C1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie

Ein neu geplantes Mehrfamilienhaus soll $9\,\text{m}$ breit, $15\,\text{m}$ lang und inklusive Dach $9\,\text{m}$ hoch werden.

Die Abbildung zeigt eine Darstellung des Hauses im Koordinatensystem.

Der Erdboden wird durch die $x$ - $y$ -Ebene beschrieben. In dieser Ebene liegen die Eckpunkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ des rechteckigen Hausbodens. Der Punkt $G$ hat die Koordinaten $G(9\mid 15\mid 6).$ Der Dachfirst $\overline{IJ}$ verläuft horizontal und mittig über der Dachbodenfläche $EFGH.$

Mehrfamilienhaus Dachboden Hessen Mathe Abi

1.1

Gib die Koordinaten der Punkte $C, F$ und $J$ an.

Beschrifte die Achsen in der Abbildung mit einer geeigneten Skalierung.

(5 BE)

1.2

Gib eine Parametergleichung der Ebene $T$ an, in der die Dachfläche $FGJI$ liegt, und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.

$\big[$ Zur Kontrolle: $\; 2x+3z = 36$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene. $\big]$

(6 BE)

1.3

Berechne den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche des Hauses.

(3 BE)

1.4

Berechne das Volumen des Mehrfamilienhauses.

(3 BE)

1.5

Damit das Dach für die geplante Installation einer Photovoltaikanlage geeignet ist, sollte die Dachneigung zwischen 30 und 35 Grad betragen.

In diesem Sachzusammenhang wird folgende Rechnung durchgeführt:

(1)

$\overrightarrow{u}_1 = \pmatrix{-4,5\\0\\3},$ $\overrightarrow{u}_2 = \pmatrix{-9\\0\\0}$

(2)

$\cos (\alpha) = \frac{\pmatrix{-4,5\\0\\3}\cdot \pmatrix{-9\\0\\0}}{\left| \pmatrix{-4,5\\0\\3}\right| \cdot \left| \pmatrix{-9\\0\\0}\right|} = ...$

Erläutere den Ansatz in Zeile $(1)$ und den Rechenschritt in Zeile $(2).$

Berechne den Winkel $\alpha.$

Deute das Ergebnis für $\alpha$ im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Auf dem Nachbargrundstück steht eine $13,5\,\text{m}$ hohe Tanne im Punkt $P(30,75\mid 6\mid 0).$

Zu einem bestimmten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-2\\0\\-0,5}$ auf die Dachfläche $FGJI.$

1.6

Prüfe, ob der Schatten der Tannenspitze zu diesem Zeitpunkt auf die Dachfläche $FGJI$ trifft.

(5 BE)

Im Garten des Hauses soll ein Blumenbeet angelegt werden. Dafür sollen Pflanzen dreier Pflanzengattungen gekauft werden.

Eine Pflanze der Gattung Sonnenhut kostet $3\,€,$ eine der Gattung Phlox $4\,€$ und eine der Gattung Malve $6\,€.$

Es sollen genau $25$ Pflanzen für insgesamt $100\,€$ gekauft werden. Darunter sollen doppelt so viele Pflanzen der Gattung Sonnenhut wie Pflanzen der Gattung Malve sein.

2.1

Mit Hilfe der Informationen im Text kann das folgende lineare Gleichungssystem aufgestellt werden:

$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad&x_S & &-2x_M &=& 0 \\ \text{II}\quad& x_S& +x_P& +x_M &=& 25 \\ \text{III}\quad&3x_S&+4x_P& +6x_M &=& 100 \\ \end{array}$

Gib eine Definition der verwendeten Variablen an.

Erläutere die Bedeutung der einzelnen Gleichungen im Sachzusammenhang.

(4 BE)

2.2

Das lineare Gleichungssystem besitzt ohne Beachtung des Sachzusammenhangs unendlich viele Lösungen.

Berechne diese Lösungen.

(5 BE)

2.3

Eine mögliche Darstellung aller Lösungen des linearen Gleichungssystems lautet:

$\overrightarrow{x} = \pmatrix{x_S\\x_P\\x_M} = \pmatrix{0\\25\\0} + t\cdot \pmatrix{2\\-3\\1}$

2.3.1

Um eine mögliche Bepflanzung des Beetes darzustellen, müssen $x_S,$ $x_P$ und $x_M$ nichtnegative ganzzahlige Werte annehmen.

Untersuche, welche Werte $t$ unter dieser Bedingung annehmen kann.

(3 BE)

2.3.2

Gesucht ist die Bepflanzung mit der maximal möglichen Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut.

Bestimme die Anzahlen der Pflanzen der Gattung Sonnenhut, Phlox und Malve für diese Bepflanzung.

(2 BE)

1.1

Koordinaten angeben

Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung folgt:

$C(9\mid 15\mid 0)$

$F(9\mid 0\mid 6)$

$J(4,5\mid 15\mid 9)$

Achsen beschriften

Achsenbeschriftung Mehrfamilienhaus Hessen Mathe Abi

1.2

Parametergleichung angeben

Gleichung anzeigen

Koordinatengleichung bestimmen

Ein Normalenvektor der Ebene $FGJI$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Spannvektoren:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{FG} \times \overrightarrow{FJ} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\15\\0} \times \pmatrix{-4,5\\ 15\\3} \\[5pt] &=& \pmatrix{15\cdot 3 - 0\cdot 15 \\ 0\cdot (-4,5) - 0\cdot 3 \\ 0\cdot 15 - 15\cdot (-4,5) } \\[5pt] &=& \pmatrix{45\\0\\67,5} \\[5pt] &=& 22,5\cdot \pmatrix{2\\0\\3} \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} T: \; 2\cdot x+0\cdot y+3\cdot z&=& d & \\[5pt] 2x+3z&=& d \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten von $F:$

$\begin{array}[t]{rll} T:\quad \quad 2x +3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; F(9\mid 0 \mid 6) \\[5pt] 2\cdot 9 + 3\cdot 6&=& d \\[5pt] 36 &=& d \end{array}$

Eine Gleichung von $T$ in Koordinatenform lautet also:

$T:\, 2x +3z = 36$

1.3

Da beide Dachflächen identisch und rechteckig sind, kann der gesuchte Flächeninhalt wie folgt berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$A \approx 162,25 \,\left[\text{m}^2\right]$

Die gesamte Dachfläche ist folglich ca. $162,25 \,\text{m}^2$ groß.

1.4

1. Schritt: Volumen des Dachs berechnen

Das Dach hat die Form eines Prismas mit dreiseitiger Grundfläche.

Die dreieckige Grundfläche $GHJ$ besitzt die Grundseite $\overline{GH}$ mit einer Länge von $9\,\text{m},$ die Breite des Hauses, und eine Höhe von $3\,\text{m},$ die Höhe des Dachbodens.

Für die Grundfläche gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 9 \,\text{m} \cdot 3\,\text{m}& \\[5pt] &=& 13,5 \,\text{m}^2 \end{array}$

Die Höhe des Prismas entspricht der Länge des Hauses und beträgt somit $15\,\text{m}.$ Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Dach}}&=& 13,5 \,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 202,5\,\text{m}^3 \end{array}$

2. Schritt: Volumen des Hauses berechnen

Der untere Teil des Hauses hat die Form eines Quaders mit einer Länge von $15\,\text{m},$ einer Breite von $9\,\text{m}$ und einer Höhe von $6\,\text{m}:$

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Quader}}&=& 15\,\text{m}\cdot 9\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} \\[5pt] &=& 810\,\text{m}^3 \end{array}$

3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V &=& V_{\text{Dach}} + V_{\text{Quader}} \\[5pt] &=& 202,5\,\text{m}^3 + 810\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 1012,5\,\text{m}^3 \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Hauses beträgt somit $1012,5\,\text{m}^3.$

1.5

Ansatz $\boldsymbol{(1)}$ erläutern

$\overrightarrow{u}_1 = \pmatrix{-4,5\\0\\3}$ entspricht dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{GJ},$ $\overrightarrow{u}_2 = \pmatrix{-9\\0\\0}$ entspricht dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{GH}.$

Rechenschritt $\boldsymbol{(2)}$ erläutern

In Schritt (2) wird der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{GJ}$ und $\overrightarrow{GH}$ bestimmt, welcher der Dachneigung entspricht.

Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 33,7^{\circ}$

Der Winkel $\alpha$ ist folglich ca. $33,7^{\circ}$ groß.

Ergebnis deuten

Die Dachneigung beträgt ca. $33,7^{\circ}$ und somit zwischen $30^{\circ}$ und $35^{\circ}.$ Damit ist das Dach in Bezug auf die Dachneigung für die Installation einer Photovoltaikanlage geeignet.

1.6

Da die Tanne im Punkt $P(30,75\mid 6\mid 0)$ steht, befindet sich ihre Spitze im Punkt $S(30,75\mid 6\mid 13,5).$

Der Lichtstrahl, der auf die Tannenspitze trifft und entlang welchem folglich auch der Schatten auf das Dach geworfen wird, kann durch die Gerade $g$ beschrieben werden:

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + t\cdot \overrightarrow{v}\\[5pt] &=& \pmatrix{30,75\\ 6\\13,5 } + t\cdot \pmatrix{-2\\0\\-0,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{30,75-2t\\ 6\\13,5-0,5t } \end{array}$

2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Der Schattenpunkt der Tannenspitze auf dem Dach entspricht dem Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Ebene $T.$

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts von $g$ in die Koordinatengleichung von $T$ aus Aufgabe 1.2 liefert:

Rechenweg anzeigen

$t=12$

Der Schnittpunkt $\(S$ folgt also mit:

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS$

Unter Verwendung der Abbildung zeigt sich, dass der Punkt genau dann auf der Dachfläche des Hauses liegt, wenn seine $x$ -Koordinate zwischen 4,5 und 9 und die $y$ -Koordinate zwischen 0 und 15 liegt.

Da der Schnittpunkt die Koordinaten $\(S$ besitzt, trifft der Schatten der Tannenspitze also auf die Dachfläche.

2.1

Definition angeben

$x_S:\;$ Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut

$x_P: \;$ Anzahl der Pflanzen der Gattung Phlox

$x_M:$ Anzahl der Pflanzen der Gattung Malve

Bedeutung erläutern

$\text{I}$

Die Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut ist doppelt so groß wie die Anzahl der Pflanzen der Gattung Malve.

$\text{II}$

Die Gesamtanzahl der Pflanzen beträgt $25.$

$\text{III}$

Die Gesamtkosten der Pflanzen betragen $100\,€.$

2.2

Gleichungssystem anzeigen

Wegen $\text{I}= \text{II}$ folgt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

Mit $x_M = t$ folgt nun also:

$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad& x_S& & -2t &=& 0 \\ \text{II}\quad& x_S& & -2t &=& 0 \\ \text{III}\quad& 3x_S&+4x_p& +6t &=& 100 \\ \end{array}$

Aus $\text{I}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_S -2t&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +2t \\[5pt] x_S&=& 2t \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in $\text{III}$ liefert:

$x_P = 25-3t$

Rechenweg anzeigen

Ein Lösungsvektor des Gleichungssystems ist somit gegeben durch $\overrightarrow{x}=\pmatrix{2t\\25-3t\\t}.$

2.3.1

Die Lösungen werden wie folgt angegeben:

$\pmatrix{x_s\\x_p\\x_M} = \pmatrix{2t\\25-3t\\t}$

Die Einträge $x_S, x_P$ und $x_M$ sind genau dann ganzzahlig, wenn auch $t$ ganzzahlig ist.

Für $x_M = 0,5t$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_S &\geq& 0 \\[5pt] 2t &\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t &\geq & 0 \end{array}$

Für $x_P = 25 -3t$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_P&\geq & 0 \\[5pt] 25-3t &\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -3t&\geq& -25 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] t&\leq& \dfrac{25}{3}\\[5pt] \end{array}$

Da nur ganzzahlige Werte für $t$ zugelassen sind, gilt $t \leq 8.$

$t$ kann unter der gegebenen Bedingung also alle Werte zwischen 0 und 8 annehmen.

2.3.2

Die Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut wird durch $x_S = 2t$ beschrieben. Je größer also $t$ ist, desto größer ist $x_s.$

Es gilt $t\leq8.$ Die maximal mögliche Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut ergibt sich also mit $t=8$ zu:

$x_S = 2\cdot 8 = 16$

Für die anderen beiden Gattungen gilt:

$x_P = 25 +8\cdot (-3) = 1$

$x_M = 8\cdot 1 = 8$

Es müssen also 16 Sonnenhut-Pflanzen, eine Phlox-Pflanze und 8 Malven-Pflanzen gekauft werden, damit alle Bedingungen erfüllt sind.