Aufgabe 1

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten	Temeratur in $\color{#ffffff}{^{\circ}\text{C}}$
0	23,0
2	54,0
4	76,9
10	76,8
15	77,3
20	76,8
40	37,9
60	26,0
80	23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f( t )= 23 + 20\cdot t \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t}$

modellhaft beschrieben werden. Dabei ist die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

(1)

Gib an, welche Temperaturen die Funktion $f$ für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert.
Bestimme jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.

(4 BE)

(2)

Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ genau einen Extrempunkt hat.
Vergleiche die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.
[Zur Kontrolle: $f‘(t)= \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot t} \cdot (20-2\cdot t)$ ]

(9 BE)

(3)

Bestimme den Wendepunkt des Graphen von $f$ und erläutere die Bedeutung der $t$ -Koordinate („ $x$ -Wert“) des Wendepunkts im Sachzusammenhang.

(4 BE)

(4)

Beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ für große Werte von $t$ und interpretiere diesen Verlauf im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Der Zeitabschnitt, in dem die Flüssigkeit im Produktionsprozess konstant bei $77^{\circ}C$ gehalten wird, entspricht im Modell dem Intervall, in dem die Funktion $f$ mindestens diese Temperatur liefert.

(5)

Bestimme die Zeitpunkte, zu denen dieser Zeitabschnitt beginnt und endet.
Stelle den konstanten Temperaturverlauf in diesem Zeitabschnitt in Abbildung 1 dar.

Grafik eines Zeitverlaufs mit einer abfallenden Kurve, die eine Funktion darstellt.

Abb. 1

(5 BE)

Die Steuerung des Prozesses kann so variiert werden, dass sich der Temperaturverlauf während des gesamten Vorgangs für $t \geq 0$ durch eine der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)= 23+20t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ mit $k\gt 0$ beschreiben lässt. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f_k(t)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

(6)

Die in der Abbildung 2 dargestellten Graphen $A,$ $B$ und $C$ gehören jeweils zu einem der Werte $k = 0,5 ,$ $k = 2$ und $k = 5.$ Entscheide, welcher dieser Werte welchem Graphen zugeordnet werden kann.

(3 BE)

Grafik mit Kurven A, B, C und D, die verschiedene Werte über die Zeit darstellen.

Abb. 2

(7)

Begründe, dass der in der Abbildung dargestellte Graph $D$ nicht zu einer der Funktionen $f_k$ gehören kann.

(2 BE)

Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für $t \geq 20$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit

$h(t)=23+c\cdot \mathrm e^{d\cdot t}$ und $c,$ $d \in\mathbb{R}$ beschreiben.

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ und die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3,5^{\circ}C$ pro Minute betragen.

(1)

Bestimme passende Werte von $c$ und $d.$

(5 BE)

(2)

Ermittle für diese Phase des Abkühlens im Intervall $[20; 80]$ denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion $f$ und der Funktion $h$ mit $c=197,4$ und $d = -0,065$ am stärksten voneinander abweichen.
Gib die zugehörige Abweichung an.

(5 BE)

(1)

$\blacktriangleright$ Temperaturen angeben

Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 23+20\cdot 0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 0} \\[5pt] &=& 23 \\[10pt] f(2)&=& 23+20\cdot 2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot 2} \\[5pt] &=& 23+ 40\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}} \\[5pt] &\approx& 55,75 \end{array}$

Die Funktion $f$ liefert für den Beginn des Vorgangs eine Temperatur von $23^{\circ}C,$ zwei Minuten nach Beginn des Vorgangs ca. $55,75^{\circ}C.$ Die prozentuale Abweichung zu den gegebenen Messwerten beträgt zu Beginn des Vorgangs damit $0\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt] &=& -3,24\,\% \end{array}$

Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.

(2)

$\blacktriangleright$ Extrempunkt nachweisen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&... \\[10pt] f‘(t)&=&... \\[10pt] f‘‘(t) &=& ...\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für jeden Extrempunkt des Graphen von $f$ muss das notwendige Kriterium $f‘(t)=0$ gelten.

$10 = t$

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(10) \lt 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Das hinreichende Kriterium ist also für $t=10$ ebenfalls erfüllt. Da es nur ein $t$ gibt, für das das notwendige Kriterium erfüllt ist, kann es nur maximal einen Extrempunkt geben. Da das hinreichende Kriterium $f‘‘(t)\neq 0$ ebenfalls für dieses $t$ erfüllt ist, besitzt der Graph von $f$ an dieser Stelle tatsächlich einen Extrempunkt. Er besitzt also genau einen Extrempunkt an der Stelle $t=10.$

$\blacktriangleright$ Temperaturen vergleichen

$f(10)\approx 96,6$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Vergleich zu der für $t=10$ angegebenen Temperatur von $76,8^{\circ}C$ , ist der zum Hochpunkt gehörende Wert mit ca. $96,6^{\circ}C$ deutlich höher.

(3)

$\blacktriangleright$ Wendepunkt bestimmen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für einen Wendepunkt an der Stelle $t_W$ muss das notwendige Kriterium $f‘‘(t_W)=0$ erfüllt sein. Mit dem CAS ergeben sich mögliche Wendestellen zu:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(t_W) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_W&=& 20 \end{array}$

Mathematische Berechnungen und Ableitungen in einem Dokument. Ergebnisse und Gleichungen werden dargestellt.

Abb. 1: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium prüfen

Es gilt:

$f‘‘‘(20)\approx 0,027 \gt 0$

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $t_W=20$ einen Wendepunkt.

Mathematische Berechnungen in einem Dokument mit verschiedenen Gleichungen und Ergebnissen.

Abb. 2

3. Schritt: Koordinaten vervollständigen

$f(20)= 23+400\cdot\mathrm e^{-2} \approx 77,13$

Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(20\mid 23+400\cdot\mathrm e^{-2}).$

$\blacktriangleright$ Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben

Die Stelle $t=20$ steht für den Zeitpunkt $20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs. Der Wendepunkt gibt an, dass die Änderungsrate der Temperatur an dieser Stelle ein Extremum aufweist. Da der Graph hier fällt, handelt es sich um ein Minimum der Änderungsrate. Die Temperatur fällt an dieser Stelle am stärksten.

$20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs sinkt die Temperatur am stärksten, anschließend beginnt die Abnahme der Temperatur langsamer zu werden.

(4)

$\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen beschreiben und interpretieren

Aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten, gilt für den Funktionswert von $f:$

$f(t) \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23$

Vollständige Lösung anzeigen

Für große Werte von $t$ nähert sich der Graph also der Gerade $y=23$ an, die folglich eine Asymptote ist.

Auf lange Sicht stellt sich die Temperatur der Flüssigkeit nach dem Prozess also auf ca. $23^{\circ}C$ ein und bleibt so erhalten.

(5)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkte bestimmen

Gesucht sind die Werte von $t,$ für die $f(t) = 77$ gilt. Mithilfe des solve-Befehls des CAS ergeben sich folgende Lösungen:

$t_1\approx 4,05\quad$ $t_2\approx 20,05$

Der Zeitabschnitt beginnt ca. $4$ Minuten nach Beginn des Vorgangs und endet ca. $20$ Minuten nach Beginn des Vorgangs.

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem Software-Interface.

Abb. 3

$\blacktriangleright$ Temperaturverlauf darstellen

Grafik eines Funktionsverlaufs mit abfallender Kurve und horizontalem Abschnitt.

Abb. 4: Darstellung des Verlaufs

(6)

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Für größere Werte von $k$ wird die Potenz $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ kleiner. Damit sind auch die Funktionswerte $f_k(t)$ für größere Werte von $k$ kleiner. Der Graph wird also mit größer werdendem $k$ immer weiter in $y$ -Richtung gestaucht.

Mit dieser Schlussfolgerung erhält man, dass Graph $C$ zu $k=0,5,$ Graph $B$ zu $k= 2$ und Graph $A$ zu $k=5$ gehört.

(7)

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Die Graphen von $f_k$ können keine positive Nullstelle besitzen, da dazu $-23 = 20\cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ gelten muss und weder der Faktor $20$ noch $\mathrm e^{-\frac{1}{10}\cdot k\cdot t}$ negativ werden können. Eine Nullstelle kann also nur negativ sein.
Der Graph $D$ besitzt aber eine Nullstelle bei $t\approx 54.$ Er kann also zu keiner der Funktionen $f_k$ gehören.

(1)

$\blacktriangleright$ Passende Werte berechnen

Durch die beiden Bedingungen aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Informationen:

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ betragen: $h(20) = 77$
Zu Beginn des Abkühlens soll die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3,5^{\circ}C$ betragen: $h‘(20)=-3,5$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$c \approx 197,41$
$d\approx -0,06$

Screenshot eines mathematischen Dokuments mit Gleichungen und Berechnungen.

Abb. 5: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1

(2)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der größten Abweichung angeben

Gesucht ist die Stelle $t_E,$ an der die Differenzenfunktion $d(t)= f(t)-h(t)$ den betragsmäßig größten Funktionswert im Intervall $[20;80]$ besitzt.

1. Schritt: Differenzenfunktion bestimmen

$d(t)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Extremstellen bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium ergeben sich mögliche Extremstellen mithilfe des CAS zu:

$t_1\approx 25,86$ und $t_2\approx 56,74$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d‘‘(25,86)&\approx& -0,07\\[5pt] &\lt & 0 \\[10pt] d‘‘(56,74)&\approx& 0,004 \\[5pt] &\gt & 0 \end{array}$

An der Stelle $t_1\approx 25,86$ besitzt der Graph von $d$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $t_2\approx 56,74$ einen Tiefpunkt.

3. Schritt: Abweichungen vergleichen

Die Funktionswerte von $d$ ergeben sich für die Extremstellen und die Intervallränder zu:

$d(25,86)\approx 2,20$
$d(56,74)\approx -1,04$
$d(20)\approx 0,34$
$d(80)\approx -0,55$

Am stärksten weichen die Werte der beiden Funktionen im Intervall $[20;80]$ zum Zeitpunkt $t\approx 25,86,$ also ca. 26 Minuten nach Beginn des Vorgangs voneinander ab.
Die Funktion $f$ weicht zu diesem Zeitpunkt um ca. $2,2^{\circ}C$ nach oben zu dem Wert von $h$ ab.

Bildnachweise [nach oben]

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(1)

$\blacktriangleright$ Temperaturen angeben

Da $t$ die seit Beginn vergangene Zeit in Minuten angibt, sind die gesuchten Werte:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{54,0-55,75}{54,0}&\approx& -0,0324 \\[5pt] &=& -3,24\,\% \end{array}$

Der durch die Funktion $f$ erhaltene Wert zwei Stunden nach Beginn der Beobachtung ist um ca. $3,24\,\%$ höher als der angegebene Messwert.

(2)

$\blacktriangleright$ Extrempunkt nachweisen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Kettenregel und der Produktregel ergeben sich folgende Ableitungen:

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&... \\[10pt] f‘(t)&=&... \\[10pt] f‘‘(t) &=& ...\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für jeden Extrempunkt des Graphen von $f$ muss das notwendige Kriterium $f‘(t)=0$ gelten.

$10 = t$

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(10) \lt 0$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Temperaturen vergleichen

$f(10)\approx 96,6$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Vergleich zu der für $t=10$ angegebenen Temperatur von $76,8^{\circ}C$ , ist der zum Hochpunkt gehörende Wert mit ca. $96,6^{\circ}C$ deutlich höher.

(3)

$\blacktriangleright$ Wendepunkt bestimmen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Für einen Wendepunkt an der Stelle $t_W$ muss das notwendige Kriterium $f‘‘(t_W)=0$ erfüllt sein. Mit dem CAS ergeben sich mögliche Wendestellen zu:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(t_W) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t_W&=& 20 \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Software-Interface.

Abb. 1: Keyboard $\to$ Math2

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium prüfen

Es gilt:

$f‘‘‘(20)=\frac{\mathrm e^{-2}}{5} \gt 0$

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $t_W=20$ einen Wendepunkt.

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Definition und Ableitung einer Funktion.

Abb. 2: Berechnung mit dem CAS

3. Schritt: Koordinaten vervollständigen

$f(20)= 23+400\cdot\mathrm e^{-2} \approx 77,13$

Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$ lauten $W(20\mid 23+400\cdot\mathrm e^{-2}).$

$\blacktriangleright$ Bedeutung im Sachzusammenhang beschreiben

$20$ Minuten nach Beginn des gesamten Vorgangs sinkt die Temperatur am stärksten, anschließend beginnt die Abnahme der Temperatur langsamer zu werden.

(4)

$\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen beschreiben und interpretieren

Aufgrund des negativen Vorzeichens im Exponenten, gilt für den Funktionswert von $f:$

$f(t) \overset{t \to \infty}{\longrightarrow} 23$

Vollständige Lösung anzeigen

Für große Werte von $t$ nähert sich der Graph also der Gerade $y=23$ an, die folglich eine Asymptote ist.

Auf lange Sicht stellt sich die Temperatur der Flüssigkeit nach dem Prozess also auf ca. $23^{\circ}C$ ein und bleibt so erhalten.

(5)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkte bestimmen

Gesucht sind die Werte von $t,$ für die $f(t) = 77$ gilt. Mithilfe des solve-Befehls des CAS ergeben sich folgende Lösungen:

$t_1\approx 4,05\quad$ $t_2\approx 20,05$

Screenshot einer mathematischen Software, die eine Gleichung löst und zwei Werte für t anzeigt.

Abb. 3: Gleichung lösen

Der Zeitabschnitt beginnt ca. $4$ Minuten nach Beginn des Vorgangs und endet ca. $20$ Minuten nach Beginn des Vorgangs.

$\blacktriangleright$ Temperaturverlauf darstellen

Abb. 4: Darstellung des Verlaufs

(6)

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Mit dieser Schlussfolgerung erhält man, dass Graph $C$ zu $k=0,5,$ Graph $B$ zu $k= 2$ und Graph $A$ zu $k=5$ gehört.

(7)

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

(1)

$\blacktriangleright$ Passende Werte berechnen

Durch die beiden Bedingungen aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Informationen:

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77^{\circ}C$ betragen: $h(20) = 77$
Zu Beginn des Abkühlens soll die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3,5^{\circ}C$ betragen: $h‘(20)=-3,5$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$c \approx 197,41$
$d\approx -0,06$

Mathematische Software-Oberfläche mit Gleichungen und Funktionen zur Lösung von Differentialgleichungen.

Abb. 5: Keyboard $\to$ Math1

(2)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der größten Abweichung angeben

Gesucht ist die Stelle $t_E,$ an der die Differenzenfunktion $d(t)= f(t)-h(t)$ den betragsmäßig größten Funktionswert im Intervall $[20;80]$ besitzt.

1. Schritt: Differenzenfunktion bestimmen

$d(t)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Extremstellen bestimmen

Mit dem notwendigen Kriterium ergeben sich mögliche Extremstellen mithilfe des CAS zu:

$t_1\approx 25,86$ und $t_2\approx 56,74$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d‘‘(25,86)&\approx& -0,07\\[5pt] &\lt & 0 \\[10pt] d‘‘(56,74)&\approx& 0,004 \\[5pt] &\gt & 0 \end{array}$

Screenshot einer mathematischen Software mit verschiedenen Berechnungen und Definitionen.

Abb. 6: Bestimmung mit dem CAS

An der Stelle $t_1\approx 25,86$ besitzt der Graph von $d$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $t_2\approx 56,74$ einen Tiefpunkt.

3. Schritt: Abweichungen vergleichen

Die Funktionswerte von $d$ ergeben sich für die Extremstellen und die Intervallränder zu:

$d(25,86)\approx 2,20$
$d(56,74)\approx -1,04$
$d(20)\approx 0,34$
$d(80)\approx -0,55$

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