Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Grafik einer geschwungenen Struktur mit Bezug zu städtischen Gebäuden und einem Diagramm.

Die Abbildung zeigt das Eingangsgebäude zu einer U-Bahn-Haltestelle. Auf dem Foto schaut man frontal auf eine ebene Glasfläche, die sich unter dem geschwungenen Dach befindet.
Eine Längeneinheit in dem eingezeichneten Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ .
Der höchste Punkt der Dachoberkante befindet sich in diesem Koordinatensystem bei $H (0 \mid5,0)$ und der tiefste Punkt bei $Q (7,3 \mid 3,3)$ . Auch die Punkte $D ( -4 \mid 4)$ und $E ( -2 \mid 4,75)$ liegen auf der Dachoberkante.

Die Profillinie der Dachoberkante hat eine geschwungene Form, die durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden soll.

(1)

Begründe anhand der Abbildung, warum eine ganzrationale Funktion, die zur Modellierung der gesamten Profillinie der Dachoberkante geeignet sein könnte, mindestens $3.$ Grades sein muss.

(3P)

(2)

Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion $3.$ Grades an.
Ermittle aus den gegebenen Informationen über die Punkte $H$ und $Q$ vier Bedingungen, mit denen alle Koeffizienten des Funktionsterms berechnet werden können. Gib die Funktionsgleichung an.

(9P)

Zur Modellierung der Dachoberkante werden für $-4,5 \leq x \leq 10,5$ zwei auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktionen vorgeschlagen: Die Funktion $f$ mit $f(x)=0,009 \cdot x^3 -0,1 \cdot x^2 + 5$ und die Funktion $h$ mit $h(x)=0,0004 \cdot x^4 + 0,0016 \cdot x^3 -0,063 \cdot x^2 + 5$ .

(1)

Vergleiche die Graphen der beiden Funktionen und erkläre, warum die Funktion $h$ zur Modellierung der Dachoberkante besser geeignet ist.

(6P)

(2)

Bestimme mit einer hinreichenden Bedingung die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ der Funktion $h$ im Modellierungsbereich.
Gib an, um wieviel Prozent jede Koordinate von $T$ von der entsprechenden Koordinate von $Q$ abweicht.
[Hinweis: Falls du $T$ nicht angeben kannst, darfst du im Folgenden ersatzweise mit den Koordinaten von $Q$ weiterarbeiten.]

(7P)

(3)

Der Punkt $A$ aus der Abbildung hat die $x$ -Koordinate $2,7$ .
Untersuche im Modell der Funktion $h$ , ob an dieser Stelle die Profillinie zwischen $H$ und $T$ das stärkste Gefälle hat.

(3P)

Oberhalb des Daches sind geradlinig verlaufende Stahlseile angebracht. Gehe vereinfachend davon aus, dass das Stahlseil von $A (2,7 \mid h (2,7))$ nach $P (6,7 \mid 7,2)$ verläuft.

(1)

Berechne die Länge des Stahlseils von $A$ nach $P$ .

(4P)

(2)

Das Stahlseil wird im Bereich $2,7 \leq x \leq 6,7$ durch eine Gerade $g$ modelliert.
Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ und ermittle rechnerisch die Größe der Winkel, die die Gerade $g$ in $A$ mit der Horizontalen und in $P$ mit der Vertikalen einschließt.

(5P)

(3)

Ein weiteres Seil soll von $P$ nach $E$ gespannt werden.
Überprüfe, ob es in $E$ tangential zur Dachoberkante verlaufen wird.

(4P)

Das Eingangsgebäude ist mit Glas verkleidet. Gehe vereinfachend davon aus, dass es sich bei der in der Abbildung umrahmten Glasfläche um eine durchgehende ebene Fläche handelt, die nicht durch Rahmen und Streben unterbrochen wird.
Die eingezeichnete Oberkante der Glasfläche wird im Bereich $-4 \leq x \leq 7,3$ durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion

$k$ mit $k(x)= 0,0004 \cdot x^4 + ...$

Vollständige Lösung anzeigen

modelliert.

(1)

Berechne den Inhalt der Glasfläche von der $y$ -Achse bis zur eingezeichneten Kante durch den Punkt $Q$ in der Ansicht aus der Abbildung.

(4P)

(2)

Für die Glasfläche links von der $y$ -Achse ist der Rand der zu berechnenden Glasfläche in der Abbildung nachgezeichnet.
Beschreibe eine mögliche Lösungsidee zur Bestimmung des Inhalts der umrahmten Glasfläche links von der $y$ -Achse. Gib dabei alle nötigen Ansätze an, die Berechnung konkreter Werte wird hingegen nicht erwartet.

(5P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Grad der Funktion begründen

Du sollst begründen, dass eine geeignete Funktion zur Modellierung der gesamten Dachoberkante mindestens den Grad drei haben muss. Untersuche den Graphen dafür auf markante Punkte wie Hoch- oder Tiefpunkte und überlege dir, wie viele solcher Punkte eine Funktion mit geringerem Grad höchstens haben kann.

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Linie der Dachkante einen lokalen Hochpunkt, aber auch einen lokalen Tiefpunkt besitzt. Der Graph einer Funktion zweiten Grades kann aber nur einen lokalen Extrempunkt besitzen und der einer linearen Funktion (Grad eins) besitzt keinen solchen Punkt. Daher muss die Funktion mindestens den Grad drei haben.

(2)

$\blacktriangleright$ Allgemeine Funktionsgleichung angeben

Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:

$f(x)= a_nx^n +... + a_0x^0$

Der Grad der Funktion beschreibt den höchsten Exponenten, der über dem $x$ vorkommt. Also lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$ .

$\blacktriangleright$ Bedingungen ermitteln

Um alle vier Koeffizienten bestimmen zu können, werden vier Bedingungen benötigt. Diese sollst du aus den Angaben zu den Punkten $H$ und $Q$ gewinnen. Dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass $H(0\mid 5)$ ein lokaler Hochpunkt des Graphen sein soll, während $Q(7,3\mid 3,3)$ ein lokaler Tiefpunkt ist.

Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:

$f‘(x_E) =0$

Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:

$f(0)=5$
$f(7,3)=3,3$
$f‘(0)=0$
$f‘(7,3)=0$

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben

Oben hast du bereits die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt und alle notwendigen Bedingungen für die Bestimmung der Koeffizienten zusammengetragen. Du kannst nun die allgemeine Funktionsgleichung in deinem CAS definieren und dann die Koeffizienten mit Hilfe eines Gleichungssystems berechnen.

Den Befehl für ein Gleichungssystem findest du wie folgt:

menu $\to$ 3 $\to$ 7 $\to$ 1

Dann erhältst du folgendes Ergebnis:

$a= 0,00874$
$b= -0,095703$
$c= 0$
$d =5$

Mathematische Berechnungen und Gleichungen in einem Dokument.

Abb. 1: Funktionsgleichung bestimmen

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:

$f(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

(1)

$\blacktriangleright$ Funktionsgraphen vergleichen

Du sollst die beiden Funktionsgraphen von $h$ und $f$ miteinander vergleichen und erklären, warum $h$ zur Modellierung der Dachoberkante besser geeignet ist. Lass dir dazu die Graphen im Graph-Menü deines CASs anzeigen.
Betrachte beide Graphen und notiere zunächst alle Unterschiede oder auffälligen Gemeinsamkeiten der beiden Graphen. Anschließend kannst du entscheiden, welcher Verlauf besser zu dem der Dachoberkante passt.

Grafik mit zwei mathematischen Funktionen, dargestellt in einem Koordinatensystem.

Abb. 2: Vergleich der Graphen

Dir sollte folgendes auffallen:

Beide Graphen besitzen den Hochpunkt $H(0\mid 5)$ .
Für $x\geq 0$ haben beide einen ähnlichen Verlauf, wobei der Graph von $h$ etwas oberhalb des Graphen von $f$ liegt.
Nur im Bereich $x \leq -2$ unterscheidet sich der Verlauf etwas deutlicher: Für kleiner werdende $x$ -Werte fällt der Graph von $h$ deutlich langsamer ab.

Um zu entscheiden, welcher Graph besser zur Dachoberkante passt, solltest du also letzteren Bereich betrachten. Du kannst zum Beispiel die Koordinaten des Punkts $D(-4\mid 4)$ verwenden. An diesen kommt der Graph von $h$ am nächsten heran. Also ist $h$ besser zur Modellierung der Dachoberkante geeignet als $f$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Tiefpunkt bestimmen

Die Koordinaten des Tiefpunkts kannst du über die Kriterien für einen Tiefpunkt an der Stelle $x_T$ bestimmen:

Notwendiges Kriterium: $h‘(x_T)=0$
Hinreichendes Kriterium: $h‘‘(x_T)> 0$

Beachte, dass du auch die Intervallgrenzen auf mögliche Randextrema überprüfen musst. Du kannst wie folgt vorgehen:

Wende das notwendige Kriterium an, indem du $h‘(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
Berechne die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $h(x)$ .
Berechne die Funktionswerte an den Intervallgrenzen um mögliche Randextrema auszuschließen.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Du kannst die Ableitungen zunächst in deinem CAS definieren. Den Befehl dazu findest du wie folgt:

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Mit dem solve-Befehl kannst du dann $h‘(x)=0$ setzen und so mögliche Extremstellen bestimmen:

$x_1 =-10,5 

\quad

x_2 = 0

\quad

x_3= 7,5$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Dokument.

Abb. 3: Notwendiges Kriterium

Für die Modellierung ist nur der Bereich $-4,5 \leq x \leq 10,5$ relevant, also fällt $x_3$ aus der Betrachtung raus. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass es sich bei $x_1$ um eine Maximalstelle handelt.

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Einsetzen von $x_2=7,5$ in $f‘‘(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(x_2)&=&h‘‘(7,5) \\[5pt] &=& 0,216 > 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x_2 = 7,5$ besitzt der Graph von $h$ einen lokalen Tiefpunkt.

Screenshot eines mathematischen Dokuments mit Gleichungen und Berechnungen.

Abb. 4: Hinreichendes Kriterium

3. Schritt: Funktionswert berechnen

Die $y$ -Koordinate des lokalen Tiefpunkts erhältst du durch Einsetzen von $x_2$ in $h(x)$ :

$y_T \approx 3,40$

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4. Schritt: Intervallgrenzen überprüfen

Überprüfe die Grenzen des Modellierungsbereichs $x_0 = -4,5$ und $x_4 = 10,5$ auf Randextrema.

$\begin{array}[t]{rll} f(-4,5)&\approx &3,74 \, > \, 3,4 \\[10pt] f(10,5)&\approx& 4,77 \, > \, 3,4\\[5pt] \end{array}$

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Die Funktiuonswerte an den Intervallgrenzen sind größer als der Funktionswert des lokalen Tiefpunkts. Damit ist der lokale Tiefpunkt mit den gerundeten Koordinaten $T(7,5\mid 4,4)$ auch der Tiefpunkt des gesamten Modellierungsbereichs.

$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung angeben

Du sollst angeben, um wie viel Prozent die jeweilige Koordinate von $T(7,5 \mid 3,4)$ von der entsprechenden Koordinate von $Q(7,3\mid 3,3)$ abweicht, also um wie viel Prozent $x_T$ von $x_Q$ und $y_T$ von $y_Q$ abweicht. Nutze dazu die Regeln für die Prozentrechnung.

$\begin{array}[t]{rll} p_x&=& \dfrac{x_T-x_Q}{x_Q} \\[5pt] &=& \dfrac{7,5-7,3}{7,3} \\[5pt] &\approx& 0,027 \\[5pt] &=& 2,7\,\% \\[10pt] p_y&=& \dfrac{y_T-y_Q}{y_Q} \\[5pt] &=& \dfrac{3,4-3,3}{3,3} \\[5pt] &\approx& 0,030 \\[5pt] &=& 3\,\% \\[5pt] \end{array}$

Die $x$ -Koordinate von $T$ weicht um ca. $2,7\,\%$ von der von $Q$ ab, die Abweichung der $y$ -Koordinaten beträgt ca. $3\,\%$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Gefälle im Punkt $\boldsymbol{A}$ untersuchen

Der Punkt mit dem stärksten Gefälle ist der Punkt, in dem die Steigung des Graphen minimal ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen von $h$ beschreibt, ist dies eine Minimalstelle der ersten Ableitung $h‘$ . Überprüfe also, ob die $x$ -Koordinate von $A$ die Kriterien für eine Minimalstelle $x_M$ von $h‘$ erfüllt.

Notwendiges Kriterium: $h‘‘(x_M)=0$
Hinreichendes Kriterium: $h‘‘‘(x_M) > 0$

Setze dazu zunächst $x_A$ in $h‘‘(x)$ ein und überprüfe, ob das notwendige Kriterium erfüllt wird. Ist dies der Fall, musst du noch das hinreichende Kriterium überprüfen und anschließend begründen, warum die Intervallgrenzen nicht in Frage kommen.

Die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $h$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze also ein:

$h‘‘(x_A)\approx -0,07\neq 0$

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Das notwendige Kriterium ist nicht erfüllt, also liegt an der Stelle $x =2,7$ keine Minimalstelle von $h‘$ . $A$ kann also nicht der Punkt mit dem steilsten Gefälle sein.

(1)

$\blacktriangleright$ Länge des Seils berechnen

Da das Stahlseil von $A$ nach $P$ geradlinig verläuft, kannst du dessen Länge über den Abstand zwischen den beiden Punkten $A(2,7\mid h(2,7))$ und $P(6,7\mid 7,2)$ berechnen. Die Formel dafür lautet:

$d(P,Q)=$ $\sqrt{(x_Q-x_P)^2 +(y_Q-y_P)^2}$

Setze also ein und beachte anschließend, dass eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter entspricht.

$d(A,P)\approx 4,77$

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Der Abstand zwischen $A$ und $P$ beträgt ca. $4,77$ LE, also ist das Stahlseil ca. $4,77\,\text{m}$ lang.

(2)

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst eine Gleichung der Geraden $g$ bestimmen, die durch die Punkte $A$ und $P$ verläuft. Eine Geradengleichung hat allgemein folgende Form:

$g(x)= mx+ b$

Mit Hilfe der Koordinaten der beiden Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, um die Koeffizienten $m$ und $b$ zu berechnen. Berechne dazu zunächst die $y$ -Koordinate $y_A$ von $A$ :

$y_A\approx 4,593$

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Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(2,7)&=& 4,593 \\ \text{II}\quad&g(6,7)&=& 7,2\\ \end{array}$

Dies kannst du wie oben mit deinem CAS lösen.

Also ist $m\approx 0,652$ und $b\approx 2,833$ . Eine Gleichung der Modellierungsgerade lautet:

$g(x)=0,652x+2,833$

Screenshot eines mathematischen Programms mit Lösungen für Gleichungen und Parametern.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

Gesucht ist hier einerseits die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ der Gerade $g$ . Diesen kannst du mit Hilfe der Steigung $m$ der Gerade mit folgender Formel berechnen:

$m = \tan(\alpha)$

Die Steigung von $g$ hast du oben berechnet: $m \approx 0,652$ . Setze also ein und löse nach $\alpha$ auf. Andererseits ist auch der Winkel gesucht, den $g$ mit der Vertikalen einschließt. Dieser muss zusammen mit dem Steigungswinkel $90^{\circ}$ ergeben. Für den Steigungswinkel erhältst du mit der genannten Formel folgendes.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan(\alpha) \\[5pt] 0,652&\approx& \tan(\alpha) \\[5pt] \tan^{-1}(0,652)&=&\alpha \\[5pt] 33,1^{\circ}&=& \alpha\\[5pt] \end{array}$

Die Gerade $g$ schließt mit der Horizontalen einen Winkel mit einer ungefähren Größe von $33,1^{\circ}$ ein, der Winkel, den $g$ mit der Vertikalen einschließt besitzt daher eine Größe von ca. $90^{\circ}- 33,1^{\circ}= 56,9^{\circ}$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Tangentialen Verlauf überprüfen

Du sollst überprüfen, ob das Seil zwischen $P$ und $E$ tangential zur Dachoberkante verläuft. Beachte dabei, dass die Dachoberkante von der Funktion $h$ modelliert wird, analog zu Aufgabenteil c) (2) kannst du das Seil durch eine Gerade $t$ modellieren. Diese Gerade verläuft tangential zum Graphen von $h$ im Punkt $E$ , wenn folgendes gilt:

$t$ besitzt dieselbe Steigung, wie der Graph von $h$ im Punkt $E$
$t$ verläuft ebenfalls durch den Punkt $E$

Dass der Punkt $E$ auf der Geraden $t$ liegt, ist in der Aufgabenstellung vorausgesetzt. Du musst also nur die Steigungen miteinander vergleichen. Die Steigung des Graphen von $h$ im Punkt $E$ kannst du als $h‘(-2)$ berechnen. Die Steigung der Geraden durch $P$ und $E$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:

$m= \dfrac{y_P-y_E}{x_P-x_E}$

Die Steigung von $t$ ergibt sich daher wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} m_t&=&\dfrac{y_P-y_E}{x_P-x_E} \\[5pt] &=& \dfrac{7,2-4,75}{6,7-(-2)} \\[5pt] &=&\dfrac{49}{174} \\[5pt] \end{array}$

$h‘(-2)= \dfrac{323}{1.250}$

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Es gilt $m_t \neq h‘(-2)$ , also verläuft das Seil nicht tangential zur Dachoberkante im Punkt $E$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Inhalt der Glasfläche berechnen

Die Glasfläche wird nach unten durch die $x$ -Achse, nach links durch die $y$ -Achse und nach oben durch den Graphen der Funktion $k$ begrenzt. Die rechte Grenze ist die Kante durch den Punkt $Q$ , die durch die $x$ -Koordinate von $Q$ also $x =7,3$ beschrieben wird. Du kannst den Inhalt $A$ der Fläche damit als Integral über $k$ in den Grenzen $a=0$ und $b= 7,3$ berechnen. Du kannst das Integral entweder handschriftlich oder mit deinem CAS berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$A\approx 27,475$

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Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,475\,\text{m}^2$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Den Befehl für ein Integral findest du in deinem CAS wie folgt:

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Du erhältst folgendes Ergebnis:

$A = \displaystyle\int_{0}^{7,3}k(x)\;\mathrm dx \approx 27,475$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Dokument.

Abb. 6: Integralberechnung

Die Glasfläche besitzt eine Größe von ca. $27,475\,\text{m}^2$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Lösungsidee angeben

Die Fläche links der $y$ -Achse kann man berechnen, indem man sie in einzelne Teilflächen aufteilt. Für diese Aufteilung gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Auf dem folgenden Bild ist eine dieser Möglichkeiten dargestellt.

Diagramm eines Gebäudes mit geometrischen Formen und Linien, Darstellung von Flächen A1, A2 und A3.

Abb. 7: Aufteilung der Fläche

In diesem Fall setzt sich die gesuchte Fläche aus drei Flächen zusammen. Es kann zuerst der Inhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $k$ im Bereich $a=-4$ bis $b = 0$ mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Von diesem Ergebnis müssen allerdings die Inhalte von zwei Flächen abgezogen werden:

$A_2$ : Der Inhalt der blauen dreieckigen Fläche
$A_3$ : Der Inhalt der roten trapezförmigen Fläche

Für die einzelnen Flächen können dabei folgende Ansätze gemäß der entsprechenden Formeln verwendet werden:

$A_1= \displaystyle\int_{-4}^{0}k(x)\;\mathrm dx$

$A_2 = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

$A_3 = \frac{1}{2}\cdot (a+b)\cdot h$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

(1)

$\blacktriangleright$ Grad der Funktion begründen

(2)

$\blacktriangleright$ Allgemeine Funktionsgleichung angeben

Eine ganzrationale Funktion hat immer folgende Form:

$f(x)= a_nx^n +... + a_0x^0$

$\blacktriangleright$ Bedingungen ermitteln

Aus den Koordinaten erhältst du zwei Bedingungen. Die übrigen zwei Bedingungen erhältst du, indem du das notwendige Kriterium für eine Extremstelle $x_E$ beachtest:

$f‘(x_E) =0$

Es ergeben sich also die folgenden Bedingungen:

$f(0)=5$
$f(7,3)=3,3$
$f‘(0)=0$
$f‘(7,3)=0$

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben

Den Befehl für ein Gleichungssystem findest du wie folgt:

keyboard $\to$ Math1

Dann erhältst du folgendes Ergebnis:

$a= 0,00874$
$b= -0,095703$
$c= 0$
$d =5$

Mathematische Software mit Funktionen zur Definition und Ableitung von Gleichungen.

Abb. 1: Funktionsgleichung bestimmen

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:

$f(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

(1)

$\blacktriangleright$ Funktionsgraphen vergleichen

Graph mit zwei Kurven in rot und blau auf einem Koordinatensystem mit Gitterlinien.

Abb. 2: Vergleich der Graphen

Dir sollte folgendes auffallen:

Beide Graphen besitzen den Hochpunkt $H(0\mid 5)$ .
Für $x\geq 0$ haben beide einen ähnlichen Verlauf, wobei der Graph von $h$ etwas oberhalb des Graphen von $f$ liegt.
Nur im Bereich $x \leq -2$ unterscheidet sich der Verlauf etwas deutlicher: Für kleiner werdende $x$ -Werte fällt der Graph von $h$ deutlich langsamer ab.

(2)

$\blacktriangleright$ Tiefpunkt bestimmen

Die Koordinaten des Tiefpunkts kannst du über die Kriterien für einen Tiefpunkt an der Stelle $x_T$ bestimmen:

Notwendiges Kriterium: $h‘(x_T)=0$
Hinreichendes Kriterium: $h‘‘(x_T)> 0$

Beachte, dass du auch die Intervallgrenzen auf mögliche Randextrema überprüfen musst. Du kannst wie folgt vorgehen:

Wende das notwendige Kriterium an, indem du $h‘(x)=0$ setzt und so mögliche Extremstellen bestimmst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium durch Einsetzen in die zweite Ableitungsfunktion.
Berechne die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts durch Einsetzen in $h(x)$ .
Berechne die Funktionswerte an den Intervallgrenzen um mögliche Randextrema auszuschließen.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Du kannst die Ableitungen zunächst in deinem CAS definieren. Den Befehl dazu findest du wie folgt:

keyboard $\to$ Math2

Mit dem solve-Befehl kannst du dann $h‘(x)=0$ setzen und so mögliche Extremstellen bestimmen:

$x_1 =-10,5 

\quad

x_2 = 0

\quad

x_3= 7,5$

Screenshot einer Software zur mathematischen Berechnung mit Funktionalitäten zur Ableitung und Lösung von Gleichungen.

Abb. 3: Notwendiges Kriterium

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Einsetzen von $x_2=7,5$ in $f‘‘(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(x_2)&=&h‘‘(7,5) \\[5pt] &=& 0,216 > 0 \\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x_2 = 7,5$ besitzt der Graph von $h$ einen lokalen Tiefpunkt.

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichungen und deren Lösungen.

Abb. 4: Hinreichendes Kriterium

3. Schritt: Funktionswert berechnen

Die $y$ -Koordinate des lokalen Tiefpunkts erhältst du durch Einsetzen von $x_2$ in $h(x)$ :

$y_T \approx 3,40$

Vollständige Lösung anzeigen

4. Schritt: Intervallgrenzen überprüfen

Überprüfe die Grenzen des Modellierungsbereichs $x_0 = -4,5$ und $x_4 = 10,5$ auf Randextrema.

$\begin{array}[t]{rll} f(-4,5)&\approx &3,74 \, > \, 3,4 \\[10pt] f(10,5)&\approx& 4,77 \, > \, 3,4\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung angeben

Die $x$ -Koordinate von $T$ weicht um ca. $2,7\,\%$ von der von $Q$ ab, die Abweichung der $y$ -Koordinaten beträgt ca. $3\,\%$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Gefälle im Punkt $\boldsymbol{A}$ untersuchen

Notwendiges Kriterium: $h‘‘(x_M)=0$
Hinreichendes Kriterium: $h‘‘‘(x_M) > 0$

Die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $h$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze also ein:

$h‘‘(x_A)\approx -0,07\neq 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Das notwendige Kriterium ist nicht erfüllt, also liegt an der Stelle $x =2,7$ keine Minimalstelle von $h‘$ . $A$ kann also nicht der Punkt mit dem steilsten Gefälle sein.

(1)

$\blacktriangleright$ Länge des Seils berechnen

$d(P,Q)=$ $\sqrt{(x_Q-x_P)^2 +(y_Q-y_P)^2}$

Setze also ein und beachte anschließend, dass eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter entspricht.

$d(A,P)\approx 4,77$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Abstand zwischen $A$ und $P$ beträgt ca. $4,77$ LE, also ist das Stahlseil ca. $4,77\,\text{m}$ lang.

(2)

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst eine Gleichung der Geraden $g$ bestimmen, die durch die Punkte $A$ und $P$ verläuft. Eine Geradengleichung hat allgemein folgende Form:

$g(x)= mx+ b$

$y_A\approx 4,593$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(2,7)&=& 4,593 \\ \text{II}\quad&g(6,7)&=& 7,2\\ \end{array}$

Dies kannst du wie oben mit deinem CAS lösen.

Also ist $m\approx 0,652$ und $b\approx 2,833$ . Eine Gleichung der Modellierungsgerade lautet:

$g(x)=0,652x+2,833$

Mathematische Berechnungen in einem Softwarefenster mit Funktionen und Werten.

Abb. 5: Hinreichendes Kriterium

$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

Gesucht ist hier einerseits die Größe des Steigungswinkels $\alpha$ der Gerade $g$ . Diesen kannst du mit Hilfe der Steigung $m$ der Gerade mit folgender Formel berechnen:

$m = \tan(\alpha)$

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan(\alpha) \\[5pt] 0,652&\approx& \tan(\alpha) \\[5pt] \tan^{-1}(0,652)&=&\alpha \\[5pt] 33,1^{\circ}&=& \alpha\\[5pt] \end{array}$