Aufgabe 3

Bei einem Secret-Sharing-Verfahren wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse auf verschiedene Personen aufgeteilt, um die Verantwortung in mehrere Hände zu legen. Es kann sinnvoll sein, dass ein geheimer Code, z.B. zum Öffnen eines Tresors, nicht einer Person allein bekannt ist, sondern lediglich von mehreren Personen gemeinsam ermittelt werden kann.
Unternehmen können ein solches Verfahren beispielsweise auf geometrischer Basis realisieren. Hierbei kann eine Auswahl von Mitarbeitenden mit Kenntnissen über notwendige Teilgeheimnisse den geheimen Code ermitteln, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, welches mit den Eingaben geometrische Fragestellungen löst.
Vereinfachend wird im Folgenden angenommen, dass der zu ermittelnde geheime Code immer aus drei Ziffern besteht.

Das Computersystem kennt die Gerade $g$ mit

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\3\\4}+t\cdot\pmatrix{4\\-2\\-1}$ , $t\in\mathbb{R}$ .

Die Punkte $A(0\mid-3\mid-1)$ , $B(4 \mid 2 \mid1)$ und $C(1\mid -1\mid-1)$ liegen in einer Ebene $H.$ Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem dieser Punkte. Der geheime Code wird durch die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ ermittelt.

(1)

Die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ werden ins System eingegeben.
Berechne den geheimen Code.

(2)

Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B.$ Ein vierter Mitarbeitender erhält den Punkt $D(12 \mid12 \mid 5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H.$

Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann.

(3)

Bestimme rechnerisch die Koordinaten eines von $C$ und $S$ verschiedenen Punktes $E$ so, dass durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $E$ der geheime Code ermittelbar ist.

(5 + 2 + 3 Punkte)

Für ein $a\in\mathbb{R}$ ist die Gerade $h_a:\overrightarrow{x}=\pmatrix{-7\\8\\-1}+s\cdot\pmatrix{3a\\-7\\a}$ , $s\in\mathbb{R}$ , gegeben. Die Koordinaten des Schnittpunktes $S(5\mid1\mid3)$ der Geraden $g$ aus a) mit der Geraden $h_a$ sind der geheime Code.

(1)

Bestimme $a\in\mathbb{R}$ so, dass sich $g$ und $h_a$ im Punkt $S$ schneiden.

(2)

Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines von $S$ verschiedenen Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_4$ liegt.
Gib die Koordinaten eines von $(-7 \mid 8\mid -1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist.

(2 + 1 Punkte)

Ein anderes Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$ mit der Basis $\overline{IJ}$ .
Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I(4 \mid3\mid2)$ , $J(8\mid6\mid -1)$ und $K(6 \mid 5 \mid1)$ jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK.$

(1)

Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{IJ}$ sind.

(2)

Berechne den geheimen Code.

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L.$

(2 + 3 + 2 Punkte)

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(1)

Gesucht ist der Schnittpunkt der Ebene $H$ mit der Geraden $g.$

1. Schritt: Ebenengleichung von $H$ aufstellen

$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{4-0\\2-(-3)\\1-(-1)} =\pmatrix{4\\5\\2}$

$\overrightarrow{AC}=\pmatrix{1-0\\-1-(-3)\\-1-(-1)} =\pmatrix{1\\2\\0}$

Daraus ergibt sich die Gleichung der Ebene in Parameterform:

$H: \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\-3\\-1} + k \cdot \pmatrix{4\\5\\2} +l \cdot \pmatrix{1\\2\\0}$

2. Schritt: Schnittpunkt von Gerade und Ebene berechnen

Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung ergibt:

$\pmatrix{0\\-3\\-1} + k \cdot \pmatrix{4\\5\\2} +l \cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ $= \pmatrix{1\\3\\4} +t \cdot \pmatrix{4\\-2\\-1}$

Daraus folgt dieses LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 4k +l-4t&=& 1 \\ \text{II}\quad& 5k +2l +2t &=& 6 \\ \text{III}\quad& 2k +t &=& 5 \\ \end{array}$

Mit dem TR wird das LGS gelöst.

$\mathbb{L}= \{ k=2, l=-3, t=1\}$

Einsetzen von $t=1$ in die Gleichung der Geraden $g$ ergibt :

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{1\\3\\4} +1 \cdot \pmatrix{4\\-2\\-1}$ $=\pmatrix{5\\1\\3}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes folgen mit $S(5 \mid 1 \mid 3)$ und der geheime Code mit $513$ .

(2)

1. Schritt: Geradengleichung durch $A$ und $B$ aufstellen

$h: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA} + i \cdot \overrightarrow{AB}$ $= \pmatrix{0\\-3\\-1} + i \cdot \pmatrix{4\\5\\2}$

2. Schritt: Koordinaten von $D$ in $h$ einsetzen

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{12\\15\\6}= i \cdot \pmatrix{4\\5\\2}$

Daraus folgt $i=3$ als einzige Lösung und somit liegt $D$ auf der Geraden durch $A$ und $B.$ Deshalb kann keine Ebene mit diesen drei Punkten aufgespannt werden.

Folglich können die Koordinaten von $S$ nicht bestimmt werden und das System kann auch nicht den geheimen Code ermitteln.

(3)

1. Schritt: Koordinaten eines Punktes auf der Ebene bestimmen

$\pmatrix{0\\-3\\1} +1 \cdot \pmatrix{4\\5\\2} + 1 \cdot \pmatrix{1\\2\\0}$ $=\pmatrix{5\\4\\1}$

$E(5 \mid 4\mid 1)$ folgt als ein Punkt, der in der Ebene $H$ liegt und verschieden ist zu $A,B, C$ und $(5 \mid 1\mid 3).$

2. Schritt: $E$ in $h$ einsetzen

$\pmatrix{5\\4\\1} = \pmatrix{0\\-3\\1}+ k \pmatrix{4\\5\\2}$

Die Gleichung ist nicht lösbar und somit liegt $E$ nicht auf der Geraden $h$ und ist somit ein geeigneter Punkt.

(1)

Die Koordinaten von $S$ werden in $h_a$ eingesetzt.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{12\\-7\\4}= s\cdot \pmatrix{3a\\-7\\a}$

Aus der zweiten Zeile folgt $-7 =s \cdot (-7)$ und daraus $s=1.$ Aus der dritten Zeile kann $a=4$ abgelesen werden. Die Probe mit der ersten Zeile $12=1 \cdot 3 \cdot 4=12$ bestätigt dies.

(2)

Der Punkt $(-1 \mid 4,5 \mid 1)$ liegt auf $h_4: \overrightarrow{x}= \pmatrix{-7\\8\\1}+ s\cdot \pmatrix{3\cdot 4\\-7\\4} .$

(1)

$\mid \overline{IJ}\mid =$ $\sqrt{\left( 8-4\right)^2+\left(6-3 \right)^2+\left( -1-2\right)^2}$ $\approx 5,835$

$\mid \overline{JK}\mid$ $= \sqrt{\left( 6-8\right)^2+\left( 5-6\right)^2+\left( 1-(-1)\right)^2}$ $=3$

$\mid \overline{KI}\mid$ $= \sqrt{\left( 6-4\right)^2+\left( 5-3\right)^2+\left( 1-2\right)^2}$ $=3$

Da die Seiten $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ die gleiche Länge haben, ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis $\overline{IJ}.$

(2)

Um die Höhe des Dreiecks zu berechnen, müssen zuerst die Koordinaten des Mittelpunktes der Basis bestimmt werden.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{IJ} }&=& \pmatrix{4\\3\\2}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{8-4\\6-3\\-1-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{6\\4,5\\0,5} \end{array}$

Die Höhe $h$ folgt mit $h= \pmatrix{6-6\\5-4,5\\1-0,5}$ $= \sqrt{ 0,5^2+0,5^2}$ $\approx 0,70711.$

Der geheime Code ist damit $707$ .

(3)

Aus $\overrightarrow{OM} -\overrightarrow{MK}$ $= \pmatrix{6\\4,5\\0,5}+\pmatrix{0\\-0,5\\-0,5}=\pmatrix{6\\4\\0}$ folgt, dass $(6 \mid 4 \mid 0)$ als Spiegelpunkt von $K$ an der Strecke $\overline{IJ}$ ein geeigneter Punkt $L$ ist.

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