Vektorielle Geometrie

Die Abbildung zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{AB,}$ $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ mit $A(11\mid 11\mid 0),$ $B(-11\mid 11\mid 28),$ $C(11\mid -11\mid 28)$ und $D(-11\mid -11\mid 0)$ besteht.

$A,$ $B,$ $C$ und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Begründe, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$ -Achse liegen.

(3 Punkte)

Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

(3 Punkte)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A,$ $B$ und $C$ und teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimme das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen.

(4 Punkte)

ni abi ea gtr 2022 aufgabe 3a saarpolygon koordinatensystem

Das Saarpolygon wird von verschiedenen Positionen aus betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 stellen das Saarpolygon für zwei Positionen schematisch dar.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 3

Abb. 1

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 4

Abb. 2

Gib zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zu der Position gehörige Blickrichtung beschreibt.

Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(5 Punkte)

Der Punkt $P(0\mid 0\mid h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB},$ $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h:$