A1

Eine Funktion $g$ ist gegeben durch die Gleichung $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-6x+5,$ $x\in\mathbb{R}.$

(1)

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an.

(2)

Berechne die Extremstellen von $g$ und die Art der Extremstellen.

(1 + 4 Punkte)

Gegeben sind die Funktion $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=(x-3)\cdot\mathbb{e}^x,$ $x\in\mathbb{R},$ $g(x)=x-3,$ $x\in\mathbb{R}.$

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktion $f$ und $g.$

Abbildung

(1)

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an.

(2)

Zeige: $D(x)=(4-x)\cdot\mathbb{e}^x+0,5\cdot x^2-3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot\mathbb{e}^x.$

(3)

Ermittle den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird.

(1 + 2 + 2 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2.$

Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m\lt0,$ für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

(5 Punkte)

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\1\\-1}+r\cdot\pmatrix{1\\1\\-2},$ $r\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\4}+s\cdot\pmatrix{4\\2\\3}+t\cdot\pmatrix{2\\0\\1},$ $s, t \in \mathbb{R}.$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E.$

(5 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 0)$ , $B(8\mid 6\mid 0)$ , und $C(4\mid 3\mid z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.

(1)

Zeige, dass es sich beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline {AB}$ handelt.

(2)

Das Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $35$ . Bestimme den Wert von $z$ .

(2 + 3 Punkte)

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(1)

Die Ableitung der Funktion lautet: $\(g$

(2)

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+6} & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+6} & \\[5pt] x_1&=&3 \\[5pt] x_2&=&-2 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Die zweite Ableitung der Funktion lautet: $\(g$

$\(g$

An der Stelle $x_1$ befindet sich ein Minimum und an der Stelle $x_2$ ein Maximum.

(1)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\\[5pt] (x-3)\cdot \mathrm e^x&=&x-3 & \\[5pt] \end{array}$

Für $x\neq 3$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} (x-3)\cdot \mathrm e^x&=&x-3 & \quad \scriptsize \mid\;:(x-3) \\[5pt] \mathrm e^x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] x_1&=&0 \end{array}$

Überprüfen für $x= 3$ :

$\begin{array}[t]{rll} (3-3)\cdot \mathrm e^3&=&3-3 &\\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $x_1=0$ und $x_2=3$ .

(2)

Die Ableitung der Funktion $D(x)$ kann mit der Produktregel bestimmt werden.

$\(\begin{array}[t]{rll} D$

$d$ ist also eine Ableitung von $D$ , womit $D$ eine Stammfunktion von $d$ ist.

(3)

Rechenweg anzeigen

$A=\mathrm e^3-8,5 \; \,\text{[FE]}$

Der Flächeninhalt der Fläche der von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlosen wird, beträgt $A=\mathrm e^3-8,5 \;\text{[FE]}$ .

Die gesuchte Fläche wird von den Graphen der beiden Funktionen und deren Schnittstellen eingegrenzt.

1. Schritt: Bestimmung der Schnittstellen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&y \\[5pt] x^2&=&m\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;-m\cdot x \\[5pt] x^2-m\cdot x&=&0 &\\[5pt] x \cdot (x-m)&=&0&\\[5pt] \end{array}$

Mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt kann die Gleichung mit $x_1=m$ und $x_2=0$ gelöst werden.

2. Schritt: Berechnung des Flächeninhalts der eingeschlossenen Fläche

Rechenweg anzeigen

$A=-\dfrac{1}{6} m^3$

3. Schritt: Bestimmung von $m$

$\begin{array}[t]{rll} A&=&36\\[5pt] -\dfrac{1}{6}m^3&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-6)\\[5pt] m^3&=&-6^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] m&=&-6 \end{array}$

Um die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ zu bestimmen müssen $g$ und $E$ gleichgesetzt werden.

$\pmatrix{2\\1\\-1}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2}$ $=\pmatrix{0\\1\\4} +s\cdot\pmatrix{4\\2\\3}+t\cdot\pmatrix{2\\0\\1}$

Hieraus kann ein LGS aufgestellt und gelöst werden.

Rechenweg anzeigen

$\(\text{II$ in $\(\text{I$ :

$\begin{array}[t]{rll} 1+s-2s&=&t \\[5pt] 1-s&=&t \end{array}$

$t$ und $r$ in $\text{III}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -1-4s&=&4+3s+1-s &\quad \scriptsize \mid\;+1-2s \\[5pt] -6s&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] s&=&-1 &\\[5pt] \end{array}$

$s$ in $t$ und $r$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&2 \\[5pt] r&=&-2 \end{array}$

Somit ist die Lösung des LGS:

$\mathbb{L}={(-2;-1;2)}$

Die berechneten Parameter können in die Geradengleichung oder die Ebenengleichung zur Berechnung des Schnittpunktes eingesetzt werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\pmatrix{2\\1\\-1}-2\cdot \pmatrix{1\\1\\-2} &\\[5pt] &=&\pmatrix{0\\-1\\3} \end{array}$

Somit sind die Koordinaten des Schnittpunktes $D(0|-1|3)$ .

(1)

Die Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck ist, dass mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Damit die Seite $\overline{AB}$ die Basis ist, müssen $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ gleich lang sein.

$|\overrightarrow{BC}|=\pmatrix{-4\\-3\\z}$

$|\overrightarrow{AC}|=\pmatrix{4\\3\\z}$

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{BC}|&=&|\overrightarrow{AC}|\\[5pt] \sqrt{(-4)^2+(-3)^3+z^2}&=&\sqrt{4^2+3^3+z^2}\\[5pt] \sqrt{25+z^2}&=&\sqrt{25+z^2} \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline{AB}$ .

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich über die folgende Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MC} \right| \\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ von $\overline{AB}$ ergeben sich als:

$M(4\mid 3 \mid 0)$

Daraus ergibt sich:

$\overrightarrow{MC}=\pmatrix{0\\0\\z}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{8\\6\\0} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\0\\z} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{8^2+6^2}\cdot \sqrt{z^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 10z \\[5pt] &=& 5z \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ soll den Wert $35$ annehmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&35 \\[5pt] 5z&=&35 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] z&=&7 \end{array}$

Für $z=7$ ist der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $35$ .

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