Aufgabe 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O (0 \mid 0 \mid 0),$ $A (6 \mid 4 \mid- 2) ,$ $B (0\mid 16\mid - 8) ,$ $C ( -6\mid 4\mid - 2)$ und $D (0 \mid 8 \mid 11)$ Eckpunkte eines schiefen Prismas^[1] $OABCDEFG$ mit viereckiger Grundfläche $OABC$ (siehe Abbildung).

Darstellung eines geometrischen Körpers im dreidimensionalen Raum mit Achsenbezeichnungen.

Abb. 1

^[1] Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht.

(1)

Stelle eine Parameterform der Geraden $g$ auf, die die Punkte $O$ und $D$ enthält.

(2 BE)

(2)

Bestimme die Koordinaten der Punkte $F$ und $G.$

(4 BE)

(1)

Stelle eine Parametergleichung der Ebene $H$ auf, die die Punkte $O,$ $A$ und $B$ enthält.

[Mögliche Parametergleichung: $H: \overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{0\\6\\-3} +r\cdot \pmatrix{3\\4\\-2} +s\cdot \pmatrix{0\\-2\\1}$ ]

(3 BE)

(2)

Zeige, dass der Punkt $D$ auf der Geraden $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\6\\7}+ t\cdot \pmatrix{0\\-1\\-2},$ $t\in \mathbb{R},$ liegt.

(3 BE)

Die Gerade $h$ schneidet die Ebene $H$ senkrecht.

(3)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $h$ und der Ebene $H$ und die Länge der Strecke $\overline{DS}.$
[Zur Kontrolle: $\overline{DS} =\sqrt{180}$ ]

(6 BE)

(1)

Zeige, dass die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{OB}$ des Vierecks $OABC$ zueinander senkrecht sind und sich im Mittelpunkt $T$ von $\overline{AC}$ schneiden.
[Zur Kontrolle: $T (0 \mid 4 \mid - 2)$ ]

(7 BE)

Nach Aufgabe c) (1) ist das Viereck $OABC$ ein Drachenviereck.

(2)

Bestimme das Volumen des Prismas $OABCDEFG.$

(4 BE)

Die Punkte $O,$ $B,$ $F$ und $D$ liegen in der Ebene $K.$
Begründe, dass diese Ebene das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegt.

(4 BE)

Der Punkt $B$ wird auf der Strecke $\overline{BO}$ zum Punkt $B‘ \neq O$ so verschoben, dass alle Seiten des Vierecks $OAB‘C$ gleich lang sind.

(1)

Ermittle die Koordinaten von $B‘.$

(4 BE)

(2)

Begründe, dass das Viereck $OAB‘C$ kein Quadrat ist.

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Parameterform der Geraden aufstellen

Mit $O$ als Stützpunkt und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{OD}$ als Richtungsvektor ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} g:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OO}+t\cdot \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& t\cdot \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] \end{array}$

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Die Strecken $\overline{BF}$ und $\overline{CG}$ müssen parallel zu $\overline{OD}$ sein, da es sich bei dem betrachteten Körper um ein schiefes Prisma handelt und diese drei Strecken Seitenkanten bilden.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\16\\-8} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\24\\3}\\[10pt] \overrightarrow{OG}&=& \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\4\\-2} + \pmatrix{0\\8\\11} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6\\12\\9} \end{array}$

Die Koordinaten lauten $F(0\mid 24\mid 3)$ und $G(-6\mid 12\mid 9).$

(1)

$\blacktriangleright$ Parametergleichung aufstellen

Verwendet man als Stützpunkt den Punkt $O$ und als Spannvektoren die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB},$ so erhält man folgende Ebenengleichung:

$H:\quad \overrightarrow{x} = ...$