Analysis 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25 - 20\mathrm e^{-0,014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ\text{C}.$ Die Raumtemperatur beträgt konstant $25\;^\circ\text{C}.$

(1)

(i)

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

(ii)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12\;^\circ\text{C}$ beträgt.

(2)

Berechne die Werte der folgenden Terme und interpretiere diese im Sachzusammenhang:

(i) $\(\quad f$

(ii) $\quad \dfrac{f(30) - f(0)}{30 - 0}$ .

(3)

Zeige, dass in diesem Modell gilt:

$\;$

Es gibt eine Konstante $c,$ sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist.

(4)

Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

Aus $f(t)=\frac{f(0) + 25}{2}$ ergibt sich $t \approx 49,5.$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung.

(3 + 5 + 4 + 3 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot \mathrm e^x.$ Der Graph von $h$ wird mit $G_h$ bezeichnet.

(1)

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h(x)$ nur für $-1 \lt x \lt 1$ positiv ist.

(2)

Zeige: $\(h$

(3)

Es gibt Punkte auf $G_h,$ in denen die jeweilige Tangente an $G_h$ parallel zur Geraden $g: y = x$ verläuft.

Bestimme die $x$ -Koordinaten dieser Punkte.

Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $\(h$ .

(4)

Berechne die Wendestellen von $h,$ ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.

In einem der Wendepunkte von $G_h$ ist die Steigung von $G_h$ maximal.

Berechne den Wert der maximalen Steigung.

(5)

$G_h$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H\left(-1 + \sqrt{2} \mid h(-1 + \sqrt{2})\right)$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.

(6)

Für $0 \lt w \lt 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 \mid 0), (w \mid 0)$ und $(w \mid h(w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.

Bestimme den maximalen Flächeninhalt.

(3 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 Punkte)

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(1)

(i)

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot0} \\[5pt] &=&25 - 20 \\[5pt] &=&5\;[^\circ\text{C}] \end{array}$

(ii)

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&12 \\[5pt] 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&12 \quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&-13 \quad \scriptsize \mid\;:(-20) \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,014t}&=&\dfrac{13}{20} \quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -0,014t&=&\ln\left(\dfrac{13}{20}\right) \quad \scriptsize \mid\;:(-0,014) \\[5pt] t&\approx&30,77 \end{array}$

Die Wassertemperatur beträgt somit nach etwa $30,77$ Minuten $12\;^\circ\text{C}.$

(2)

(i)

Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für $t=30$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da die erste Ableitung die Steigung von $f$ angibt, besagt dieser Wert, dass die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur nach $30$ Minuten $0,18\;\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}$ beträgt.

(ii)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}&=&\dfrac{25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot30}-5}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{20 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,42}}{30} \\[5pt] &\approx&0,23\;\left[\dfrac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\right] \end{array}$

Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur in den ersten 30 Minuten beträgt somit ca. $0,23\;\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}.$

(3)

Die in der Aufgabenstellung beschriebene Situation wird durch folgende Gleichung ausgedückt:

$\(25 - f(t) = c \cdot f$

Für den Wert von $c$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} 25 - f(t)&=&c\cdot f$

Da der Wert von $c$ nicht von $t$ abhängt, gilt in dem Modell die Aussage aus der Aufgabenstellung.

(4)

Bestimme den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Temperatur des Wassers den Mittelwert zwischen der Raumtemperatur und der Temperatur des Wassers bei Entnahme aus dem Kühlschrank annimmt.

(1)

Für Werte von $x$ in diesem Bereich gilt $1 - x^2 \gt 0$ und da die $\mathrm{e}$ -Funktion stets größer als null ist, ist der Funktionswert $h(x)$ somit für diese Werte positiv.

(2)

Mit der Produktregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

(3)

Die Gerade $g:y=x$ hat die Steigung $1,$ das heißt die Lösungen der Gleichung $\(h$ sind die gesuchten $x$ -Koordinaten der Punkte. Auflösen nach $x$ mit dem GTR liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&-0,62 \\[5pt] x_2&=&0 \end{array}$

(4)

Für die dritte Ableitung von $h$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( h$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(h$

Auflösen nach $x$ mit dem GTR liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx&-3,73 \\[5pt] x_2&\approx&-0,27 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen

Rechenweg anzeigen

$\( h$

Rechenweg anzeigen

$\( h$

Die Wendestellen von $G_h$ sind somit $x_1\approx-3,73$ und $x_2\approx-0,27.$ Einsetzen der beiden Werte in $\(h$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\( h$

Rechenweg anzeigen

$\( h$

Der Wert der maximalen Steigung beträgt somit ca. $1,12.$

(5)

Die graphische Darstellung von $G_h$ liefert, dass die Fläche $A$ von den beiden Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$ begrenzt wird. Für den Inhalt der beiden Teilflächen folgt somit mit Hilfe des GTRs zur Bestimmung einer Stammfunktion von $h:$

Rechenweg anzeigen

$A_1 \approx 0,95\;[\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

$A_2 \approx 0,52\;[\text{FE}]$

Somit gilt $A=A_1+A_2$ $\approx0,95+0,52=1,47\;[\text{FE}].$ Für den Anteil, den die größere Teilfläche $A_1$ an der Fläche $A$ hat, folgt somit:

$\dfrac{A_1}{A}=\dfrac{0,95}{1,47}\approx0,6463=64,63\,\%$

(6)

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird wie folgt beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} A(w)&=&\dfrac{1}{2}\cdot w\cdot h(w) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot w\cdot (1-w^2)\cdot\mathrm e^w \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (w-w^3)\cdot\mathrm e^w \end{array}$

Für die erste Ableitung von $A$ folgt mit der Produktregel:

Rechenweg anzeigen

$\( A$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(A$

Auflösen nach $w$ mit dem GTR liefert:

$\begin{array}[t]{rll} w_1&\approx&-3,21 \\[5pt] w_2&\approx&-0,46 \\[5pt] w_3&\approx&0,68 \end{array}$

Da die Aufgabenstellung besagt, dass für einen Wert von $0\lt w\lt1$ der Flächeninhalt maximal wird, ist das für $w\approx0,68$ der Fall. Für den maximalen Flächeninhalt folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} A(0,68)&=&\dfrac{1}{2}\cdot (0,68-0,68^3)\cdot\mathrm e^{0,68} \\[5pt] &\approx&0,36\;[\text{FE}] \end{array}$

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