Aufgabe 5

Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40.000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu $25\,\%$ weiblich.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel zufällig ausgewählten Zuschauern¹

genau 48 weibliche Zuschauer befinden,

mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer befinden,

eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

(2P + 3P + 5P)

¹Der Begriff „Zuschauer“soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen.

b) Beschreiben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ , dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$P(E)=1-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1.000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1.000-k}$ berechnet werden kann.

[Hinweis: Der Wert dieses Terms muss nicht berechnet werden.]

(4P)

c) Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20.000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.

Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20.000 Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegt.

Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:
$P=\begin{pmatrix}50\\12\end{pmatrix}\cdot 0,25^{12}\cdot0,75^{38}.$
Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist.

(6P + 5P)

d) Im Deutschen Fußballbund (DFB) sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet², was einem Anteil von (ungefähr) $15,84\,\%$ entspricht. Von diesen gehören $31,78\,\%$ zur Alterklasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB $33,09\,\%$ .

Stellen Sie die gegebenen Daten in dem folgenden Baumdiagramm dar und notieren Sie alle fehlenden relativen Häufigkeiten.

Diagramm zur Kategorisierung von Geschlechtern und Altersgruppen, insbesondere Mädchen und Junioren.

Beschreiben Sie die relativen Häufigkeiten, die im Diagramm als $H1$ bzw. $H2$ bezeichnet werden, mit Worten.

Zwei Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den beiden Personen um einen männlichen Jugendlichen (Junior) und ein Mädchen handelt.

(7P + 3P +4P)

²Gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt.

e) Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für diese an Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht.
Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über $25\,\%$ gestiegen ist, so dass er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben.
Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.

Der Verkaufsleiter testet die Nullhypothese $H_{0}: p\leq0,25$ .
Begründen Sie die Wahl dieser Nullhypothese aus der Sicht des Verkaufsleiters und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die genannte Stichprobe (Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05).

Beschreiben Sie den Fehler 2.Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich $30\,\%$ beträgt.

(7P + 4P)

Tabelle 1: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regeln für Binomialverteilungen

Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma >3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$ -Regeln:

Tabellarische Darstellung von Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf statistische Verteilungen.

Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten und Sekundärwerten für verschiedene n und k in statistischen Berechnungen.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit Wahrscheinlichkeitswerten und zugehörigen Indizes für verschiedene Parameter n und k.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=200

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit numerischen Werten, die Wahrscheinlichkeiten und Parameter in verschiedenen Spalten anzeigt.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n=1.000

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit statistischen Werten für verschiedene p-Werte und n-k Kombinationen.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 6: Normalverteilung

$\Phi(z)=0,...$
$\Phi(-z)=1-\phi(z)$

Tabelle mit numerischen Werten in Zeilen und Spalten, möglicherweise für statistische oder mathematische Zwecke.

Beispiele für den Gebrauch:

$\phi(2,32)=0,9898$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$
$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Zuschauerzahlen in der Fußball-Bundesliga in der Saison 2011/12 einen Rekord erreichten. In dieser Saison waren pro Spiel durchschnittlich mehr als 40.000 Zuschauer, wobei das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich ist. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass dieser Prozentsatz im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden soll. Das heißt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich.

Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten:

Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauern, befinden sich

(1) genau 48 weibliche Zuschauer.
(2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
(3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

Da hier in allen drei Fällen die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern behandelt wird, betrachten wir hier die Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten repräsentiert. Da die Zufallsvariable $X$ mit

„Zuschauer ist weiblich“
„Zuschauer ist nicht weiblich“

nur zwei Ausprägungen besitzt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, mit 25 % als konstant angegeben ist (Ziehen mit Zurücklegen) kann $X$ hier als binomialverteilt angenommen werden. $X$ ist also mit $p = 0,25$ und $n = 200$ binomialverteilt.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1)

Mit der Zufallsvariable $X$ kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete:

Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauern befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer.

Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also:

$P(X = 48)$

Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Im Folgenden werden beide Lösungswege ausgeführt.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den binompdf-Befehl, welchen du unter

2nd VARS (DISTR) A: binompdf(

findest. Um $P(X = 48)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an.

Bildschirm einer Taschenrechner-Anwendung mit binompdf-Funktion und Eingabewerten.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

Willst du die Wahrscheinlichkeit $P(X = 48)$ mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung berechnen, so betrachtest du hier die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$ . Da dir die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung nur die Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ angibt, musst du hier den gesuchten Wert $P(X = 48)$ über folgende Differenz berechnen:

$P(X = 48) = P(X \leq 48) - P(X \leq 47)$

Es ergibt sich hier also folgende Berechnung:

$P(X = 48) = 0,4083 - 0,3458 = 0,0625$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 48 der befragten Personen weiblich sind, liegt also bei 0,0625 bzw. 6,25%.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2)

Ereignis (2) war gegeben mit:

Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.

Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$ . Willst du hier die Wahrscheinlichkeit für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für $X$ gelten:

$35 \leq X \leq 60$

Du musst also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ nur Werte zwischen 35 und 60 annimmt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass $X$ einen Wert zwischen 35 und 60 annimmt, musst du von der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von kleiner gleich 60 annimmt, die Wahrscheinlichkeit dafür subtrahieren, dass $X$ eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 34 annimmt.

Hast du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt, so kannst du zur Berechnung deinen GTR bzw. die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden.

$\begin{array}{rll} P(35 \leq X \leq 60)&=&P(X \geq 35) + P(X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X < 35)\\ &=&P(X \leq 60) - P(X \leq 34) \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den binompdf-Befehl, welchen du im STAT-Menü unter

2nd VARS (DISTR) B:binompdf(

findest. Um $P(X \leq 60)$ , $P(X \leq 34)$ und schließlich $P(35 \leq X \leq 60)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an. Dabei ist im linken Schaubild exemplarisch das Berechnen von $P(X \leq 60)$ dargestellt.

Bildschirmansicht einer Berechnung mit der Funktion binomcdf auf einem Taschenrechner.

Es folgt also:

$P(35 \leq X \leq 60)= P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$ . Suche die Werte zu $k = 34$ und $k = 60$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Differenz:

$P(35 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern befinden, beträgt also 0,9502 bzw. 95,02 %.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3)

Ereignis (3) war gegeben mit:

Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

Da hier mit $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnet sich deren Erwartungswert über die folgende Formel:

$E = n \cdot p$

Hast du den Erwartungswert $E$ von $X$ berechnet, so musst du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um 10 von diesem berechnen. Eine Abweichung um 10 vom Erwartungswert schließt dabei eine Abweichung nach oben und nach unten ein. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_3$ ergibt sich also über folgenden Ansatz:

$P_3 = P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10))$

%LT Der Erwartungswert von $X$ ist hier:

$E = 200 \cdot 0,25 = 50$ .

Willst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen, so musst du diese auch hier zunächst wie folgt mit dem Gegenereignis umformen:

$\begin{array}{rll} P_3&=&P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10)) = P(X \leq (50 - 10)) + P(X \geq (50 + 10))\\ P_3&=&P(X \leq 40) + P(X \geq 60) =P(X \leq 40) + 1 - P(X < 60)\\ P_3&=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59)\\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Willst du auch diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier wieder den binomcdf-Befehl. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit wird im Schaubild unten berechnet, wobei wie in den vorherigen Aufgabenteilen vorgegangen wird.

Mathematische Berechnungen auf einem Taschenrechner, einschließlich Binomialverteilungen und Ergebnissen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

Auch hier betrachtest du wieder die Tabelle mit $n = 200$ und $p = 0,25$ . Suche die Werte zu $k = 40$ und $k = 59$ in der Tabelle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die folgende Summe:

$\begin{array}{rll} P_3&=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203\\ \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer um mindestens 10 vom Erwartungswert abweicht, beträgt also 0,1203 bzw. 12,03%.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{E}$ im Sachzusammenhang beschreiben

Hier sollst du nun ein Ereignis $E$ im Sachzusammenhang beschreiben, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

$P(E)=1-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

Den Wert des Terms musst du dabei aber nicht berechnen. Du kannst dir dabei zunächst überlegen, was der Term im mathematischen Sinn bedeutet und dies anschließend auf den Sachzusammenhang übertragen.
Hierfür kannst du den Term in zwei Teile aufteilen und dir zunächst für diese beiden einzelnen Teile klarmachen, was sie bedeuten.

$P(E)=$ $1-$ $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

1. Schritt: Mathematische Bedeutung

Der grüne Teil 1- zeigt dir an, dass es hier um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses geht. Und zwar berechnet $P(E)$ die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $D$ , dessen Wahrscheinlichkeit durch den zweiten (roten) Teil des Terms berechnet wird.

Der rote Teil des Terms hat eine bestimmte Form. Diese Form sollte dir bekannt vorkommen. Sie hat Ähnlichkeiten mit der Formel für die kumulierte Binomialverteilung, die du im vorherigen Aufgabenteil bereits in Form der Tabelle verwendet hast.

Du weißt, dass für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$P(a\leq X\leq b) = \displaystyle\sum\limits_{k=a}^{b}\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Hier beschreibt der Term

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

demnach die Wahrscheinlichkeit $P(a\leq X_{1.000;0,25} \leq b)$ einer Zufallsvariablen $X_{1.000;0,25}$ , die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 1.000$ und $p = 0,25$ . Dabei sind $a = 0$ und $b = 300$ :

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$ $= P(0\leq X_{1.000;0,25}\leq 300)$

Insgesamt ist damit $P(E) = 1- P(0\leq X_{1.000;0,25}\leq 300)$ . Diesen Term kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses umformulieren und erhältst:

$P(E) = P(300 < X_{1.000;0,25}) = P(301\leq X_{1.000;0,25})$

Damit beschreibt $P(E)$ also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable $X_{1.000;0,25}$ mit den Parametern $p = 0,25$ und $n = 1.000$ , mindestens den Wert $301$ annimmt.

2. Schritt: Übertragung auf den Sachzusammenhang

Dir fällt auf, dass die oben genannte Zufallsvariable $X_{1.000;0,25}$ binomialverteilt ist, mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0,25$ und dem Stichprobenumfang $n = 1.000$ .
Im gegebenen Sachzusammenhang beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, ebenfalls $0,25$ .
Die Zufallsvariable $X_{1.000;0,25}$ kann also als Zufallsvariable betrachtet werden, die die zufällige Anzahl an weiblichen Zuschauern unter $1.000$ Besuchern des untersuchten Bundesliga-Spiels beschreibt.

Damit ist $P(E) = P(301\leq X_{1.000;0,25})$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den $1.000$ zufällig ausgewählten Zuschauern des Bundesliga-Spiels mehr als 300 weibliche Zuschauer befinden.

Demnach beschreibt $E$ das Ereignis, dass sich unter den $1.000$ zufällig ausgewählten Zuschauern des Bundesliga-Spiels mehr als 300 weibliche Zuschauer befinden.

c) (1) $\blacktriangleright$ Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls

Der Aufgabenstellung kannst du jetzt entnehmen, dass bei einem Bundesliga-Spiel 20.000 Zuschauer ins Stadion strömen. An die weiblichen Zuschauer soll dabei ein Flyer verteilt werden, welcher auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.

Deine Aufgabe ist es dabei zunächst, auf Grundlage der 20.000 Zuschauer, das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge zu bestimmen, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 bzw. 90 % liegt.

Willst du diese Aufgabe hier lösen, so betrachtest du die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der Frauen im Stadion beschreibt. Da sich insgesamt 20.000 Zuschauer im Stadion befinden, gilt für $Y$ : $n = 20.000$ . Weiterhin gilt für die Zufallsvariable $Y$ , dass die Wahrscheinlichkeit, für das Befragen einer Frau bei 0,25 bzw. 25 % liegt (siehe Aufgabe zuvor).

Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von $Y$ bilden.

Zum Lösen dieser, musst du hier die $\sigma$ -Regeln anwenden. Gehe dabei so vor:

Berechne zunächst die Standardabweichung von $Y$ und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ erfüllt ist.
Du findest die Regel $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$
Setze $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall.

1. Schritt: Laplace-Kriterium prüfen

Mit $n = 20.000$ und $p = 0,25$ ergibt sich

$\sigma = \sqrt{20.000 \cdot 0,25 \cdot (1 - 0,25)} = \sqrt{3.750} \approx 61,24 > 3$ .

Damit ist das Laplace-Kriterium für die Zufallsvariable $Y$ erfüllt und die Sigma-Regeln dürfen angewandt werden.

2. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regeln umformen

Setze nun wie oben beschrieben in den Ausdruck $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$ ein und berechne wie folgt das gesuchte Intervall

$\begin{array}{rlrl} P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma)&\approx&0,90\\ P(n \cdot p - 1,64 \cdot 61,24 < Y < n \cdot p + 1,64 \cdot 61,24)&\approx&0,90\\ P(20.000 \cdot 0,25 - 100,434 < Y < 20.000 \cdot 0,25 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(5.000 - 100,434 < Y < 5.000 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899,566 < Y < 5.100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899 < Y &lt5.101)&\approx&0,90\\ \end{array}$

Das hier gesuchte Intervall ist: $\left[4.899;5.101\right]$ .

c) (2) $\blacktriangleright$ Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich vor einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern gebildet hat. Deine Aufgabe ist es nun, die Voraussetzung zu nennen, unter der die Wahrscheinlichkeit $P$ , dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, so berechnet werden kann:

$$ P= \dbinom{50}{12} \cdot 0,25^{12} \cdot 0,75^{38} $$

Betrachtest du den gegebenen Term genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen handelt. Mit diesem Term können Wahrscheinlichkeiten der Form $P(X = k)$ für ein bestimmtes $k$ berechnet werden. Das heißt, die hier gesuchten Voraussetzungen ergeben sich aus den Voraussetzungen für eine binomialverteilte Zufallsvariable.

Damit die Wahrscheinlichkeit hier mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet werden kann, muss es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln. Das heißt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person, die vor dem Kassenhäuschen als nächstes steht, eine Frau ist, muss immer die gleiche sein und darf sich nicht im Laufe des Experiments verändern. Weiterhin darf die hier betrachtete Zufallsvariable nur zwei mögliche Ausprägungen besitzen, es darf also nur zwischen Mann und Frau und nicht z.B. Mann, Frau und Kind unterschieden werden.

$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist

Nun sollst du zusätzlich entscheiden, ob die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Situation zulässig ist. Stelle dir dazu die Frage, ob die Anzahl der Frauen unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen als binomialverteilt angenommen werden kann. Dazu musst du dir die Frage stellen, ob es sich hier wirklich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt.

Würde es sich hier nicht um ein Ziehen mit Zurücklegen handeln, so würde sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Frau unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen ändern, nachdem eine von ihnen vor dem Kassenhäuschen stand.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau ein deutsches Stadion besucht, liegt laut einer Untersuchung bei 25 %. Diese Wahrscheinlichkeit gilt also für alle Stadien in Deutschland. Die Größe ist also „von außen“ bzw. „exogen“ gegeben. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Frau vor dem Kassenhäuschen steht, ist immer die gleiche, weshalb hier ein Ziehen mit Zurücklegen vorliegt und die Berechnung über den gegeben Ansatz zulässig ist.

d)(1) $\blacktriangleright$ Gegebene Daten im Baumdiagramm darstellen

Nun ist es deine Aufgabe, die Daten, die du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, in das Baumdiagramm einzutragen und die fehlenden relativen Häufigkeiten zu ergänzen.

Dazu kannst du zunächst die Bezeichnungen in die eckigen Kästchen und anschließend die relativen Häufigkeiten in die runden Kästchen eintragen, die du der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Anschließend kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten berechnen. Die vier runden Kästchen, die sich jeweils am Ende eines „Astes“, befinden, sind für die Anteile der jeweiligen Gruppe an der Gesamtmitgliederzahl vorgesehen, also beispielsweise, wie groß der Anteil der Frauen im gesamten DFB ist. Die runden Kästchen in der Mitte sind dagegen bedingte relative Häufigkeiten. Hier soll das Feld mit $H1$ beispielsweise den Anteil der Mädchen unter allen weiblichen Mitgliedern angeben.

Die Zuschauer werden zunächst in „weiblich“ und „ männlich“ unterschieden. Anschließend werden diese beiden Gruppen jeweils wieder in zwei unterschiedliche Altersgruppen eingeteilt. Bei den weiblichen Zuschauern sind dies „Frauen“ und „Mädchen“, bei den männlichen „Senioren“ und „Junioren“.

Die Bezeichnungen müssen demnach wie folgt eingetragen werden:

Flussdiagramm zur Kategorisierung von Geschlechtern und Altersgruppen, unterteilt in männlich und weiblich.

Nun kannst du die relativen Häufigkeiten eintragen, die du der Aufgabenstellung bereits entnehmen kannst. Damit ergibt sich dann das folgende Diagramm:

Diagramm zur Geschlechterverteilung mit Prozentangaben für verschiedene Gruppen.

Nun kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten berechnen.

Da ein Mitglied entweder weiblich oder männlich ist, weder beides noch keins von beidem sein kann, muss der Anteil $P("\text{männlich}")$ der männlichen Mitglieder zusammen mit dem Anteil $P("\text{weiblich}")$ der weiblichen Mitglieder $100\,\%$ ergeben. Dadurch erhältst du für den Anteil der männlichen Mitglieder:

$P("\text{männlich}")= 100\,\% - 15,84\,\% = 84,16\,\%$ .

Genauso kannst du auch bei dem Anteil $P_{"\text{weiblich}"}("\text{Frau}")$ der Frauen an der Zahl der weiblichen Mitglieder vorgehen, da ein weibliches Mitglied entweder der Altersgruppe der Frauen oder der Altersgruppe der Mädchen angehören muss. Dann erhältst du:

$P_{"\text{weiblich}"};("\text{Frau}") = 100\,\%- 31,78\,\% = 68,22\,\%$ .

Trägst du diese relativen Häufigkeiten ebenfalls ein, so erhältst du folgendes Diagramm:

Diagramm zur Darstellung von Geschlechterverhältnissen mit Prozentanteilen, unterteilt in männlich und weiblich.

Nun kannst du noch den Anteil $P("\text{Frau}")$ der Frauen an der Gesamtmitgliederzahl berechnen. Dieser ergibt sich mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel durch den Anteil der weiblichen Mitglieder multipliziert mit dem Anteil der Frauen an der Zahl der weiblichen Mitglieder:

$15,84\,\% \cdot 68,22\,\% = 0,1584\cdot 0,6822 \approx 0,1081 = 10,81\,\%$ .

Genauso kannst du auch den Anteil $P("\text{Mädchen}")$ der Mädchen an der Gesamtmitgliederzahl berechnen und erhältst:

$15,84\,\% \cdot 31,78\,\% = 0,1584\cdot 0,3178 \approx 0,0503 = 5,03\,\%$ .

Nun weißt du noch, dass insgesamt ca. $33,09\,\%$ der Mitglieder zu den Jugendlichen gehören. Der Anteil der Junioren an der Gesamtmitgliederzahl und der Anteil der Mädchen an der Gesamtmitgliederzahl müssen also zusammen $33,09\,\%$ betragen. Damit ergibt sich für den Anteil der Junioren an der Mitgliederzahl: $P("\text{Junior}") = 33,09\,\% - 5,03\,\% = 28,06\,\%$ .

Als nächstes bietet es sich an, den Anteil $\boldsymbol{P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")}$ zu berechnen. Dieser ergibt sich wieder mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel. Es muss gelten:

$P("\text{männlich}") \cdot P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}") = P("\text{Junior}")$ .

Setzt du dort die relativen Häufigkeiten ein, die du bereits bestimmt hast, so ergibt sich eine Gleichung, die du nach $P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")$ lösen kannst:

$\begin{array}{rll} P("\text{männlich}") \cdot P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")=&P("\text{Junior}")&\scriptsize \\ 0,8416\cdot P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")=&0,2806&\scriptsize \mid\; :0,8416 \\ P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")\approx&0,3334&\scriptsize \\ =&33,34\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

Trägst du diese berechneten relativen Häufigkeiten in dein Diagramm ein, so sollte es ähnlich aussehen wie hier:

Diagramm mit Prozentzahlen zur Geschlechterverteilung in verschiedenen Altersgruppen.

Nun kannst du wie zuvor die beiden übrigen relativen Häufigkeiten berechnen:

$P_{\text{"männlich"}}("\text{Senior}") = 100\,\% - P_{"\text{männlich}"}("Junior") = 100\,\% - 33,34\,\% = 66,66\,\%$ .

$P("\text{Senior}") = P("\text{männlich}") \cdot P_{"männlich"}("Senior") = 0,8416 \cdot 0,6666 \approx 0,5610 = 56,10\,\%$ .

Damit ist das Baumdiagramm nun gefüllt und sollte so aussehen:

Diagramm mit Prozentangaben zu Geschlechtern und Altersgruppen.

d) (2) $\blacktriangleright$ Relative Häufigkeiten beschreiben

Nun sollst du die beiden relativen Häufigkeiten, die im Baumdiagramm mit $H1$ und $H2$ gekennzeichnet sind, mit Worten beschreiben.

$H1$ gibt den Anteil der Mädchen an, den diese an der Gesamtzahl der weiblichen Mitglieder haben. Also gehören $31,78\,\%$ aller weiblichen Mitglieder zur Altersgruppe der Mädchen.

$H2$ gibt den Anteil der Mädchen an, den diese an der Gesamtmitgliederzahl haben. Dies bedeutet, dass $5,03\,\%$ aller Mitglieder des DFB Mädchen sind.

d) (3) $\blacktriangleright$ Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten

Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich bei den beiden Personen

um einen „Junior“
und ein „Mädchen“ handelt.

Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen:

Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: $P("\text{Junior}") = 0,2806$
Wahrscheinlichkeit für ein „Mädchen“: $P("\text{Mädchen}") = 0,0503$

Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln.

Da zuerst ein „Junior“ und dann ein „Mädchen“ (und andersherum) aus der Gesamtheit ausgewählt werden könnte, musst du hier die „Reihenfolge“ beachten. Mit Hilfe der Pfadmultiplikation und der Pfadaddition ergibt sich also:

$P = 2 \cdot P("\text{Junior}") \cdot P("\text{Mädchen}") = 2 \cdot 0,2806 \cdot 0,0503 \approx 0,0282$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen „Junior“ und ein „Mädchen“ auszuwählen liegt also bei 0,0282 bzw. 2,82 %.

e) (1) $\blacktriangleright$ Wahl der Nullhypothese begründen

Der Verkaufsleiter führt einen Hypothesentest durch um zu überprüfen, ob der Anteil der weiblichen Stadionbesucher tatsächlich gestiegen ist. Ist dies der Fall, so stellt er mehr Vorräte für die speziellen Angebote für die weiblichen Besucher bereit. Du sollst nun die Wahl seiner Nullhypothese $H_{0}: p\leq0,25$ begründen.

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass er möglichst nicht zu viele Vorräte für die speziellen Angebote einkaufen möchte. Ausgehend von dieser Information kannst du nun überlegen, warum es deshalb sinnvoll ist, die Nullhypothese so zu wählen.

Der Verkaufsleiter möchte unbedingt verhindern zu viele Vorräte für die speziellen Angebote zu kaufen und dadurch auf verderblicher Ware sitzen zu bleiben. Er wird also nur davon ausgehen, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich auf mehr als $25\,\%$ gestiegen ist und dementsprechend mehr Vorräte einkaufen, wenn deutlich mehr weibliche Besucher als erwartet in der Stichprobe gezählt werden. Weil er auf Nummer sicher gehen will, wählt er daher die Nullhypothese $H_{0}: p\leq0,25$ .

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

Nun sollst du eine Entscheidungsregel ermitteln. Du sollst also auf Grundlage einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $0,05$ ein Intervall bestimmen, sodass der Verkaufsleiter seine Nullhypothese bestätigt sieht, wenn die Anzahl der weiblichen Zuschauer innerhalb dieses Intervalls liegt. Andernfalls wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Wahl der Null- und Gegenhypothese ist dir bereits gegeben. Daraus kannst du schließen, dass hier ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird. Der Annahmebereich hat damit folgende Form:

$A = [0,1,...,k]$

Der Ablehungsbereich hat dementsprechend die Form:

$\overline{A} = [k+1,...,n] = [k+1,...,1.000]$

Um eine Entscheidungsregel formulieren zu können, benötigst du also die rechte Grenze des Annahmebereichs, den Wert $k$ . Um diesen zu berechnen, können dir die $\sigma$ -Regeln helfen. Gehe also so vor:

Führe eine Zufallsvariable $Z$ für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein.
Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, indem du die $\sigma$ -Regeln anwendest. Berechne dazu zunächst $\sigma$ um zu überprüfen, ob das Laplace-Kriterium erfüllt ist. Wähle dann die hier passende $\sigma$ -Regel aus und berechne anschließend $\mu$ . Danach kannst du die Grenzen des Annahme- und Ablehnungsbereichs berechnen.
Formuliere eine Entscheidungsregel

1. Schritt: Einführen einer passenden Zufallsvariablen

Um Annahme- und Ablehnungsbereich hier bestimmen zu können, benötigst du eine Zufallsvariable $Z$ welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer in der gegebenen Stichprobe vom Umfang 1.000 beschreibt. Die Zufallsvariable $Z$ ist hier wieder mit $n = 1.000$ und $p = 0,25$ mit der gleichen Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor binomialverteilt.

2. Schritt: Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen

Um die $\sigma$ -Regeln anwenden zu können, muss $\sigma > 3$ gelten. Diesen Wert kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen, die du auch im Anhang mit den $\sigma$ -Regeln des Aufgabenblattes findest:

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Setzt du dort die entsprechenden Werte $n = 1.000$ und $p = 0,25$ ein, so erhältst du:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \sigma =&\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}& n =1.000; p = 0,25 \\ =&\sqrt{1.000\cdot 0,25\cdot (1-0,25}& \\ \approx&13,69& \\ >&3& \\ \end{array}$

Du kannst hier also die $\sigma$ -Regeln anwenden.

Passende $\sigma$ -Regel auswählen

Die passende Regel findest du mit Hilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese ist dir mit $0,05$ gegeben. Da hier ein rechtsseitiger Test durchgeführt wird, soll gelten:

$P(Z \in \overline{A} ) \leq 0,05$ also $P(Z\geq k+1) \leq 0,05$ .

Dies kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses umformulieren und erhältst:

$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} P(Z \geq k+1)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z < k+1)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z \leq k)&\leq&0,05&\mid -1\\ - P(Z \leq k)&\leq&-0,95&\mid: (-1)\\ P(Z \leq k)&\geq&0,95\\ \end{array}$

Damit findest du die folgende $\sigma$ -Regel:

$P( X \leq \mu + 1,64\cdot\sigma) \approx 0,95$

Grenze $k$ berechnen

Es muss also gelten: $k = \mu + 1,64\cdot\sigma$ . Den Wert für $\sigma$ kennst du bereits. Berechne nun noch $\mu$ mit Hilfe der folgenden Formel:

{ $\mu = n\cdot p$

$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \mu =&n\cdot p& n= 1.000; p = 0,25 \\ =&1.000\cdot 0,25& \\ =&250& \\ \end{array}$

Damit kannst du nun $k$ berechnen und erhältst:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} k =&\mu + 1,64\cdot\sigma& \mu = 250; \sigma \approx 13,69 \\ \approx&250+ 1,64\cdot13,69& \\ \approx&272,45& \\ \end{array}$

Da ein Annahmebereich nur aus ganzzahligen Werten besteht (es kann schließlich keine halben Besucher geben), muss hier gerundet werden. Weil das $k$ der kleinste Wert ist, für den $P(Z\leq k)$ gerade noch $\geq 0,95$ ist, muss hier aufgerundet werden: $k = 273$ .

Damit lauten der Annahmebereich und der Ablehnungsbereich wie folgt:

$A = [0,..,273]$ und $\overline{A} = [274,...,1.000]$

3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

Du weißt, dass der Verkaufsleiter die Nullhypothese ablehnt, wenn $Z$ einen Wert aus dem Ablehnungsbereich annimmt. In diesem Fall würde er mehr Vorräte einkaufen, weil er davon ausginge, dass der Anteil der weiblichen Besucher tatsächlich höher als $0,25$ ist.

Werden unter den $1.000$ zufällig ausgewählten Fotos mehr als $273$ weibliche Stadionbesucher gefunden, so lehnt der Verkaufsleiter seine Nullhypothese unter dem Signifikanzniveau $5\,\%$ ab und geht von einem Anteil an weiblichen Personen aus, der höher als $25\,\%$ ist. In diesem Fall kauft er mehr Vorräte für die speziellen Angebote für Frauen ein.

Werden in der Stichprobe $273$ oder weniger Fotos von Frauen gefunden, so geht der Verkaufsleiter bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ davon aus, dass der Anteil weiblicher Besucher nicht gestiegen ist und immer noch maximal bei $25\,\%$ liegt. In diesem Fall kauft der Verkaufsleiter nicht mehr Vorräte als sonst üblich ein.

e) (2) $\blacktriangleright$ Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit

Hier sollst du nun zum obigen Hypothesentest den Fehler 2. Art beschreiben und die Wahrscheinlichkeit für diesen berechnen, für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt.
Der Fehler 2. Art beschreibt immer ein Ablehnen der Gegenhypothese, obwohl diese wahr ist. Hier bedeutet das ein Ablehnen der Gegenhypothese $H_1: p > 0,25$ obwohl eigentlich $p = 0,3 > 0,25$ gilt. Im Sachzusammenhang interpretiert bedeutet das, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer in Wirklichkeit über 25 % gestiegen ist, obwohl dies mit dem Hypothesentest widerlegt wurde.
Betrachtest du dazu Zufallsvariable $Z_{\text{neu}}$ die mit $p = 0,3$ und $n = 1.000$ die Anzahl der weiblichen Stadionbesucher nach gestiegenem Anteil beschreibt, dann nimmt diese einen Wert aus dem Annahmebereich für die Nullhypothese an, wenn der Fehler 2. Art eintritt.

Willst du die Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du also folgenden Term betrachten:

$P(Z_{\text{neu}} \leq 273)$

Verwende dazu auch hier wieder die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ( $n = 1.000; p = 0,3$ ) oder deinen GTR.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

Betrachte hier die Tabelle für $n = 1.000$ und $p = 0,3$ und suche den Wert an der Stelle $k = 273$ .
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also: $P(Z_{\text{neu}} \leq 273) = 0,0329$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung über GTR

Verwende hier wieder wie in den Aufgabenteilen zuvor deinen GTR. Mit dem binomcdf-Befehl ergibt sich hier:

Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit der Eingabe einer mathematischen Funktion.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist hier also 0,329 bzw. 3,29 %.

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich.

Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten:

Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauern, befinden sich

(1) genau 48 weibliche Zuschauer.
(2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.
(3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

„Zuschauer ist weiblich“
„Zuschauer ist nicht weiblich“

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1)

Mit der Zufallsvariable $X$ kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete:

Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauern befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer.

Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also:

$P(X = 48)$

Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Im Folgenden werden beide Lösungswege ausgeführt.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den Bpd-Befehl, welchen du im STAT-Menü unter

DIST BINM Bpd

findest. Um $P(X = 48)$ hier zu berechnen, wendest du diesen Befehl wie in den Schaubildern unten an.

Symbol eines Schreibtischs mit Stuhl, ideal für Bildungs- und Lernkontexte.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

$P(X = 48) = P(X \leq 48) - P(X \leq 47)$

Es ergibt sich hier also folgende Berechnung:

$P(X = 48) = 0,4083 - 0,3458 = 0,0625$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 48 der befragten Personen weiblich sind, liegt also bei 0,0625 bzw. 6,25%.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2)

Ereignis (2) war gegeben mit:

Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer.

Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable $X$ . Willst du hier die Wahrscheinlichkeit für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für $X$ gelten:

$35 \leq X \leq 60$

Hast du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt, so kannst du zur Berechnung deinen GTR bzw. die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden.

$\begin{array}{rll} P(35 \leq X \leq 60)&=&P(X \geq 35) + P(X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X < 35)\\ &=&P(X \leq 60) - P(X \leq 34) \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Willst du diese Aufgabe mit deinem GTR lösen, so wählst du hier den Bcd-Befehl, welchen du im STAT-Menü unter

DIST BINM Bpd

Ein einfaches, schwarzes Symbol auf weißem Hintergrund.

Es folgt also:

$P(35 \leq X \leq 60)= P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

$P(35 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 34) = 0,9546 - 0,0044 = 0,9502$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern befinden, beträgt also 0,9502 bzw. 95,02 %.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3)

Ereignis (3) war gegeben mit:

Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.

Da hier mit $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnet sich deren Erwartungswert über die folgende Formel:

$E = n \cdot p$

$P_3 = P(X \leq (E - 10)) + P(X \geq (E + 10))$

%LT Der Erwartungswert von $X$ ist hier:

$E = 200 \cdot 0,25 = 50$ .

Willst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen, so musst du diese auch hier zunächst wie folgt mit dem Gegenereignis umformen:

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösen mit dem GTR

Symbol einer offenen Hand auf schwarzem Hintergrund.

Es folgt:

$P_3 = P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösen mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

$\begin{array}{rll} P_3&=&P(X \leq 40) + 1 - P(X \leq 59) = 0,0578 + 1 - 0,9375 = 0,1203\\ \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der weiblichen Zuschauer um mindestens 10 vom Erwartungswert abweicht, beträgt also 0,1203 bzw. 12,03%.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis $\boldsymbol{E}$ im Sachzusammenhang beschreiben

Hier sollst du nun ein Ereignis $E$ im Sachzusammenhang beschreiben, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

$P(E)=1-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

$P(E)=$ $1-$ $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

1. Schritt: Mathematische Bedeutung

Du weißt, dass für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$P(a\leq X\leq b) = \displaystyle\sum\limits_{k=a}^{b}\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Hier beschreibt der Term

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1000-k}$ $= P(0\leq X_{1.000;0,25}\leq 300)$

Insgesamt ist damit $P(E) = 1- P(0\leq X_{1.000;0,25}\leq 300)$ . Diesen Term kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses umformulieren und erhältst:

$P(E) = P(300 < X_{1.000;0,25}) = P(301\leq X_{1.000;0,25})$

2. Schritt: Übertragung auf den Sachzusammenhang

Demnach beschreibt $E$ das Ereignis, dass sich unter den $1.000$ zufällig ausgewählten Zuschauern des Bundesliga-Spiels mehr als 300 weibliche Zuschauer befinden.

c) (1) $\blacktriangleright$ Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls

Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von $Y$ bilden.

Zum Lösen dieser, musst du hier die $\sigma$ -Regeln anwenden. Gehe dabei so vor:

Berechne zunächst die Standardabweichung von $Y$ und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ erfüllt ist.
Du findest die Regel $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$
Setze $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall.

1. Schritt: Laplace-Kriterium prüfen

Mit $n = 20.000$ und $p = 0,25$ ergibt sich

$\sigma = \sqrt{20.000 \cdot 0,25 \cdot (1 - 0,25)} = \sqrt{3.750} \approx 61,24 > 3$ .

Damit ist das Laplace-Kriterium für die Zufallsvariable $Y$ erfüllt und die Sigma-Regeln dürfen angewandt werden.

2. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regeln umformen

Setze nun wie oben beschrieben in den Ausdruck $P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma) \approx 0,90$ ein und berechne wie folgt das gesuchte Intervall

$\begin{array}{rlrl} P(\mu - 1,64 \cdot \sigma < Y < \mu + 1,64 \cdot \sigma)&\approx&0,90\\ P(n \cdot p - 1,64 \cdot 61,24 6lt Y < n \cdot p + 1,64 \cdot 61,24)&\approx&0,90\\ P(20.000 \cdot 0,25 - 100,434 < Y < 20.000 \cdot 0,25 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(5.000 - 100,434 < Y <5.000 + 100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899,566 < Y < 5.100,434)&\approx&0,90\\ P(4.899 < Y & lt 5.101)&\approx&0,90\\ \end{array}$

Das hier gesuchte Intervall ist: $\left[4.899;5.101\right]$ .

c) (2) $\blacktriangleright$ Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann

$$ P= \dbinom{50}{12} \cdot 0,25^{12} \cdot 0,75^{38} $$

$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist

d)(1) $\blacktriangleright$ Gegebene Daten im Baumdiagramm darstellen

Nun ist es deine Aufgabe, die Daten, die du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, in das Baumdiagramm einzutragen und die fehlenden relativen Häufigkeiten zu ergänzen.

Die Bezeichnungen müssen demnach wie folgt eingetragen werden:

Diagramm zur Geschlechterverteilung in verschiedenen Altersgruppen und Kategorien.

Nun kannst du die relativen Häufigkeiten eintragen, die du der Aufgabenstellung bereits entnehmen kannst. Damit ergibt sich dann das folgende Diagramm:

Diagramm zur geschlechtsspezifischen Verteilung mit Prozentangaben für männlich und weiblich.

Nun kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten berechnen.

$P("\text{männlich}")= 100\,\% - 15,84\,\% = 84,16\,\%$ .

$P_{"\text{weiblich}"};("\text{Frau}") = 100\,\%- 31,78\,\% = 68,22\,\%$ .

Trägst du diese relativen Häufigkeiten ebenfalls ein, so erhältst du folgendes Diagramm:

Diagramm zur Darstellung von Geschlechterverteilung mit Prozentangaben für männlich und weiblich.

$15,84\,\% \cdot 68,22\,\% = 0,1584\cdot 0,6822 \approx 0,1081 = 10,81\,\%$ .

Genauso kannst du auch den Anteil $P("\text{Mädchen}")$ der Mädchen an der Gesamtmitgliederzahl berechnen und erhältst:

$15,84\,\% \cdot 31,78\,\% = 0,1584\cdot 0,3178 \approx 0,0503 = 5,03\,\%$ .

$P("\text{männlich}") \cdot P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}") = P("\text{Junior}")$ .

Setzt du dort die relativen Häufigkeiten ein, die du bereits bestimmt hast, so ergibt sich eine Gleichung, die du nach $P_{"\text{männlich}"}("\text{Junior}")$ lösen kannst:

Trägst du diese berechneten relativen Häufigkeiten in dein Diagramm ein, so sollte es ähnlich aussehen wie hier:

Diagramm mit Prozentanteilen für männliche und weibliche Gruppen.

Nun kannst du wie zuvor die beiden übrigen relativen Häufigkeiten berechnen:

$P_{\text{"männlich"}}("\text{Senior}") = 100\,\% - P_{"\text{männlich}"}("Junior") = 100\,\% - 33,34\,\% = 66,66\,\%$ .

$P("\text{Senior}") = P("\text{männlich}") \cdot P_{"männlich"}("Senior") = 0,8416 \cdot 0,6666 \approx 0,5610 = 56,10\,\%$ .

Damit ist das Baumdiagramm nun gefüllt und sollte so aussehen:

Diagramm mit Prozentangaben zu Geschlechterverteilung und Altersgruppen.

d) (2) $\blacktriangleright$ Relative Häufigkeiten beschreiben

Nun sollst du die beiden relativen Häufigkeiten, die im Baumdiagramm mit $H1$ und $H2$ gekennzeichnet sind, mit Worten beschreiben.

$H1$ gibt den Anteil der Mädchen an, den diese an der Gesamtzahl der weiblichen Mitglieder haben. Also gehören $31,78\,\%$ aller weiblichen Mitglieder zur Altersgruppe der Mädchen.

$H2$ gibt den Anteil der Mädchen an, den diese an der Gesamtmitgliederzahl haben. Dies bedeutet, dass $5,03\,\%$ aller Mitglieder des DFB Mädchen sind.

d) (3) $\blacktriangleright$ Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten

Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich bei den beiden Personen

um einen „Junior“
und ein „Mädchen“ handelt.

Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen:

Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: $P("\text{Junior}") = 0,2806$
Wahrscheinlichkeit für ein „Mädchen“: $P("\text{Mädchen}") = 0,0503$

Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln.

$P = 2 \cdot P("\text{Junior}") \cdot P("\text{Mädchen}") = 2 \cdot 0,2806 \cdot 0,0503 \approx 0,0282$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, einen „Junior“ und ein „Mädchen“ auszuwählen liegt also bei 0,0282 bzw. 2,82 %.

e)(1) $\blacktriangleright$ Wahl der Nullhypothese begründen

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

$A = [0,1,...,k]$

Der Ablehungsbereich hat dementsprechend die Form:

$\overline{A} = [k+1,...,n] = [k+1,...,1.000]$

Führe eine Zufallsvariable $Z$ für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein.
Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, indem du die $\sigma$ -Regeln anwendest. Berechne dazu zunächst $\sigma$ um zu überprüfen, ob das Laplace-Kriterium erfüllt ist. Wähle dann die hier passende $\sigma$ -Regel aus und berechne anschließend $\mu$ . Danach kannst du die Grenzen des Annahme- und Ablehnungsbereichs berechnen.
Formuliere eine Entscheidungsregel

1. Schritt: Einführen einer passenden Zufallsvariablen

2. Schritt: Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Setzt du dort die entsprechenden Werte $n = 1.000$ und $p = 0,25$ ein, so erhältst du:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \sigma =&\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}& n =1.000; p = 0,25 \\ =&\sqrt{1.000\cdot 0,25\cdot (1-0,25}& \\ \approx&13,69& \\ >&3& \\ \end{array}$

Du kannst hier also die $\sigma$ -Regeln anwenden.

Passende $\sigma$ -Regel auswählen

Die passende Regel findest du mit Hilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese ist dir mit $0,05$ gegeben. Da hier ein rechtsseitiger Test durchgeführt wird, soll gelten:

$P(Z \in \overline{A} ) \leq 0,05$ also $P(Z\geq k+1) \leq 0,05$ .

Dies kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses umformulieren und erhältst:

$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} P(Z \geq k+1)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z < k+1)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z \leq k)&\leq&0,05&\mid -1\\ - P(Z \leq k)&\leq&-0,95&\mid: (-1)\\ P(Z \leq k)&\geq&0,95\\ \end{array}$

Damit findest du die folgende $\sigma$ -Regel:

$P( X \leq \mu + 1,64\cdot\sigma) \approx 0,95$

Grenze $k$ berechnen

Es muss also gelten: $k = \mu + 1,64\cdot\sigma$ . Den Wert für $\sigma$ kennst du bereits. Berechne nun noch $\mu$ mit Hilfe der folgenden Formel:

{ $\mu = n\cdot p$

$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \mu =&n\cdot p& n= 1.000; p = 0,25 \\ =&1.000\cdot 0,25& \\ =&250& \\ \end{array}$

Damit kannst du nun $k$ berechnen und erhältst:

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} k =&\mu + 1,64\cdot\sigma& \mu = 250; \sigma \approx 13,69 \\ \approx&250+ 1,64\cdot13,69& \\ \approx&272,45& \\ \end{array}$

Damit lauten der Annahmebereich und der Ablehnungsbereich wie folgt:

$A = [0,..,273]$ und $\overline{A} = [274,...,1.000]$

3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren

e) (2) $\blacktriangleright$ Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit

Willst du die Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du also folgenden Term betrachten:

$P(Z_{\text{neu}} \leq 273)$

Verwende dazu auch hier wieder die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung ( $n = 1.000; p = 0,3$ ) oder deinen GTR.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung

Betrachte hier die Tabelle für $n = 1.000$ und $p = 0,3$ und suche den Wert an der Stelle $k = 273$ .
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also: $P(Z_{\text{neu}} \leq 273) = 0,0329$ .

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung über GTR

Verwende hier wieder wie in den Aufgabenteilen zuvor deinen GTR. Mit dem Bcd-Befehl ergibt sich hier:

Symbol eines Computers mit einem stilisierten Monitor und Tastatur.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist hier also 0,329 bzw. 3,29 %.