Aufgabe 1

Aufgabenstellung:

In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt.
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion $r$ die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge $^1$ der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im Alter von $1,5$ Jahren bis $5,5$ Jahren verändert. Dazu verwendet er für $1,5 \leq t \leq 5,5$ die Gleichung

$r(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,25 \cdot t}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Jahr und $r(t)$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Wort pro Jahr aufgefasst.
Der Graph von $r$ im Bereich $1,5 \leq t \leq 5,5$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Diagramm mit einem Graphen, der eine Kurve zeigt. Achsen sind mit Werten beschriftet.

Abb. 1

$^1$ Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satzlänge bezeichnet.

(1)

Berechne den Funktionswert von $r$ an der Stelle $t=2$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(3P)

$\,$

(2)

Für die Funktion $r$ gilt die Aussage:

$r(t)\gt 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ .

Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.

(3P)

$\,$

(3)

Ermittle rechnerisch den Zeitraum im Alter zwischen $1,5$ und $5,5$ Jahren, in dem die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate wächst, die größer als ein Wort pro Jahr ist.

(4P)

$\,$

(4)

Weise rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt.

(7P)

In der Studie ist bei Kindern im Alter von $1,5$ Jahren eine Satzlänge von $1,2$ Wörtern beobachtet worden.

(1)

Interpretiere die Bedeutung des Terms $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t) \,\mathrm dt$ im Sachzusammenhang.

(3P)

$\,$

Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von $r$ mit Hilfe eines Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\,\mathrm dt$ durch ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht.

Grafik mit einer Kurve und Achsenbeschriftungen, die eine mathematische Funktion darstellt.

Abb. 2

(2)

Beschreibe kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren.

(4P)

$\,$

(3)

Berechne mit diesem numerischen Verfahren einen Nährungswert für den Term $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ .

(5P)

$\,$

(4)

Für $1,5 \leq a \leq 4,5$ ist die Funktion $z$ definiert durch die Gleichung $z(a)= \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt$ .
Berechne die absolute Maximalstelle der Funktion $z$ im Intervall $[1,5; 4,5]$ und interpretiere den berechneten Wert im Sachzusammenhang.

(8P)

Einige Forscher gehen davon aus, dass bei zweisprachig aufwachsenden Kindern eine verzögerte Sprachentwicklung auftritt.
Zur Modellierung der durchschnittlichen Satzlänge von zweisprachig aufwachsenden Kindern im Alter von $2$ Jahren bis $5,5$ Jahren verwendet der Sprachforscher für $2 \leq t \leq 5,5$ die Funktion $r_{neu}$ mit der Gleichung

$r_{neu}(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,5 \cdot t - 0,6875}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

(1)

Der Graph der Funktion $r_{neu}$ geht durch eine Verschiebung aus dem Graphen der Funktion $r$ hervor.
Zeichne in Abbildung 1 den Graphen von $r_{neu}$ ein und ermittle anhand deiner Zeichnung die Verschiebung.

(6P)

$\,$

(2)

Prüfe nun rechnerisch, ob sich bei der von dir ermittelten Verschiebung der Funktionsterm von $r_{neu}$ aus dem Funktionsterm von $r$ ergibt.

(3P)

$\,$

(3)

Für die zweisprachig aufwachsenden Kinder geht der Sprachforscher davon aus, dass die durchschnittliche Satzlänge von $1,2$ Wörtern statt im Alter von $1,5$ Jahren erst im Alter von $2$ Jahren vorliegt.
Ermittle unter dieser Voraussetzung, welcher Unterschied im Alter von $5,5$ Jahren zwischen der Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, und der Satzlänge der zweisprachig aufgewachsenen Kinder besteht.

(4P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

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(1)

$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen und interpretieren

Die Funktion $r$ beschreibt die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge von Kindern ändert. Du sollst den Funktionswert von $r$ an der Stelle $t=2$ berechnen und den Wert im Sachzusammenhang interpretieren. Dabei ist $r(t)$ die Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Wort pro Jahr.

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(2)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2^2+1,25\cdot2}\\[5pt] r(2)&\approx& 1,4 \end{array}$

Der Funktionswert an der Stelle $t=2$ beträgt ca. $1,4$ . Dies bedeutet, dass sich die Satzlänge der Kinder im Alter von $2$ Jahren um etwa $1,4$ Wörter pro Jahr verlängert.

(2)

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Für die Funktion gilt: $r(t)\gt 0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . Überlege dir, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

Ist $r(t)\gt 0$ , so heißt dies, dass die momentane Änderungsrate der Funktion immer positiv ist. Die Satzlänge der Kinder nimmt demnach mit jedem Jahr im Alter von $1,5$ bis $5,5$ Jahren weiter zu. Die Sätze werden demnach immer länger.

(3)

$\blacktriangleright$ Zeitraum ermitteln

Du sollst rechnerisch den Zeitraum ermitteln, indem die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate wächst, die größer als ein Wort pro Jahr ist.

Die Funktion $r(t)$ gibt die momentane Änderungsrate an. In Abbildung $1$ entspricht der gesuchte Bereich dem Intervall, in dem der Graph von $r$ oberhalb der Geraden $y=1$ verläuft. Um die Grenzen dieses Intervalls zu bestimmen, musst du überprüfen, für welche Werte $t$ die Funktion $r(t)$ den Wert $1$ annimmt. Da du das Intervall rechnerrich bestimmen sollst, musst du die folgende Gleichung lösen:

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=&1 \\[5pt] 0,31\cdot \text{e}^{-0,25\cdot t^2+1,25\cdot t}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :0,31 \\[5pt] \text{e}^{-0,25\cdot t^2+1,25\cdot t} &=& 3,226 &\quad \scriptsize \mid\; \text{ln}(\;) \\[5pt] -0,25\cdot t^2+1,25\cdot t &=& \text{ln}(3,226) &\quad \scriptsize \mid\; -\text{ln}(3,226) \\[5pt] -0,25\cdot t^2+1,25\cdot t -\text{ln}(3,226) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,25) \\[5pt] t^2-5\cdot t +4,695 &=& 0 \end{array}$

Die letzte Gleichung kannst du mit der $pq-$ Formel lösen:

$t_{1,2} = - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2 - 4,695}$

Mit dieser Gleichung erhältst du die Lösungen:

$t_1=3,75$ und $t_2=1,25$ .

Die Funktion $r$ ist für Werte zwischen $1,5$ und $5,5$ definiert. Weil $1,25 \lt 1,5$ gilt, ist die momentane Änderungsrate von Beginn des Beobachtungszeitraums bis zum Zeitpunkt $t=3,75$ größer, als ein Wort pro Jahr.

Die Satzlänge wächst somit im Zeitraum zwischen $1,5$ und $3,75$ Jahren mit einer momentanen Änderungsrate von mehr als einem Wort pro Jahr.

(4)

$\blacktriangleright$ Größte momentane Änderungsrate nachweisen

Um nachzuweisen, dass im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt, berechnest du das Maximum der Funktion $r$ .

Hat die Funktion an der Stelle $t=2,5$ ein Maximum, so liegt zu diesen Zeitpunkt die größte momentane Änderungsrate vor.

Für ein Maximum einer Funktion $r$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $r‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘(t_E)\lt 0$

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung von $r$
Prüfe die notwendige Bedingung
Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bestimmen

Nun sollst du die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ bestimmen. Beachte dabei, dass für die $\mathrm e$ -Funktion die Kettenregel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\mathrm e^{nx} \\[5pt] f‘(x)&=& n\cdot\mathrm e^{nx} \end{array}$

1. Ableitung:

$\scriptsize{r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t}}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Ableitung:

Beachte hier zusätzlich zur Kettenregel die Produktregel.

$\scriptsize{ r‘‘(t) = 0,31\left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2...}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ lauten:

$\scriptsize{ r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

$\scriptsize{r‘‘(t)= 0,31 \left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Da der Term mit der $\mathrm e$ -Funktion nicht gleich Null werden kann, genügt es, wenn du nach dem Satz vom Nullprodukt nur den Klammerterm der ersten Ableitung beachtest.

$t_1 = 2,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ eine potentielle Extremstelle.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Setze nun $t_1=2,5$ in den Funktionsterm der zweiten Ableitung $r‘‘$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei der Extremstelle um ein Maximum handelt.

$r‘‘(2,5)\approx -0,74 \lt 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ ein Maximum. Damit liegt im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vor.

(1)

$\blacktriangleright$ Terme interpretieren

Du sollst die Bedeutung des Terms $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ im Sachzusammenhang interpretieren.

Der Term besteht aus zwei Summanden. der erste Summand $1,2$ beschreibt die durchschnittliche Satzlänge, die bei Kindern im Alter von $1,5$ Jahren beobachtet wurde.

Der zweite Summand ist das Integral über die momentane Änderungsrate der Satzlänge. Da das Integral über eine momentane Änderungsrate der Gesamtänderung in einem Zeitraum entspricht, beschreibt der zweite Summand den durchschnittlichen absoluten Zuwachs der Satzlänge zwischen $1,5$ und $5,5$ Jahren.

Insgesamt beschreibt der Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ , wie viele Wörter die Kinder im Alter von $5,5$ Jahren in einem Satz verwenden.

(2)

$\blacktriangleright$ Numerisches Verfahren beschreiben

Um das numerische Verfahren, mit dem das Integral $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ bestimmt wird, zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 der Aufgabenstellung.

Bei dem numerischen Verfahren wird die Fläche unter dem Graphen in acht Rechtecke unterteilt. Eine Seite des Rechtecks ist jeweils gleich groß. Diese Strecke entspricht den Abschnitten auf der $t$ -Achse. Diese Abschnitte sind in $0,5$ er Schritten unterteilt.

Die andere Seite des Rechtecks entspricht den jeweiligen Funktionswerten. Dieser wird jeweils in der Mitte des $0,5$ er Intervalls berechnet. Das erste Rechteck liegt beispielsweise in dem Intervall $[1,5;2]$ . Der Funktionswert wird in der Mitte des Intervalls, also an der Stelle $t=1,75$ , berechnet. Betrachtest du das Rechteck, so erkennst du, dass ein Teil des Rechtecks über dem Graphen liegt und ein anderer Teil den Graphen nicht mit einschließt. Diese Flächen sind etwa gleich groß, so dass somit näherungsweise die Fläche unter dem Graphen berechnet wird.

Addierst du die Fläche der einzelnen Rechtecke zusammen, erhältst du näherungsweise den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ .

Unterteilst du das Intervall in mehr Rechtecke, so wird die Näherung genauer.

(3)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Nun sollst du den Näherungswert für den Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ berechnen.

Es gilt:

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne zunächst die jeweiligen Funktionswerte und setze dann in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(1,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot1,75^2+1,25\cdot1,75} \\[5pt] &\approx& 1,28\\[5pt] r(2,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2,25^2+1,25\cdot2,25}\\[5pt] &\approx& 1,46\\[5pt] r(2,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot275^2+1,25\cdot275} \\[5pt] &\approx& 1,46\\[5pt] r(3,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot3,25^2+1,25\cdot3,25} \\[5pt] &\approx& 1,28\\[5pt] r(3,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot3,75^2+1,25\cdot3,75} \\[5pt] &\approx& 1,00\\[5pt] r(4,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot4,25^2+1,25\cdot4,25} \\[5pt] &\approx& 0,69\\[5pt] r(4,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot4,75^2+1,25\cdot4,75} \\[5pt] &\approx& 0,42\\[5pt] r(5,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot5,25^2+1,25\cdot5,25} \\[5pt] &\approx& 0,22\\[5pt] \end{array}$

Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen.

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt\approx5,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Wert des Terms beträgt ca. $5,1$ .

(4)

Du sollst das absolute Maximum der Funktion $z(a)$ im Intervall $[1,5;4,5]$ bestimmen.

Nutze dafür deinen Taschenrechner. Lass dir den Funktionsgraphen zeichnen und bestimme mit dem Taschenrechner das Maximum.

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit einer integrierten Gleichung und Koordinatenbeschriftung.

Abb. 1: Maximum bestimmen

Die Funktion nimmt ihr Maximum an der Stelle $a=2$ an. Der Maximalwert ist $1,45$ .

In Aufgabenteil $a$ hast du bereits den Sachzusammenhang des Integrals interpretieren müssen. Das Integral beschreibt den durchschnittlichen Gesamtzuwachs der Satzlänge im Intervall $[a;a+1]$ . Da die Funktion $z(a)$ für $a=2$ ihr Maximum annimmt, ist der Gesamtzuwachs der Satzlänge zwischen dem zweiten und dem dritten Lebensjahr am größten.

(1)

$\blacktriangleright$ Graph einzeichnen und Verschiebung ermitteln

Nun sollst du den Graphen der Funktion $r_{neu}=0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,5t-0,6875}$ für $2\leq t\leq5,5$ in die Abbildung 1 der Aufgabenstellung einzeichnen und anhand der Abbildung die Verschiebung ermitteln.

Um den Graphen der Funktion zeichnen zu können, kannst du dir mit dem CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen.

Grafik einer Funktion mit Wertetabelle und mathematischer Gleichung auf einem Bildschirm.

Abb. 2: Wertetabelle.

Nun kannst du den Graphen der Funktion $r_{neu}$ in die Abbildung 1 einzeichnen.

Kurvendiagramm mit zwei Linien auf schwarzem Hintergrund, dargestellt in grün und grau.

Abb. 3: Abbildung der Graphen.

Anhand der Abbildung siehst du, dass der Graph von $r_{neu}$ um $0,5\,\text{LE}$ in positive $x$ -Richtung verschoben ist.

(2)

$\blacktriangleright$ Verschiebung überprüfen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du überprüfen, ob sich der Funktionsterm $r_{neu}$ bei der ermittelten Verschiebung von $0,5\,\text{LE}$ aus dem Funktionsterm von $r$ ergibt.

Wird ein Graph einer Funktion um einen Wert $d$ in positive $\boldsymbol{x}$ -Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-d$ ersetzt.

Ersetze daher die Variable $t$ der Funktion $r$ durch $t-0,5$ und prüfe, ob sich der Funktionsterm von $r_{neu}$ ergibt.

$r^*(t) = r_{neu}(t)$

Vollständige Lösung anzeigen

Durch die ermittelte Verschiebung ergibt sich aus der Funktion $r$ die Funktion $r_{neu}$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Unterschied der Satzlänge im Alter von $\boldsymbol{5,5}$ Jahren bestimmen

Um den Unterschied der Satzlänge der einsprachig und zweisprachig aufgewachsenen Kinder im Alter von $5,5$ Jahren zu berechnen, berechnest du jeweils die durchschnittliche Satzlänge in diesem Alter.

Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass du die Satzlänge der einsprachig aufgewachsenen Kinder im Alter von $5,5$ Jahren mit folgendem Term berechnest:

$\scriptsize{\begin{array}[t]{rll} \text{Satzlänge(einsprachig)}&=& 1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt \end{array}}$

Bei Kindern, die zweisprachig aufgewachsen sind, liegt die durchschnittliche Satzlänge von $1,2$ Wörtern erst im Alter von $2$ Jahren vor. Dementsprechend gilt:

$\scriptsize{\begin{array}[t]{rll} \text{Satzlänge(zweisprachig)}&=& 1,2+\displaystyle\int_{2}^{5,5}r_{neu}(t)\;\mathrm dt \end{array}}$

Über die Differenz der beiden Terme erhältst du den Unterschied zwischen den Kindern. Berechne mit dem CAS.

Mathematische Formeln und Berechnungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Abb. 4: Unterschied der Satzlänge.

Du erhältst:

$\text{Unterschied}\approx0,11$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Alter von $5,5$ Jahren unterscheidet sich die Satzlänge von einsprachigen Kindern um etwa $0,11$ Wörtern gegenüber den zweisprachig aufgewachsenen Kindern.

Bildnachweise [nach oben]

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[2]

[3]

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(1)

$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen und interpretieren

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(2)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2^2+1,25\cdot2}\\[5pt] r(2)&\approx& 1,4 \end{array}$

Der Funktionswert an der Stelle $t=2$ beträgt ca. $1,4$ . Dies bedeutet, dass sich die Satzlänge der Kinder im Alter von $2$ Jahren um etwa $1,4$ Wörter pro Jahr verlängert.

(2)

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Für die Funktion gilt: $r(t)\gt 0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . Überlege dir, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

$\blacktriangleright$ Zeitraum ermitteln

Du sollst rechnerisch den Zeitraum ermitteln, indem die Satzlänge mit einer momentanen Änderungsrate wächst, die größer als ein Wort pro Jahr ist.

Die letzte Gleichung kannst du mit der $pq-$ Formel lösen:

$t_{1,2} = - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2 - 4,695}$

Mit dieser Gleichung erhältst du die Lösungen:

$t_1=3,75$ und $t_2=1,25$ .

Die Satzlänge wächst somit im Zeitraum zwischen $1,5$ und $3,75$ Jahren mit einer momentanen Änderungsrate von mehr als einem Wort pro Jahr.

(4)

$\blacktriangleright$ Größte momentane Änderungsrate nachweisen

Um nachzuweisen, dass im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt, berechnest du das Maximum der Funktion $r$ .

Hat die Funktion an der Stelle $t=2,5$ ein Maximum, so liegt zu diesen Zeitpunkt die größte momentane Änderungsrate vor.

Für ein Maximum einer Funktion $r$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $r‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘(t_E)\lt 0$

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung von $r$
Prüfe die notwendige Bedingung
Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bestimmen

Nun sollst du die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ bestimmen. Beachte dabei, dass für die $\mathrm e$ -Funktion die Kettenregel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\mathrm e^{nx} \\[5pt] f‘(x)&=& n\cdot\mathrm e^{nx} \end{array}$

1. Ableitung:

$\scriptsize{r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t}}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Ableitung:

Beachte hier zusätzlich zur Kettenregel die Produktregel.

$\scriptsize{ r‘‘(t) = 0,31\left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2...}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ lauten:

$\scriptsize{ r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

$\scriptsize{r‘‘(t)= 0,31 \left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Da der Term mit der $\mathrm e$ -Funktion nicht gleich Null werden kann, genügt es, wenn du nach dem Satz vom Nullprodukt nur den Klammerterm der ersten Ableitung beachtest.

$t_1 = 2,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ eine potentielle Extremstelle.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Setze nun $t_1=2,5$ in den Funktionsterm der zweiten Ableitung $r‘‘$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei der Extremstelle um ein Maximum handelt.

$r‘‘(2,5)\approx -0,74 \lt 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ ein Maximum. Damit liegt im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vor.

(1)

$\blacktriangleright$ Terme interpretieren

Du sollst die Bedeutung des Terms $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ im Sachzusammenhang interpretieren.

Der Term besteht aus zwei Summanden. der erste Summand $1,2$ beschreibt die durchschnittliche Satzlänge, die bei Kindern im Alter von $1,5$ Jahren beobachtet wurde.

Insgesamt beschreibt der Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ , wie viele Wörter die Kinder im Alter von $5,5$ Jahren in einem Satz verwenden.

(2)

$\blacktriangleright$ Numerisches Verfahren beschreiben

Um das numerische Verfahren, mit dem das Integral $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ bestimmt wird, zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 der Aufgabenstellung.

Addierst du die Fläche der einzelnen Rechtecke zusammen, erhältst du näherungsweise den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ .

Unterteilst du das Intervall in mehr Rechtecke, so wird die Näherung genauer.

(3)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Nun sollst du den Näherungswert für den Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ berechnen.

Es gilt:

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne zunächst die jeweiligen Funktionswerte und setze dann in die Formel ein.

Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen.

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt\approx5,1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Wert des Terms beträgt ca. $5,1$ .

(4)

Du sollst das absolute Maximum der Funktion $z(a)$ im Intervall $[1,5;4,5]$ bestimmen.

Nutze dafür deinen Taschenrechner. Lass dir den Funktionsgraphen zeichnen und bestimme mit dem Taschenrechner das Maximum.

Grafik eines mathematischen Programms mit Funktionen und Graphen in einem Analysefenster.

Abb. 1: Maximum bestimmen

Die Funktion nimmt ihr Maximum an der Stelle $a=2$ an. Der Maximalwert ist $1,45$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Graph einzeichnen und Verschiebung ermitteln

Um den Graphen der Funktion zeichnen zu können, kannst du dir mit dem CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen.

Grafische Darstellung von Daten mit x- und y-Werten in einem Diagramm.

Abb. 2: Wertetabelle.

Nun kannst du den Graphen der Funktion $r_{neu}$ in die Abbildung 1 einzeichnen.

Abb. 3: Abbildung der Graphen.

Anhand der Abbildung siehst du, dass der Graph von $r_{neu}$ um $0,5\,\text{LE}$ in positive $x$ -Richtung verschoben ist.

(2)

$\blacktriangleright$ Verschiebung überprüfen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du überprüfen, ob sich der Funktionsterm $r_{neu}$ bei der ermittelten Verschiebung von $0,5\,\text{LE}$ aus dem Funktionsterm von $r$ ergibt.

Wird ein Graph einer Funktion um einen Wert $d$ in positive $\boldsymbol{x}$ -Richtung verschoben, so wird die Variable $x$ durch $x-d$ ersetzt.

Ersetze daher die Variable $t$ der Funktion $r$ durch $t-0,5$ und prüfe, ob sich der Funktionsterm von $r_{neu}$ ergibt.

$r^*(t) = r_{neu}(t)$

Vollständige Lösung anzeigen

Durch die ermittelte Verschiebung ergibt sich aus der Funktion $r$ die Funktion $r_{neu}$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Unterschied der Satzlänge im Alter von $\boldsymbol{5,5}$ Jahren bestimmen

Aus Teilaufgabe b) weißt du, dass du die Satzlänge der einsprachig aufgewachsenen Kinder im Alter von $5,5$ Jahren mit folgendem Term berechnest:

$\scriptsize{\begin{array}[t]{rll} \text{Satzlänge(einsprachig)}&=& 1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt \end{array}}$

Bei Kindern, die zweisprachig aufgewachsen sind, liegt die durchschnittliche Satzlänge von $1,2$ Wörtern erst im Alter von $2$ Jahren vor. Dementsprechend gilt:

$\scriptsize{\begin{array}[t]{rll} \text{Satzlänge(zweisprachig)}&=& 1,2+\displaystyle\int_{2}^{5,5}r_{neu}(t)\;\mathrm dt \end{array}}$

Über die Differenz der beiden Terme erhältst du den Unterschied zwischen den Kindern. Berechne mit dem CAS.

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Software-Interface.

Abb. 4: Unterschied der Satzlänge.

Du erhältst:

$\text{Unterschied}\approx0,11$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Alter von $5,5$ Jahren unterscheidet sich die Satzlänge von einsprachigen Kindern um etwa $0,11$ Wörtern gegenüber den zweisprachig aufgewachsenen Kindern.

Bildnachweise [nach oben]

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