Pflichtteil

Aufgabe 1 - Analysis

Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=x^2-6x, \; x \in \mathbb{R}.$

Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-2 \mid f(-2)).$

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 2 - Vektorielle Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(4\mid 2\mid 6)$ , $B(6\mid 3\mid 8)$ und für jeden Wert von $z\in \mathbb{R}$ ein Punkt $C(2\mid 1\mid z).$

Bestimme $z$ so, dass der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ liegt.

Gegeben ist die Ebene $E: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\3\\2}+r\cdot \pmatrix{2\\1\\3}+s\cdot \pmatrix{-1\\2\\0}.$

Untersuche, ob der Punkt $B$ in der Ebene $E$ liegt.

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 3 - Stochastik

Von den Personen, die einen bestimmten Allergietest machen, haben $15\,\%$ Heuschnupfen. Der Test ist bei einer Person, die Heuschnupfen hat, mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ positiv. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer Person positiv ist, obwohl diese Person keinen Heuschnupfen hat, beträgt $2\,\%.$

Von den Personen, die den Test machen lassen, wird eine Person zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person keinen Heuschnupfen hat und der Test positiv ist.

Deute den Term $\dfrac{0,15 \cdot 0,9}{0,15 \cdot 0,9 + 0,85 \cdot 0,02}$ im Sachzusammenhang.

(2 + 3 Punkte)

(15 Punkte)

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Lösung 1 - Analysis

Der Graph der Funktion hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel. Der Scheitelpunkt entspricht somit dem Tiefpunkt des Graphen.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da es sich bei der Funktion um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist vorausgesetzt, dass genau ein Scheitelpunkt existiert. Das Prüfen der hinreichenden Bedingung ist somit nicht notwendig.

3. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&3^2 - 6 \cdot 3 & \\[5pt] &=& -9 \end{array}$

Die Koordinaten des Scheitelpunkts ergeben sich zu $S(3 \mid -9).$

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $y=mx+b.$

$y$ -Koordinate von $P$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& (-2)^2-6 \cdot (-2)& \\[5pt] &=& 16 \end{array}$

Steigung $m$ an der Stelle $x=-2$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die allgemeine Tangentengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 16&=& -10 \cdot (-2) +b&\quad \scriptsize \mid\; -20 \\[5pt] -4&=& b \end{array}$

Somit gilt $b=-4$ und die Tangentengleichung im Punkt $P$ folgt mit $y = -10x -4.$

Lösung 2 - Vektorielle Geometrie

1. Schritt: Gleichung der Geraden $AB$ aufstellen

$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{6\\3\\8}- \pmatrix{4\\2\\6} = \pmatrix{2\\1\\2 }$

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Gleichungssystem aufstellen

Durch Einsetzen des Ortsvektors von Punkt $C$ in die Geradengleichung folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC} &=&\pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \pmatrix{2\\1\\z} &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$

Aus der $x$ -Koordinate der Gleichung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4 +t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -2&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\;: 2 \\[5pt] -1&=&t \end{array}$

Aus der $z$ -Koordinate folgt nun:

$\begin{array}[t]{rll} z&=&6+ t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; t= -1 \\[5pt] &=&6+ (-1)\cdot 2 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Für $z = 4$ liegt der Punkt $C$ somit auf der Geraden $AB.$

Falls der Punkt $B$ in der Ebene $E$ liegt, so gibt es ein $r$ und ein $s,$ sodass gilt:

$\pmatrix{6\\3\\8}=\pmatrix{1\\3\\2}+r\cdot \pmatrix{2\\1\\3}+s\cdot \pmatrix{-1\\2\\0}$

Es ergeben sich drei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 6 &=& 1 + 2r-s \\ \text{II}\quad& 3 &=& 3 + r+2s \\ \text{III}\quad& 8 &=& 2 + 3r \\ \end{array}$

Aus $\text{III}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 8&=& 2+3r &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 6&=& 3r &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 2&=& r \end{array}$

Einsetzen in $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 3+2+2s &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -2&=& 2s &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] -1&=& s \end{array}$

Einsetzen in $\text{I}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 6&=& 1+2\cdot 2-(-1) \\[5pt] 6&=& 6 \end{array}$

Alle Gleichungen sind erfüllt. Damit liegt der Punkt $B$ in der Ebene $E.$

Lösung 3 - Stochastik

Rechenweg anzeigen

$P=1,7\,\%$

Der Term gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Person, die aus der Gruppe der Personen mit positivem Test zufällig ausgewählt wird, tatsächlich Heuschnupfen hat.

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