Pflichtteil
1
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
(1)
Begründe, dass der Graph von symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
(2)
Der Graph von und die 
-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(1 + 4 Punkte)
2
Gegeben sind die Punkte 
und 
(1)
Zeige, dass die Vektoren 
und 
orthogonal zueinander sind.
(2)
Gib die Koordinaten des Punktes 
an, der die Punkte 
und 
zu einem Rechteck 
ergänzt.
(3)
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks 
(2 + 1 + 2 Punkte)
3
Auf einer Spendengala wird das folgende Spiel angeboten: Für einen Einsatz von 
dreht der Spieler zweimal ein Glücksrad. Dieses besteht aus mehreren gleich großen Sektoren. 
der Sektoren sind grün eingefärbt. Für jedes Erzielen eines grünen Sektors werden dem Spieler 
ausgezahlt.
(1)
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, 
beträgt.
(2)
Begründe, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.
(2 + 3 Punkte)
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1
(1)
Der Graph von ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, da 
ein Polynom ist, welches nur ungerade Potenzen von enthält.
(2)
1. Schritt: Nullstellen bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=&0 \\[5pt]
x^3-4x&=&0 \\[5pt]
x\cdot(x^2-4)&=&0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/431d6e7da50b73c0534b08f0dd142772bff2ef4fe0bdb2a72f4ca3bf639dbe73?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt 
und weiter:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt]
x^2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt]
x_{2;3}&=&\pm2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/013ae91c31b6758e16d41fcc658e02a2bca6a8e885adbda250adf1ac5a54732c?color=5a5a5a)
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Die beiden Flächenstücke, aus denen die Fläche besteht, sind gleich groß, da nach Aufgabenteil a) punktsymmetrisch zum Urpsrung ist und eine der drei Nullstellen ist. Somit folgt für den gesuchten Flächeninhalt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&2\cdot\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=&2\cdot\left[\dfrac{1}{4} x^4-2 x^2\right]_{-2}^0 \\[5pt]
&=&2\cdot(0-(4-8)) \\[5pt]
&=&8\;[\text{FE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ec6453fda0092c15f099035770dca6432c337fdb2344cd973c669b313a451bf5?color=5a5a5a)
2
3
(1)
(2)
Für den Erwartungswert der Auszahlung für den Spieler gilt:
Da die erwartete Auszahlung geringer als der Einsatz ist, kann der Veranstalter der Spendengala erwarten, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.