A3

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x +10 , x \in \mathbb{R},$

und

$g(x)=-6 \cdot x+10, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen.

(2)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ ist einer dieser gemeinsamen Punkte.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(3 + 2 Punkte)

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

$f(x)=3 \cdot x^2-12, x \in \mathbb{R}.$

(i)

Berechne die Nullstellen von $f.$

(ii)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird.

(5 Punkte)

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

$f(x)=x^2 \cdot \mathrm e ^x, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Zeige: $f^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm e ^x.$

(2)

Bestimme (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion $f.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x}=\pmatrix{2\\3\\-7} +s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4\mid 0 \mid 0)$ und $B(5\mid 1 \mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

(1)

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(2)

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittle den Wert von $b.$

(1 + 4 Punkte)

(1)

Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A, B$ und $C.$ Es gilt jeweils $n=10.$ Zu jeder Zufallsgröße gehört eine der Wahrscheinlichkeiten $p_1=0,2$ , $p_2=0,4$ und $p_3=0,8.$

Abbildung 1-1

Abbildung 1-2

Abbildung 1-3

Ordne den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu.

(2)

Eine weitere Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10.$

Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt.

Es gilt: $P(X \geq 4) \approx 0,35.$

Abbildung 2

(i)

Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2).$

(ii)

Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X =3).$

(2 + 3 Punkte)

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(1)

Gleichsetzen:

Rechenweg anzeigen

$x(x^2-6x+9)= 0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $x=0$ oder $x^2-6 \cdot x+9=0$ sein muss. Es ist also $x_1=0$ und weiterhin folgt mit der $pq$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=&-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-9} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{3^2-9} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

An den Stellen $x_1=0$ und $x_2=3$ besitzen der Graph von $f$ und der Graph von $g$ gemeinsame Punkte.

(2)

Die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$ lässt sich mit Hilfe der ersten Ableitungsfunktion von $f$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Dies entspricht der Steigung von $g.$ Es gilt also $\(f$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(i)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 3x^2-12&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x^2-4&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=&\pm \sqrt{4} \end{array}$

Die Nullstellen von $f$ folgen mit $x_1=-2$ und $x_2=2.$

(ii)

Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, wird mit dem Betragswert des folgenden Integrals bestimmt:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\; \mathrm d x =...$

Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $32 \;\text{FE}.$

(1)

Produktregel anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

(2)

Lösungsweg unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da stets $\mathrm e^x \neq 0$ gilt, folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $x=0$ oder $2 +x=0.$

Daraus folgen $x_{E_1}=-2$ und $x_{E_2}= 0$ als mögliche Extremstellen.

2. Schritt: Vorzeichenwechselkriterium anwenden

Es gilt:

$f^{\prime}(-3)$ $= (-3)\cdot (2 -3)\cdot \mathrm e^{-3}$ $=3 \cdot \mathrm e ^{-3} \gt0$

$f^{\prime}(-1)$ $= (-1)\cdot (2 -1)\cdot \mathrm e^{-1}$ $=- \mathrm e ^{-1}\lt0$

$f^{\prime}(1)$ $= (2 +1)\cdot \mathrm e^{1}$ $=3 \cdot \mathrm e \gt0$

Somit liegt an der Stelle $x_{E_1}=-2$ ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $f^{\prime}$ vor. $x_{E_1}=-2$ ist also eine lokale Maximalstelle von $f.$

An der Stelle $x_{E_2}=0$ liegt ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten von $f^{\prime}$ vor. $x_{E_2}=0$ ist also eine lokale Minimalstelle von $f.$

Alternativer Lösungsweg unter Verwendung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen

1. Schritt: Zweite Ableitung bilden

Produktregel anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da stets $\mathrm e^x \neq 0$ gilt, folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $x=0$ oder $2 +x=0.$

Daraus folgen $x_{E_1}=-2$ und $x_{E_2}= 0$ als mögliche Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$x_{E_1}=-2$ ist also eine lokale Maximalstelle von $f.$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$x_{E_2}=0$ ist also eine lokale Minimalstelle von $f.$

(1)

Alle Punkte von $g$ haben die $x_2$ -Koordinate $3, A$ hat aber die $x_2$ -Koordinate 0.

(2)

Eine Geradengleichung von $h$ ergibt sich zu $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{4\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\b}.$

$g$ und $h$ gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}&=& \pmatrix{4\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\b} \end{array}$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{vmatrix} 2+s&=& 4+r\\[5pt] 3&=&r \\[5pt] -7+5s&=& r\cdot b \end{vmatrix}$

$r=3$ in die erste Zeile einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 2+s&=& 4+3&\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] s&=&5 \end{array}$

$s$ und $r$ in die letzte Zeile des LGS einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -7+5s&=& r\cdot b \\[5pt] -7+5\cdot 5&=& 3\cdot b&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] 6&=& b\\[5pt] b&=& 6 \end{array}$

(1)

Zuordnung:

$\text{I} \rightarrow p_2$

$\text{II} \rightarrow p_3$

$\text{III} \rightarrow p$

(2)

(i)

$P(X \leq 2)$ $=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Aus dem Histogramm können die passenden Werte abgelesen werden, also folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 2)&\approx& 0,03+0,12+0,23 \\[5pt] &=&0,38 \end{array}$

(ii)

$P(X=3)$ $=1-P(X \leq 2)-P(X \geq 4)$

$\begin{array}[t]{rll} P(X =3)&\approx& 1-0,38-0,35 \\[5pt] &=&0,27 \end{array}$

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