Aufgabe 2

Das Jagdverhalten von Raubkatzen in der freien Wildbahn ist gekennzeichnet durch eine hohe Anfangsbeschleunigung. Darauf folgt eine kurze Phase mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, bevor die Geschwindigkeit wieder abfällt.
Die Geschwindigkeit eines Tigers bei einem Jagdvorgang aus der Ruheposition heraus wird für $0\leq t\leq 10$ zunächst ohne Berücksichtigung der Phase mit konstanter Geschwindigkeit modelliert. Dazu wird für $0\leq t\leq 10$ die Funktion $f$ mit

$f(t)= 0,0808 \cdot t^3-1,71\cdot t^2 + 10,08 \cdot t,\,$ $t \in \mathbb{R}$

verwendet. Dabei gibt $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $f(\mathrm{t})$ die Geschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ an.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ für $t=5$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass der Tiger seine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,2\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ungefähr $4,2$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition erreicht, und gib die Maximalgeschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$ an.

(3)

Ermittle das Zeitintervall, in dem die Geschwindigkeit des Tigers mindestens $15\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt.

(3 + 7 + 4 Punkte)

(1)

Erläutere die Bedeutung der ersten Ableitung von $f$ im Sachzusammenhang.

(2)

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt, auf zwei Nachkommastellen genau.

(2 + 4 Punkte)

Bestimme $\displaystyle \int_{0}^{10}f(\mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}$ und erläutere die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Nimm an, dass der Tiger zunächst seine Maximalgeschwindigkeit gemäß dem oberen Modell erreicht (Phase 1). Nach Erreichen seiner Maximalgeschwindigkeit behält er diese noch $5\; \text{s}$ lang bei (Phase 2). Anschließend verringert sich seine Geschwindigkeit gemäß einem neuen Modell (Phase 3). Dieses entspricht bis auf eine zeitliche Verschiebung dem oberen Modell (vgl. Abbildung 2). Ab $t=15$ läuft er mit konstanter Geschwindigkeit weiter (Phase 4). Im Folgenden werden die ersten $15\; \text{s}$ (Phase 1 bis 3) dieses Ablaufs betrachtet.

Abbildung 2

(1)

Gib für die Phasen 2 und 3 jeweils einen Funktionsterm an.
[Hinweis: Der Term für Phase 3 muss nicht vereinfacht werden.]

(2)

Prüfe, ob nach $15\; \text{s}$ ein knickfreier Übergang zu einer konstanten Funktion, welche die Geschwindigkeit in Phase 4 modelliert, möglich ist.

(3)

Ermittle die Länge der Strecke, die der Tiger in diesen ersten $15\; \text{s}$ zurücklegt, und gib die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall an.

(4+3+5 Punkte)

Für eine andere Raubkatze wird ein Modell gesucht, bei dem die Höchstgeschwindigkeit $6\; \text{s}$ nach dem Verlassen der Ruhelage erreicht wird und $20\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ beträgt. Dieses Modell soll durch die Funktion $g$ mit

$g(t)= r \cdot f(s\cdot t)$ mit $r, s \in \mathbb{R}$

beschrieben werden.
Ermittle geeignete Werte für die beiden Parameter $r$ und $s$ , sodass die Funktion $g$ als Transformation der Funktion $f$ die beschriebene Eigenschaft hat.

[Hinweis: Die neue Funktionsvorschrift muss nicht vereinfacht werden.]

(4 Punkte)

(1)

Einsetzen von $t=5$ in die Funktionsgleichung: $f(5)=17,71$ .
Der Tiger hat nach $5\;\text{s}$ eine Geschwindigkeit von $17,75 \, \dfrac{m}{s}$ .

(2)

Die Maximalgeschwindigkeit kann über das Maximum ermittelt werden.

Die Ableitungsfunktion lautet : $\(f$

Nullstellen für $\(f$ liefert der GTR im Intervall $[0,10]$ bei $t_1 \approx 4,19$ und $t_2 \approx 9,91$ .

Die zugehörigen Funktionswerte lauten: $f(4,19)=18,16$ und $f(9,91)=10,59$ . Das Maximum könnte jedoch auch am Rand angenommen werden. Wegen $f(0)=0$ und $f(10)=10,6$ ist dies jedoch ausgeschlossen.
Der Tiger hat somit nach ca $4,2\;\text{s}$ seine Höchstgeschwindigkeit $18,2 \, \dfrac{m}{s}= 65,5 \, \dfrac{km}{h}$ erreicht.

(1)

Die erste Ableitung $\(f$ entspricht der momentanen Änderungsrate. Sie gibt die momentane Beschleunigung des Tigers nach seinem Start aus der Ruhe an.

(2)

Die Stelle, an der die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt, ist das Minimum der Ableitungsfunktion.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Die zu $\(f$ gehörende Parabel hat ihr Minimum an der Stelle $t_{min} =7,05$ welche somit auch der Zeitpunkt ist, an dem die Geschwindigkeit des Tigers am stärksten abnimmt.

(1)

Es gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{10}f(t)\;\mathrm dt$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0}^{10}f(t)\;\mathrm dt$ $= 136$

Der Tiger legt somit einen Weg von $136\;\text{m}$ innerhalb von $10\;\text{s}$ zurück.

(1)

Die Phasen befinden sich auf den folgenden Intervallen:

Phase 2: $[4,2; 9,2]$ und Phase 3: $[9,2; 15]$ .

In Phase 2 läuft der Tiger mit seiner Maximalgeschwindigkeit $5\;\text{s}.$ Die Höchstgeschwindigkeit beträgt $f_2(t)=f(4,19)=18,16$ .

Phase 3 entspricht dem Graphen von Abbildung 1 im Intervall $[5,10]$ . Also auch der Funktion von $f$ , jedoch um $+5$ auf der $t$ -Achse verschoben.
Ein Term für Phase 3 lautet folglich $f_3(t)=f(t-5)$ .

(2)

Der Übergang zu einer konstanten Funktion ist knickfrei, wenn diese parallel zur $t$ -Achse ist, also die Steigung Null.

$\(f_3$

Die Tangente ist nur näherungsweise parallel und der Übergang somit nicht knickfrei.

(3)

Die Länge der Strecken kann über ein Flächenntegral ermittelt werden.

Die Grenzen entsprechen demjenigen Intervall, in welchem die Phase ist. Integriert werden muss nur, wenn der Graph im Intervall eine Fläche einschließt. Phase 1 läuft im Intervall $[0; 4,2]$ und Phase 3 im Intervall $[9,2; 15]$ .

Die gesuchte Länge entspricht also:

$227 \, m$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Tiger erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $15,1 \; \dfrac{\text{m}}{\text{s}}.$

Bisher wird die Höchstgeschwindigkeit von ca. $18,2 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ nach ca. $4,2\;\text{s}$ erreicht.

Die benötigten Dehnungen in $t$ - bzw. in $y$ -Richtung werden von $g(t)=\dfrac{20}{18,2} \cdot f\left( \dfrac{4,2}{6} \cdot t \right)$ geliefert. Es folgt $r \approx 1,1$ und $s= 0,7.$