Aufgabe 1

Flüsse treten manchmal über ihre Ufer. Zur Vermeidung solcher Überschwemmungen werden große Wasserbecken eingesetzt, sogenannte Rückhaltebecken. Droht eine Überschwemmung, so wird ein Teil des Flusswassers in das Rückhaltebecken geleitet. Dort wird das Wasser zunächst zurückgehalten und später kontrolliert in den Fluss geleitet.

Im Folgenden soll zunächst der Zufluss in und anschließend der Abfluss des Wassers aus einem Rückhaltebecken betrachtet werden.

Zur Modellierung der momentanen Zuflussrate, mit der das Wasser des Flusses während eines Beobachtungszeitraumes von $40$ Stunden in das Rückhaltebecken fließt, wird für $0\leq t\leq 40$ die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t)=7200\cdot t^2\cdot e^{-0,25\cdot t}$ , mit $t\in \mathbb{R},$

verwendet. Dabei ist $t$ die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Stunden und $f(t)$ die momentane Zuflussrate in $m^3$ Wasser pro Stunde.

In der folgenden Abbildung 1 ist der Graph von $f$ im Intervall $[0;40]$ dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ an der Stelle $t=20$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Zeige: $\(f$

(3)

Weise rechnerisch nach, dass die momentane Zuflussrate im Modell $8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn maximal ist, und gib die maximale momentane Zuflussrate an.

(3 + 3 + 7 Punkte)

Ermittle, wie viel Wasser im Beobachtungszeitraum von $40$ Stunden in das Rückhaltebecken fließt.

(4 Punkte)

Die momentane Abflussrate vom Rückhaltebecken in den Fluss im Beobachtungszeitraum wird für $0\leq t\leq 40$ durch die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(\mathrm{t})=540\cdot t^{3}\cdot e^{-0.25\cdot \mathrm{t}},$ mit $t\in \mathbb{R},$

modelliert. Dabei ist $g(t)$ die momentane Abflussrate in $m^3$ Wasser pro Stunde.
Ohne Nachweis darf verwendet werden: $\(g$

(1)

Bestimme den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, zu dem die momentane Abflussrate am stärksten zunimmt.

(2)

Bestimme den Zeitpunkt, bis zu dem seit Beobachtungsbeginn $50\,\ 000\;\mathrm{m}^{3}$ Wasser aus dem Becken fließen.

(5 + 4 Punkte)

Der Graph von $f$ und der Graph von $g$ sind in der Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

Die Funktion $d$ ist durch die Gleichung $d(t)=f(t)-g(t)$ gegeben.

(1)

Gib $d(10)$ und $d(20)$ an und interpretiere die beiden Werte im Sachzusammenhang.

(2)

Ermittle anhand von Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, bis zu dem die Wassermenge im Rückhaltebecken zunimmt und begründe dein Vorgehen.

(3)

Bestimme $\displaystyle \int_{0}^{40}d(\mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(5 + 4 + 5 Punkte)

(1)

$f(20) \approx 19405,3$

$20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Zuflussrate, mit der das Wasser in das Rückhaltebecken fließt, ca. $19405,3 \, \text{m}^3$ pro Stunde.

(2)

Mit der Produktregel und der Kettenregel ergibt sich:

$\(f$

(3)

Gesucht ist das globale Maximum der Funktion $f$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[0;40]$ . Dies kann nur an einer Nullstelle von $\(f$ oder einer Randstelle angenommen werden.

$\(f$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 7200 \cdot (-0,25 t^2 +2t) \mathrm e^{-0,25t}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Für die Nullstellen von $\(f$ gilt: $t=0$ und $t=8$ .

$f(0)=0$ und $f(8)\approx 62362,5$ .

Somit ist das Maximum bei $t=8$ . Also $8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die momentane Zuflussrate mit ca. $62362,5 \, \text{m}^3$ am größten.

$\displaystyle\int_{0}^{40}f(t)\;\mathrm dt \approx 919048$

Es fließen ca. $919048 \, \text{m}^3$ während des gesamten Beobachtungszeitraumes in das Becken.

(1)

Gesucht ist der Wendepunkt des Graphen von $g$ . Dazu kann das absolute Maximum von $\(g$ berechnet werden. Mit dem Taschenrechner ergibt sich $H(5,07 \mid 6770)$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Die momentane Zuflussrate ist folglich nach ca. $5,07$ Stunden am größten.

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{t}540t^3\cdot e^{-0,25t}\;\mathrm dt =50000$ Mit dem Taschenrechner ergeben sich $t_1 \approx -3,65$ und $t_2 \approx 5,83$ . Bis zum Zeitpunkt $t\approx 5,83$ fließen $50000$ Kubikmeter Wasser aus dem Rückhaltebecken.

(1)

$d(10) \approx 14775,3$ und $d(20)=-9702,6$

$10$ Stunden nach Beobachtungsbeginn nimmt die Wassermenge im Rückhaltebecken mit einer Rate von ca. $14775,3 \, \text{m}^3$ pro Stunde zu.

Nach $20$ Stunden nimmt die Wassermenge mit einer Rate von ca. $9703 \, \text{m}^3$ pro Stunde ab.

(2)

Die Wassermenge im Rückhaltebecken nimmt bei $t\approx 13$ zu, da ab diesem Zeitpunkt der Graph von $f$ oberhalb des Graphen von $g$ verläuft. Die momentane Zuflussrate ist größer als die momentane Abflussrate.

(3)

$\displaystyle\int_{0}^{40}d(t)\;\mathrm dt =\displaystyle\int_{0}^{40}(f(t)-g(t))\;\mathrm dt =98180,9$

Zum Ende des Beobachtungszeitraumes befinden sich ca. $98180,9$ Kubikmeter Wasser mehr im Becken als zu Beginn des Beobachtungszeitraums.