Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3} x.$ Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0 \mid 0).$

(1)

Begründe, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen.

(2)

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle \int_{-b}^b f(x) \;\mathrm d x,$ $b \in \mathbb{R} , b\gt0$ und erkläre das Ergebnis.

(3)

$G_f$ hat zwei Extrempunkte.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ ist.

(4)

Bestimme eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6)).$

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $t: y=\dfrac{8}{3} x-16.\bigg]$

(5)

(i)

Ermittle den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen.

(ii)

Die von $G_f$ und $t$ eingeschlossene Fläche wird durch die $y$ -Achse in zwei Teilflächen unterteilt.

Ermittle den Anteil der linken Teilfläche an der von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Gesamtfläche.

(3 + 3 + 3 + 3 + 6 Punkte)

Aus $G_f$ werden in drei Schritten neue Graphen erzeugt. Die drei Schritte sind:

Spiegeln an der $x$ -Achse.
Verschieben um 6 in positive $x$ -Richtung.
Verschieben um 14 in positive $y$ -Richtung.

Jeder Schritt wird genau einmal ausgeführt, nur die Reihenfolge kann verändert werden. Es wird jeweils nur der neue Graph nach Ausführung aller drei Schritte betrachtet.

Gib an, wie viele verschiedene neue Graphen aus $G_f$ auf diese Art erzeugt werden können.

Begründe deine Angabe.

(4 Punkte)

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe c) betrachteten Funktion $g.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$g(x)=-\dfrac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \leq x\lt 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

Abbildung 1

(1)

Ermittle, wie lange die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort innerhalb eines Jahres über $15^{\circ} C$ liegt.

(2)

Gib die Wendestelle von $g$ an.

Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur.

(3)

Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12} \vee x=6+\sqrt{12}$

$g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6,2$

Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(4)

Für einen anderen Ort ist der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres in Abbildung 2 modellhaft dargestellt.

Abbildung 2

(i)

Begründe, dass eine ganzrationale Funktion zur Modellierung des in Abbildung 2 dargestellten Verlaufs mindestens den Grad 4 haben sollte.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit

$h(x)=a \cdot x^4+b \cdot x^3+c \cdot x^2+d \cdot x+e, x \in \mathbb{R},$ $a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$

modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in ${ }^{\circ} C$ sein.

(ii)

Bei der Modellierung mit der Funktion $h$ sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x=1$ vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^{\circ} C$ liegt bei $x=7$ vor. Bei $x=10,5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $-4,2^{\circ} C$ pro Monat am schnellsten ab.

Stelle aus diesen Bedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung von $a, b, c, d$ und $e$ auf.

[Eine Berechnung der Werte muss nicht durchgeführt werden.]

(2 + 2 + 4 + 5 Punkte)

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(1)

$G_f$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes $(0 \mid 0),$ da der Funktionsterm von $f$ ganzrational ist und ausschließlich Potenzen von $x$ mit ungeradzahligen Exponenten enthält.

Koordinaten der Schnittpunkte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3} x &=& 0 \end{array}$

Mit dem CAS ergeben sich $x_1=-6,$ $x_2=0$ und $x_3=6$ als Lösungen der Gleichung.

Damit sind die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu $(-6 \mid 0)$ , $(0 \mid 0)$ und $(6 \mid 0)$ bestimmt.

(2)

$\displaystyle \int_{-b}^b f(x) \;\mathrm d x$ $=\displaystyle \int_{-b}^0 f(x) \;\mathrm d x + \displaystyle \int_{0}^b f(x) \;\mathrm d x$ $=0$

Aufgrund der Punktsymmetrie von $G_f$ zum Ursprung existiert zu jedem Flächenstück, das im Intervall $[-b ; 0]$ zwischen $G_f$ und der $x$ -Achse liegt, ein gleich großes Flächenstück, das im Intervall $[0 ; b]$ zwischen $G_f$ und der $x$ -Achse liegt und sich auf der entgegengesetzten Seite der $x$ -Achse befindet. Diese orientierten Flächeninhalte heben sich gegeneinander auf.

(3)

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{9} x^2-\dfrac{4}{3}$

$f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{2}{9} x$

2. Schritt: Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt überprüfen

Mit $f^{\prime}(\sqrt{12})=\dfrac{1}{9} \sqrt{12}^2-\dfrac{4}{3}=0$ ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle erfüllt.

Mit $f^{\prime \prime}(\sqrt{12})=\dfrac{2}{9} \sqrt{12}$ $\gt 0$ ist die hinreichende Bedingung erfüllt und bestätigt, dass ein Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ existiert.

(4)

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an $G_f$ im Punkt $P$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $P(6\mid f(6))$ , also $\(m = f$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $P(6\mid f(6)),$ also $t(6)=f(6)=0.$

Also gilt für die Steigung:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $P$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\dfrac{8}{3}\cdot 6 +b &\quad \scriptsize \mid\;-16\\[5pt] -16&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente folgt mit $t: \; y = \dfrac{8}{3}x -16.$

(5)

(i)

1. Schritt: Schnittstellen von $f$ und $t$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& t(x) \\[5pt] \dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{4}{3}x&=& \dfrac{8}{3} x-16 \end{array}$

Neben $x=6$ ergibt sich $x=-12$ als weitere Schnittstelle.

2. Schritt: Inhalt der Fläche ermitteln

$d(x)=\left(f(x)-\left(\dfrac{8}{3} x-16\right)\right)$

Der Wert des folgenden Integrals wird mittels CAS bestimmt:

$\displaystyle\int_{-12}^{6}d(x)\;\mathrm dx = 324$

Der Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, beträgt $324 \;\text{FE}.$

(ii)

Auch hier ist $d(x)=\left(f(x)-\left(\dfrac{8}{3} x-16\right)\right).$

Inhalt der Teilfläche, die $G_f$ und $t$ links von der $y$ -Achse mit der $x$ -Achse einschließen:

$\displaystyle\int_{-12}^0 d(x) \;\mathrm d x =288$

Anteil ermitteln

$\dfrac{\displaystyle\int_{-12}^0 d(x) \;\mathrm d x}{\displaystyle \int_{-12}^6 d(x) \;\mathrm d x}$ $=\dfrac{288}{324}$ $=\dfrac{8}{9}[\approx 0,889=88,9 \%]$

Der Anteil der linken Teilfläche an der Gesamtfläche beträgt $\dfrac{8}{9}$ .

Das Ergebnis der Veränderung ist unabhängig von der Position der Verschiebung in $x$ -Richtung. Wesentlich ist nur die Reihenfolge der beiden anderen Schritte. Abhängig davon geht beispielsweise der Wendepunkt $(0 \mid 0)$ durch die drei Schritte entweder in $(6 \mid 14)$ oder $(6 \mid-14)$ über. Folglich entstehen zwei verschiedene neue Graphen.

(1)

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 15 \\[5pt] -\dfrac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14&=& 15 \end{array}$

Es ergeben sich drei Lösungen: $x_1 \approx-0,344$ , $x_2 \approx 6,762$ und $x_3 \approx 11,582$

$x_1$ liegt außerhalb des Modellierungsbereichs.

Unter Verwendung von Abbildung 1 gilt damit: Zwischen $x_2$ und $x_3$ und damit über einen Zeitraum von ca. fünf Monaten liegt die Tagesdurchschnittstemperatur über $15^{\circ} C.$

(2)

Die Wendestelle liegt bei $x=6.$

Die Wendestelle gibt an, wann die Tagesdurchschnittstemperatur im Modell am stärksten zunimmt.

(3)

Mögliche Aufgabenstellung

Ermittle die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.

Erläuterung

In der ersten Zeile werden die möglichen Extremstellen von $g$ bestimmt. Anhand von Abbildung 1 wird ersichtlich, dass diese Stellen tatsächlich absolute Extremstellen im Modellierungsbereich sind.

In der zweiten Zeile wird die Differenz zwischen den zugehörigen Funktionswerten berechnet.

(4)

(i)

In Abbildung 2 sind zwei Wendestellen zu erkennen, was bei einer ganzrationalen Funktion mindestens den Grad 4 erfordert.

(ii)

Aus dem Sachzusammenhang folgt:

$\begin{vmatrix} h^{\prime}(1)=0 \\[5pt] h(7)=17 \\[5pt] h^{\prime}(7)=0 \\[5pt] h^{\prime}(10,5)=-4,2 \\[5pt] h^{\prime \prime}(10,5)=0 \end{vmatrix}$

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