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Das Produkt „Fußball-Bundesliga“ ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40.000 pro Spiel. Dabei ist das Publikum mittlerweile zu \( 25\,\%\) weiblich.
Dieser Prozentsatz soll im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel zufällig ausgewählten Zuschauern1
  1. genau 48 weibliche Zuschauer befinden,
  2. mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer befinden,
  3. eine Anzahl von weiblichen Zuschauern befindet, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht.
(2P + 3P + 5P)

1 Der Begriff „Zuschauer“soll stets männliche und weibliche Zuschauer umfassen.

b) Beschreiben Sie im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis \( E\), dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term
\( P(E)=1-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{300}\begin{pmatrix}1.000\\k\end{pmatrix}\cdot 0,25^{k}\cdot0,75^{1.000-k} \) berechnet werden kann.
[Hinweis: Der Wert dieses Terms muss nicht berechnet werden.]
(4P)
c) Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20.000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist.
  1. Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20.000 Zuschauer das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 liegt.
  2. Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann:
    \( P=\begin{pmatrix}50\\12\end{pmatrix}\cdot 0,25^{12}\cdot0,75^{38}. \)
    Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist.
(6P + 5P)
d) Im Deutschen Fußballbund (DFB) sind 1.077.215 weibliche Mitglieder gemeldet2, was einem Anteil von (ungefähr) \( 15,84\,\%\) entspricht. Von diesen gehören \( 31,78\,\%\) zur Alterklasse „Mädchen“, der Rest zur Altersklasse „Frauen“. Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen „Junioren“ und „Senioren“. Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen („Mädchen“ und „Junioren“) im DFB \( 33,09\,\%\).
  1. Stellen Sie die gegebenen Daten in dem folgenden Baumdiagramm dar und notieren Sie alle fehlenden relativen Häufigkeiten.
  1. Beschreiben Sie die relativen Häufigkeiten, die im Diagramm als \( H1\) bzw. \( H2\) bezeichnet werden, mit Worten.
  2. Zwei Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den beiden Personen um einen männlichen Jugendlichen (Junior) und ein Mädchen handelt.
(7P + 3P +4P)

2 Gehen Sie davon aus, dass es sich um aktuelle Daten handelt.

e) Um den Stadionbesuch für weibliche Zuschauer attraktiver zu gestalten, werden für diese an Imbissständen des Stadions spezielle Angebote gemacht.
Der Verkaufsleiter vermutet, dass der Anteil weiblicher Zuschauer sogar auf über \( 25\,\%\) gestiegen ist, so dass er zusätzliche Vorräte für die speziellen Angebote bereitstellen müsste. Er möchte aber unbedingt vermeiden, auf größeren Mengen verderblicher Ware sitzen zu bleiben.
Um eine Entscheidung treffen zu können, nutzt er Fotos, die im Rahmen eines Anti-Hooligan-Programms von jedem einzelnen Zuschauer beim Einlass gemacht werden. Er lässt 1.000 zufällig auswählen und in dieser Stichprobe die Anzahl der Fotos bestimmen, die weibliche Zuschauer zeigen.
  1. Der Verkaufsleiter testet die Nullhypothese \( H_{0}: p\leq0,25\).
    Begründen Sie die Wahl dieser Nullhypothese aus der Sicht des Verkaufsleiters und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die genannte Stichprobe (Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05).
  2. Beschreiben Sie den Fehler 2.Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich \( 30\,\%\) beträgt.
(7P + 4P)
Tabelle 1: \( \boldsymbol{\sigma}\)-Regeln für Binomialverteilungen
Eine mit den Parametern \( n\) und \( p\) binomialverteilte Zufallsgröße \( X\) hat den Erwartungswert \( \mu=n\cdot p\) und die Standardabweichung \( \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).
Wenn die LAPLACE-Bedingung \( \sigma >3\) erfüllt ist, gelten die \( \sigma\)-Regeln:
Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20
\( F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\)
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. \( p\geq0,5\) gilt: \( F(n;p;k)=1-\)abgelesener Wert
Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=50
\( F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\)
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. \( p\geq0,5\) gilt: \( F(n;p;k)=1-\)abgelesener Wert
Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n=200
\( F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\)
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. \( p\geq0,5\) gilt: \( F(n;p;k)=1-\)abgelesener Wert
Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n=1.000
\( F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\)
Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. \( p\geq0,5\) gilt: \( F(n;p;k)=1-\)abgelesener Wert
Tabelle 6: Normalverteilung
\( \Phi(z)=0,...\)
\( \Phi(-z)=1-\phi(z)\)
Beispiele für den Gebrauch:
\(\phi(2,32)=0,9898\) \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \) \(\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51\)
\( \phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841\)