Aufgabe 2

Das Jagdverhalten von Raubkatzen in der freien Wildbahn ist gekennzeichnet durch eine hohe Anfangsbeschleunigung. Darauf folgt eine kurze Phase mit annähernd konstanter Geschwindigkeit, bevor die Geschwindigkeit wieder abfällt.
Die Geschwindigkeit eines Tigers bei einem Jagdvorgang aus der Ruheposition heraus wird für $0\leq t\leq 10$ zunächst ohne Berücksichtigung der Phase mit konstanter Geschwindigkeit modelliert. Dazu wird für $0\leq t\leq 10$ die Funktion $f$ mit

$f(t)= 0,0808 \cdot t^3-1,71\cdot t^2 + 10,08 \cdot t,\,$ $t \in \mathbb{R}$

verwendet. Dabei gibt $t$ die Zeit seit Verlassen der Ruheposition in Sekunden und $f(\mathrm{t})$ die Geschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ an.

Abbildung 1

(1)

Gib den Funktionswert von $f$ für $t=5$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2)

Weise rechnerisch nach, dass der Tiger seine Maximalgeschwindigkeit von ca. $18,2\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ungefähr $4,2$ Sekunden nach Verlassen der Ruheposition erreicht, und gib die Maximalgeschwindigkeit in $\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$ an.

(3 + 8 Punkte)

(1)

Erläutere die Bedeutung der ersten Ableitung von $f$ im Sachzusammenhang.

(2)

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt, auf zwei Nachkommastellen genau.

(2 + 4 Punkte)

Ermittle das Zeitintervall, in dem die Geschwindigkeit des Tigers mindestens $15\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ beträgt.

(4 Punkte)

(1)

Berechne $\displaystyle \int_{0}^{10}f(\mathrm{t})\mathrm{d}\mathrm{t}$ und erläutere die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

(2)

Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit des Tigers in den modellierten $10\; \text{s}.$

(6 + 2 Punkte)

Nimm an, dass der Tiger zunächst seine Maximalgeschwindigkeit gemäß dem oberen Modell erreicht (Phase 1). Nach Erreichen seiner Maximalgeschwindigkeit behält er diese noch $5\; \text{s}$ lang bei (Phase 2). Anschließend verringert sich seine Geschwindigkeit gemäß einem neuen Modell (Phase 3). Dieses entspricht bis auf eine zeitliche Verschiebung dem oberen Modell (vgl. Abbildung 2). Ab $t=15$ läuft er mit konstanter Geschwindigkeit weiter (Phase 4). Im Folgenden werden die ersten $15\; \text{s}$ (Phase 1 bis 3) dieses Ablaufs betrachtet.

Abbildung 2

(1)

Gib für die Phasen 2 und 3 jeweils einen Funktionsterm an.
[Hinweis: Der Term für Phase 3 muss nicht vereinfacht werden.]

(2)

Prüfe, ob nach $15\; \text{s}$ ein knickfreier Übergang zu einer konstanten Funktion, welche die Geschwindigkeit in Phase 4 modelliert, möglich ist.

(3)

Ermittle die Länge der Strecke, die der Tiger in diesen ersten $15\; \text{s}$ zurücklegt.

(4 + 3 + 4 Punkte)

(1)

Einsetzen von $t=5$ in die Funktionsgleichung: $f(5)=17,71$ .
Der Tiger hat nach $5\;\text{s}$ eine Geschwindigkeit von $17,75 \, \dfrac{m}{s}$ .

(2)

Die Maximalgeschwindigkeit kann über das Maximum ermittelt werden.

Die Ableitungsfunktion lautet : $\(f$

Nullstellen für $\(f$ liefert der GTR im Intervall $[0,10]$ bei $t_1 \approx 4,19$ und $t_2 \approx 9,91$ .

Die zugehörigen Funktionswerte lauten: $f(4,19)=18,16$ und $f(9,91)=10,59$ . Das Maximum könnte jedoch auch am Rand angenommen werden. Wegen $f(0)=0$ und $f(10)=10,6$ ist dies jedoch ausgeschlossen.
Der Tiger hat somit nach ca $4,2\;\text{s}$ seine Höchstgeschwindigkeit $18,2 \, \dfrac{m}{s}= 65,5 \, \dfrac{km}{h}$ erreicht.

(1)

Die erste Ableitung ist die momentane Änderungsrate. Sie gibt die momentane Beschleunigung des Tigers nach seinem Start aus der Ruhe an.

(2)

Die Stelle, an der die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt, ist das Minimum der Ableitungsfunktion. Mit dem GTR ist das Minimum bei $t =7,05$ bestimmt und somit auch der Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit des Tigers am stärksten abnimmt.

Für $f(t)= 15$ liefert der GTR mehrere Werte für $t$ :

$t_{s1} \approx 2,266$ , $t_{s2} \approx 6,739$ und $t_{s3} \approx 12,159$ . Da wir das Intervall $[0,10]$ betrachten, wird der letzte Wert $t_{s3}$ nicht beachtet.

Wird das Zeitintervall mit der Verlauf des Graphen betrachtet, beginnt das gesuchte Zeitintervall nach ca. $2,3\;\text{s}$ und endet ca. $6,7\;\text{s}$ nach dem Start des Tigers aus der Ruhe.

(1)

Eine Stammfunktion von $f$ ist $F(t)= 0,0202 t^4 -0,57t^3 +5,04t^2$ .

Berechnen des Integrals im Intervall $[0,10]$ :

$\displaystyle\int_{0}^{10}f(t)\;\mathrm dt = F(10)-F(0)= 136$

Der Tiger legt somit einen Weg von $136\;\text{m}$ nach $10\;\text{s}$ zurück.

(2)

Die Durchchnittsgeschwindigkeit kann berechnet werden mit: $v= \dfrac{s}{t} = \dfrac{136}{10} =13,6.$
Der Tiger erreicht somit in den modellierten $10\;\text{s}$ eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $13,6 \, \dfrac{m}{s}.$

(1)

Die Phasen befinden sich auf den folgenden Intervallen:

Phase 2: $[4,2; 9,2]$ und Phase 3: $[9,2; 15].$

In Phase 2 läuft der Tiger mit seiner Maximalgeschwindigkeit $5\;\text{s}.$ Diese wurde bereits berechnet. Die Höchstgeschwindigkeit beträgt $f_2(t)=f(4,19)=18,16.$

Phase 3 entspricht dem Graphen von Abbildung 1 im Intervall $[5,10].$ Also auch der Funktion von $f$ , jedoch um $+5$ auf der $t$ -Achse verschoben.
Ein Term für Phase 3 lautet folglich $f_3(t)=f(t-5).$

(2)

Der Übergang zu einer konstanten Funktion ist knickfrei, wenn diese parallel zur $t$ -Achse ist, also die Steigung Null.

$\(f_3$

Die Tangente ist nur näherungsweise parallel und der Übergang somit nicht knickfrei.

(3)

Die Länge der Strecken können über ein Flächenntegral ermittelt werden.

Die Grenzen entsprechen demjenigen Intervall, in welchem die Phase ist. Integriert werden muss nur, wenn der Graph im Intervall eine Fläche einschließt. Phase 1 läuft im Intervall $[0; 4,2]$ und Phase 3 im Intervall $[9,2; 15]$ .

Die gesuchte Länge entspricht also:

$227 \, m$

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