grafik mit Kurven A, B, C und D, die verschiedene Werte über die Zeit darstellen.

Abb. 2

(6)

Begründe, dass der in der Abbildung dargestellte Graph $D$ nicht zu einer der Funktionen $f_k$ gehören kann.

(2 BE)

Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für $t \geq 20$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit

$h(t)=c+d\cdot \mathrm e^{-0,065\cdot t}$ und $c,$ $d \in\mathbb{R}$ beschreiben.

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ und die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3,5^{\circ}C$ pro Minute betragen.

(1)

Bestimme passende Werte von $c$ und $d.$

(6 BE)

(2)

Ermittle für diese Phase des Abkühlens im Intervall $[20; 80]$ denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion $f$ und der Funktion $h$ mit $c= 23,15$ und $d = 197,58$ am stärksten voneinander abweichen.
Gib die zugehörige Abweichung an.

(5 BE)

(1)

$\blacktriangleright$ Temperaturen angeben

Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 23+20\cdot 0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 0} \\[5pt] &=& 23 \\[10pt] f(2)&=& 23+20\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 2} \\[5pt] &=& 23+ 40\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}} \\[5pt] &\approx& 55,75 \end{array}$

Die Funktion $f$ liefert für den Beginn des Vorgangs eine Temperatur von $23^{\circ}C,$ zwei Minuten nach Beginn des Vorgangs ca. $55,75^{\circ}C.$ Die prozentuale Abweichung zu den gegebenen Messwerten beträgt zu Beginn des Vorgangs damit $0\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt] &=& -3,24\,\% \end{array}$

Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.

(2)

$\blacktriangleright$ Extrempunkt nachweisen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&... \\[10pt] f‘(t)&=&... \\[10pt] f‘‘(t) &=& ...\\[5pt] \end{array}$