Aufgabe 4

Katja isst sehr gerne Gummibärchen. Ihre Mutter möchte verhindern, dass Katja zu viele Gummibärchen auf einmal isst. Die beiden vereinbaren, einmal täglich ein Spiel mit dem folgenden Glücksrad und Spielbrett durchzuführen:

Abbildung 1

Das Glücksrad hat vier gleich große Sektoren mit den Farben rot, gelb, grün und blau. Das zugehörige Spielbrett besteht aus $4$ Feldern in den gleichen Farben. Zu Beginn des Spiels ist das Spielbrett leer. Mit dem Glücksrad aus der Abbildung 1 wird eine der $4$ Farben bestimmt. Ist das Feld mit dieser Farbe leer, so wird dieses mit einem Gummibärchen belegt. Liegt bereits ein Gummibärchen in diesem Feld, dann erhält Katja das Gummibärchen, sodass das Feld danach wieder leer ist. Das Spiel endet, wenn alle $4$ Felder belegt sind und Katja erhält die vier auf dem Spielbrett liegenden Gummibärchen.

Das Spiel kann als stochastischer Prozess mit den Zuständen $Z_0,$ $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4$ modelliert werden. Dabei beschreibt der Zustand $Z_0$ ein leeres Spielbrett. $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4$ beschreiben die Zustände mit genau einem, zwei, drei oder vier Gummibärchen auf dem Spielbrett. Das Spiel endet, sobald der Zustand $Z_4$ erreicht ist.

Auf dem Spielbrett liegen zwei Gummibärchen. Ein Spiel befindet sich also im Zustand $Z_2.$
Ermittle alle möglichen Zustände, die nach zwei weiteren Glücksraddrehungen auftreten können.

(4 Punkte)

Das Histogramm in der folgenden Abbildung 2 gibt für jedes $n\leq 25$ die Wahrscheinlichkeit $p(n)$ dafür an, dass sich ein Spiel ab dem Spielbeginn nach höchstens $n$ Glücksraddrehungen im Zustand $Z_4$ befindet.

Abbildung 2

(1)

Begründe im Sachkontext, weshalb $p(n)= 0$ für $n \leq 3$ ist.

(2)

Gib einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Spiel nach höchstens $25$ Glücksraddrehungen beendet ist.

(2 + 2 Punkte)

Die folgende Matrix $A$ modelliert die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen $Z_0,$ $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4.$

$A=...$

Matrix anzeigen

(1)

Erstelle ein zu $A$ passendes Übergangsdiagramm mit den entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten.

(2)

Bestimme das Matrix-Vektor-Produkt $A^{10} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0}$ und interpretiere die ersten beiden Komponenten des Ergebnisvektors im Sachzusammenhang.

(3)

Bestimme mithilfe der Matrix $A$ die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

(Zur Erinnerung: Zum Spielbeginn ist das Spielbrett leer.)

$E_1:$

Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach höchstens $12$ Glücksraddrehungen.

$E_2:$

Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach genau $12$ Glücksraddrehungen.

$E_3:$

Ab dem Spielbeginn liegen nach $9$ Glücksraddrehungen genau zwei Gummibärchen auf dem Spielfeld.

$E_4:$

Ab dem Spielbeginn liegen nach $9$ Glücksraddrehungen höchstens $2$ Gummibärchen auf dem Spielfeld.

(5 + 5 + 11 Punkte)

Während eines Spiels wechselt mit jeder Glücksraddrehung die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielfeld. Entweder kommt ein Gummibärchen dazu (Vorwärtsschritt in Richtung $Z_4$ ) oder Katja erhält ein Gummibärchen vom Spielbrett (Rückwärtsschritt in Richtung $Z_0$ ). Immer erhält Katja am Spielende die vier Gummibärchen auf dem Spielbrett.

(1)

Ein Spiel endet nach $6$ Glücksraddrehungen.
Gib begründet an, wie viele Gummibärchen Katja insgesamt bekommen hat.

(2)

Begründe, dass am Ende eines Spiels genau vier Vorwärtsschritte mehr als Rückwärtsschritte aufgetreten sind.

(3)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Katja am Ende eines Spiels höchstens $10$ Gummibärchen erhalten hat.

(3 + 3 + 5 Punkte)

$\blacktriangleright$ Mögliche Zustände ermitteln

Mit jeder Glücksraddrehung kann entweder ein Gummibärchen hinzukommen oder weggenommen werden.
Bei zwei Glücksraddrehungen folgt also:

$Z_2 \to Z_3 \to Z_4,\quad$ $Z_2 \to Z_1 \to Z_2,\quad$ $Z_2 \to Z_1 \to Z_0,\quad$ $Z_2 \to Z_3 \to Z_2$

Befindet sich das Spiel im Zustand $Z_2,$ dann kann sich das Spiel nach zwei Glücksraddrehungen in einem der Zustände $Z_0,$ $Z_2$ oder $Z_4$ befinden.

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit begründen

Das Spiel endet erst, wenn vier Gummibärchen auf dem Spielfeld liegen. Pro Glücksraddrehung kann höchstens ein Gummibärchen hinzukommen. Es werden also mindestens $4$ Drehungen benötigt bis das Spiel beendet ist. Für $n\leq 3$ gilt daher $p(n) = 0.$

(2)

$\blacktriangleright$ Näherungswert angeben

Aus der Abbildung lässt sich ablesen: $p(25)\approx 0,7.$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $70\,\%$ ist das Spiel also nach höchstens $25$ Glücksraddrehungen beendet.

(1)

$\blacktriangleright$ Übergangsdiagramm erstellen

Abb. 1: Übergangsdiagramm

(2)

$\blacktriangleright$ Matrix-Vektor-Produkt bestimmen und interpretieren

Mit dem GTR erhältst du:

$A^{10} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,1057 \\ 0\\ 0,5457 \\ 0\\ 0,3486}$

Der Vektor $\pmatrix{1\\0\\0\\0\\0}$ beschreibt den Zustand, dass sich das Spiel im Zustand $Z_0$ befindet, also kein Gummibärchen auf dem Spielbrett liegt.
Eine Multiplikation mit der Matrix $A^{10}$ führt zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände nach $10$ Drehungen des Glücksrades.

Wenn kein Gummibärchen auf dem Spielfeld liegt, so befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,57\,\%$ nach $10$ Glücksraddrehungen immernoch (oder erneut) kein Gummibärchen auf dem Spielbrett. Es ist nicht möglich, dass sich nach $10$ Drehungen genau ein Gummibärchen auf dem Spielbrett befindet.

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen

$A^{12}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,0946 \\ 0\\0,4885\\ 0\\0,4168}$

Also ist $P(E_1) \approx 0,4168 = 41,68\,\%$

Damit das Spiel nach genau $12$ Drehungen endet, muss sich das Spiel nach der elften Drehung im Zustand $Z_3$ befinden und dann von $Z_3$ in $Z_4$ übergehen. Nach der elften Drehung müssen sich also drei Gummibärchen auf dem Spielbrett befinden und bei der zwölften Drehung muss dann genau das Feld getroffen werden, das noch frei ist:

$A^{11}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0\\0,3785 \\ 0\\0,2728 \\ 0,3486}$

$P(E_2) \approx 6,82\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

$A^{9}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{ 0\\0,4229 \\ 0 \\ 0,3047 \\ 0,2725}$

$P(E_3) =0$

$P(E_4) \approx 42,29\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

(1)

$\blacktriangleright$ Anzahl Gummibärchen angeben

Wenn das Spiel nach $6$ Glücksraddrehungen endet, muss es im Spiel vier Vorwärtsschritte gegeben haben, bei denen Katja kein Gummibärchen bekommen hat und zudem einen Rückwärtsschritt gefolgt von einem Vorwärtsschritt. Katja hat also ein Gummibärchen durch einen Rückwärtsschritt und die vier Gummibärchen, die zum Schluss auf dem Spielfeld liegen, bekommen. Insgesamt hat Katja also $5$ Gummibärchen erhalten.

(2)

$\blacktriangleright$ Differenz der Vorwärts- und Rückwärtsschritte begründen

Das Spiel beginnt im Zustand $Z_0$ und endet im Zustand $Z_4.$ Um ohne Rückwärtsschritte zu $Z_4$ zu gelangen, werden vier Vorwärtsschritte benötigt.
Für jeden Rückwärtsschritt wird ein Vorwärtsschritt als Ausgleich benötigt. Am Ende des Spiels setzt sich die Gesamtanzahl der benötigten Schritte aus den vier Vorwärtsschritten und jeweils gleich vielen Vorwärts- und Rückwärtsschritten zusammen.
Also treten am Ende des Spiels immer genau vier mehr Vorwärts- als Rückwärtsschritte auf.

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Höchstanzahl bestimmen

Am Ende des Spiels hat Katja die vier Gummibärchen erhalten, die zum Ende des Spiels auf dem Spielbrett liegen und im Verlauf des Spiels zusätzlich pro Rückwärtsschritt ein Gummibärchen.
Damit sie höchstens $10$ Gummibärchen bekommt, darf sie also höchstens $6$ Rückschritte gemacht haben, also höchstens zehn Vorwärtsschritte. Insgesamt darf sie also höchstens $16$ mal gedreht haben:

$A^{16} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,0759 \\ 0 \\ 0,3916 \\ 0 \\ 0,5326}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $53,26\,\%$ hat Katja am Ende eines Spiels höchstens $10$ Gummibärchen erhalten.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

		von:	$Z_0$	$Z_1$	$Z_2$	$Z_3$	$Z_4$
	$Z_0$		$\begin{pmatrix}0& 0,25 & 0 & 0 & 0\\[10pt]1& 0& 0,5 & 0 & 0\\[10pt]0&0,75& 0 & 0,75 & 0\\[10pt] 0& 0 & 0,5& 0& 0 \\[10pt] 0& 0 & 0 & 0,25 & 1\end{pmatrix}$
	$Z_1$
nach:	$Z_2$	$A=$
	$Z_3$
	$Z_4$