Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=-\dfrac{5}{16}x^4+5x^3$ .

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

Abbildung

(1)

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12\mid2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist und dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid0)$ parallel zur $x$ -Achse verläuft.

(2)

Bestimme eine Gleichung der Geraden $g,$ die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft.
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0\leq x\leq8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat.

(3)

Die Punkte $O(0\mid0)$ , $B(b\mid0)$ und $C(b\mid f(b))$ bilden für jede reelle Zahl $b$ mit $0\lt b\lt16$ ein Dreieck $OBC.$

Ermittle denjenigen Wert von $b,$ für den der Flächeninhalt des Dreiecks $OBC$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an.

[Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich.]

(5 + 6 + 4 Punkte)

Für jede reelle Zahl $a$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x)=5ax^2$ gegeben.

(1)

Beschreibe, wie der Graph von $h_4$ aus dem Graphen von $h_3$ erzeugt werden kann.

(2)

Bestimme denjenigen Wert von $a,$ für den der Punkt $(4\mid f(4))$ auf dem Graphen von $h_a$ liegt.

(3)

Die Gleichung $f(x)=h_{3,75}(x)$ hat genau die drei Lösungen $x_1=0$ , $x_2=6$ und $x_3=10$ und es gilt $\displaystyle\int_{0}^{10}(f(x)-h_{3,75}(x))\;\mathrm dx=0$ .

Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Aussage in Bezug auf die Graphen von $f$ und $h_{3,75}$ .

(4)

Ermittle, an welchen Stellen im Intervall $[0;16]$ die Graphen der Funktionen $f$ und $h_3$ einen vertikalen Abstand von $250$ Längeneinheiten haben.

(2 + 2 + 3 + 4 Punkte)

Ein Unternehmen lagert Glyzerin in einem Tank. Die momentane Änderungsrate des Tankinhalts kann für $0\leq x\leq20$ mithilfe der Funktion $f$ (aus a)) beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich im Tank $1200\,\text{kg}$ Glyzerin.

(1)

Der Punkt $(4\mid 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$ .

Interpretiere die Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang.

(2)

Beurteile die folgende Aussage: "Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten."

(3)

Bestimme die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn.

(4)

Berechne, wie viel Glyzerin $20$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank enthalten ist.

(2 + 2 + 2 + 3 Punkte)

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(1)

1. Schritt: Die ersten beiden Ableitungen bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ oder $-\dfrac{5}{4} \cdot x +15=0$ und daraus:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{5}{4} \cdot x +15&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{5}{4} \cdot x \\[5pt] 15&=& \dfrac{5}{4} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{5}{4} \\[5pt] 12&=& x_2 \\[5pt] x_2&=& 12 \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\( f$

Da $\(f$ $\lt0$ und $f(12)=2160,$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt in $(12 \mid 2160)$ .

Es gilt $\(f$ Deshalb verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $\left(0\mid0\right)$ parallel zur $x$ -Achse.

(2)

1. Schritt: Wendepunkte bestimmen
Die Wendestellen entsprechen den Extremstellen von $\(f$ Diese werden mit dem Taschenrechner graphisch bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Es ergeben sich zwei Extremstellen der Ableitung an $x_1=0$ und $x_2=8,$ also zwei Wendepunkte des Graphen von $f.$ Diese haben die Koordinaten $(8\mid1280)$ und $(0 \mid 0).$

2. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Die Gerade verläuft durch den Ursprung und durch den Punkt $(8\mid 1280).$ Für die Steigung der Geraden gilt $m=\dfrac{1280}{8}=160.$
Die Geradengleichung folgt mit $g(x)= 160 \cdot x.$

3. Schritt: Parallele Gerade einzeichnen

Graph mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem, eine grün und eine grau, zeigt mathematische Beziehungen.

(3)

1. Schritt: Funktion zur Berechnung des Flächeninhalts aufstellen

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird allgemein mit $A_D= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$ berechnet.

Im Dreieck $OBC$ gilt: $g= b$ und $h=f(b).$ Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A(b)&=& \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot f(b) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot b\cdot \left(-\dfrac{5}{16} \cdot b^4 +5 \cdot b^3 \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&-\dfrac{5}{32} \cdot b^5 +\dfrac{5}{2} \cdot b^4 \end{array}$

2. Schritt: Maximalwert bestimmen

Das Maximum des Flächeninhalts wird graphisch mit dem Taschenrechner ermittelt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $(12,8 \mid 13422).$ Somit nimmt der Flächeninhalt des Dreiecks für $b=12,8$ seinen Maximalwert mit $13422 \,\text{FE}$ an.

(1)

Der Graph von $h_4$ entsteht, durch Streckung des Graphen von $h_3$ in $y$ -Richtung um den Faktor $\frac{4}{3}.$

(2)

Es ist $f(4)=240.$ Einsetzen der Koordinaten $(4 \mid 240)$ in die Gleichung von $h_a$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} h_a(4)&=& 240& \quad \scriptsize \\[5pt] 5a \cdot 4^2 &=& 240 & \quad \scriptsize \\[5pt] 80 \cdot a&=& 240\quad \scriptsize \mid :80\\[5pt] a &=& 3 \end{array}$

(3)

Die Graphen von $f$ und $h_{3,75}$ haben genau drei gemeinsame Punkte. Sie schließen zwei Flächenstücke ein. Da das Integral den Wert Null hat, haben die beiden Flächenstücke den gleichen Flächeninhalt. Ein Flächenstück liegt unter dem Graphen von $f$ und über dem Graphen von $h_{3,75}$ , das andere liegt über dem Graphen von $f$ und unter dem Graphen von $h_{3,75}.$

(4)

Der vertikale Abstand der beiden Funktionsgraphen wird durch $d(x)=f(x)-h_3(x)$ beschrieben. Dieser Abstand soll $250 \;\text{LE}$ betragen. Gesucht sind folglich die $x$ - Werte für die $d(x)=250$ bzw. $d(x)=-250$ gilt.

Es folgt $d(x)= f(x)-h_3(x)$ $= -0,3125x^4+5x^3-15x^2.$

Für $d(x)=250$ ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners die Lösungen $x_1\approx 7,2$ und $x_2 \approx 11,1.$

Für $d(x)=-250$ ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners die Lösungen $x_3\approx 12,6$ und $x_4\approx -2,8.$ Jedoch liegt $x_4$ nicht im betrachteten Intervall.

Die Funktionsgraphen haben einen vertikalen Abstand von $250 \;\text{LE}$ für $x_1, x_2$ und $x_3.$

(1)

Die Änderungsrate des Tankinhalts beträgt vier Stunden nach Beobachtungsbeginn $240$ kg/h.

(2)

Die Aussage ist falsch. Die momentane Änderungsrate erreicht zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ihr Maximum, ist aber danach noch vier Stunden positiv, weshalb die Menge Glyzerin im Tank weiter zunimmt.

(3)

Es gilt $\displaystyle\int_{8}^{10}f(x)\;\mathrm dx =3178 \;[\text{kg}].$

Die Zunahme des Tankinhalts zwischen den Zeitpunkten acht Stunden und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt $3178\;\text{kg}.$

(4)

$\begin{array}[t]{rll} && \displaystyle\int_{0}^{20}f(x)dx& \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left[-\dfrac{1}{16}x^5+\dfrac{5}{4}x^4 \right]_{0}^{20} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{16}\cdot 20^5+\dfrac{5}{4}\cdot 20^4 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$20 \,\text{h}$ nach Beobachtungsbeginn befindet sich genauso viel Glyzerin im Tank wie zu Beginn. Es befinden sich $1200\;\text{kg}$ Glyzerin im Tank.

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