C - Stochastik

Für die Reiseziele der Reisen ab fünf Tagen Dauer hat der DRV folgende Zahlen ermittelt:
% der Reiseziele lagen in Deutschland, % der Reisen waren Fernreisen. Der Rest verteilte sich auf Nah- und Mittelstreckenziele.
Gehe im Folgenden davon aus, dass die angegebenen Zahlen auch für das Jahr 2015 gleich bleiben.
Es werden 100 von Deutschen durchgeführte Reisen ab fünf Tagen Dauer für das Jahr 2015 zufällig ausgewählt.

Bestimme jeweils unter Angabe einer Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Unter den 100 Reisen

• führen genau 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
• führen mindestens 31 zu einem Reiseziel innerhalb Deutschlands,
• sind mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen.

Erläutere die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang.

Der DRV erfasst gesondert Kurzurlaube. Kurzurlaube sind Urlaube, deren Reisedauer unter fünf Tagen liegt.
% aller Kurzurlaube gingen ins Inland. % aller Kurzurlaube ins Inland waren Städtereisen.
% aller Kurzurlaube waren Städtereisen ins Ausland.

Stelle den Sachverhalt mit Hilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel dar.

Es wurden insgesamt 74,5 Mio. Kurzreisen angetreten. Ermittle die Gesamtzahl der Städtereisen.

Bei den Kurzurlauben geht ein Reiseanbieter davon aus, dass sich das Reiseverhalten der Deutschen in den folgenden Jahren nicht ändert. Die ermittelten Zahlen aus dem Jahr 2012 werden daher übernommen.
Dem Reiseanbieter liegt im Jahr 2015 eine Buchung einer Städtereise vor. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Auslandsreise handelt.

Der DRV stellt in seiner Broschüre außerdem fest, dass im Jahr 2012 % der Pauschalreisen online gebucht wurden.
Eine Reisebürokette vermutete, dass sich der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen im Jahr 2013 erhöht habe. Um dies zu überprüfen, wurden 100 von Deutschen durchgeführte Pauschalreisen des Jahres 2013 zufällig ausgewählt und die betroffenen Reisenden nach ihrem Buchungsverhalten befragt.

Die Reisebürokette testete die Nullhypothese:

Entwickle im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von %.

Solltest du in Aufgabe 3.1 zu keiner Lösung gekommen sein, so verwende als kritische Zahl, d.h. als kleinsten Wert im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, .

Erläutere den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang.

Im Frühjahr 2014 gab der DRV bekannt, dass 15 % der von Deutschen im Jahr 2013 durchgeführten Pauschalreisen online gebucht wurden. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging.

Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses bestimmen Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit den Parametern und und gibt die Anzahl der Reisen mit einem Reiseziel innerhalb Deutschlands an. Mit Hilfe des binomPdf-Befehl des CAS folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen genau ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses bestimmen Mit Hilfe derselben Zufallsvariable wie beim ersten Ereignis folgt wieder mit dem binomCdf-Befehl des CAS: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen mindestens ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. Wahrscheinlichkeit des dritten Ereignisses bestimmen Nun ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern und die angibt, wieviele von den betrachteten Reisen Fernreisen sind. Mit dem binomPdf-Befehl des CAS folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen sind, beträgt damit ca.

Bedeutung der Gleichung erläutern Die Gleichung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Parametern und exakt den Wert annimmt.
Da gilt, kann mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung geschlossen werden, dass unter ausgewählten Reisen die Anzahl der Reisen mit Nah- und Mittelstreckenzielen angibt.
Die Gleichung besagt also im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zufällig ausgewählten Reisen genau Reisen Nah- oder Mittelstreckenziele haben, beträgt.

Lösungsweg A: Baumdiagramm zeichnen Die Wahrscheinlichkeit für einen Kurzuralub im Ausland ergibt sich als Gegenereignis eines Kurzurlaubes im Inland wie folgt: Analog ergibt sich für Kurzurlaube im Inland, die Städtereisen sind: Da aller Kurzurlaube Städtereisen ins Ausland waren, folgt weiter: Für Kurzurlaube ins Ausland, die keine Städtereisen waren, ergibt sich damit: Mit „I“ als Bezeichnung für Kurzurlaube im Inland, „S“ als Bezeichnung für Kurzurlaube, die Städtereisen sind und den Werten aus der Aufgabenstellung folgt: Lösungsweg B: Vierfeldertafel zeichnen Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland ergibt sich durch: Für die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland, die keine Städtereise ist, folgt: Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung folgt weiter: Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel und den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich zudem: Insgesamt folgt damit:

1. Schritt: ermitteln Lösungsweg A: Aus der Vierfeldertafel ablesen Lösungsweg B: Mit dem Baumdiagramm berechnen Mit der 1. Pfadregel ergibt sich: 2. Schritt: Gesamtanzahl der Städtereisen berechnen Mit der Gesamtzahl der Kurzreisen aus der Aufgabenstellung folgt: Insgesamt wurden damit Millionen Städtereisen angetreten.

Lösungsweg A: Vierfeldertafel nutzen Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt: Damit handelt es sich zu ca. um eine Auslandsreise. Lösungsweg B: Baumdiagramm nutzen Mit Hilfe des Satz von Bayes folgt: Damit handelt es sich zu ca. um eine Auslandsreise.

Da die Nullhypothese beträgt, ist der Test rechtsseitig. Es handelt sich um einen Test mit Alternativhypothese Stichprobenumfang Signifikanzniveau und binomialverteilter Zufallsvariable Damit folgt: Mit Hilfe einer geeigneten Tabelle oder dem Taschenrechner folgt dann: Somit gilt Da der Test rechtsseitig ist, folgt damit für den Ablehnbereich und für den Annahmebereich Die Entscheidungsregel des Tests besagt also, dass davon ausgegangen wird, dass der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen auf über gestiegen ist, wenn mindestens der Reisen online gebucht wurden.
Bei höchstens online gebuchten Reisen wird die Nullhypothese angenommen, das heißt die Reisebürokette geht davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen nicht erhöht hat.

Fehler 1. Art im Sachzusammenhang erläutern Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft, das heißt, wenn davon ausgegangen wird, dass sich der Anteil der online gebuchten Reisen erhöht hat, obwohl in der Realität nur höchstens der Reisen online gebucht wurden. Fehler 2. Art im Sachzusammenhang erläutern Der Fehler 2.Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl in diese in Wahrheit falsch ist, das heißt, wenn davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit einer online gebuchten Reise immernoch höchstens beträgt, diese in Wirklichkeit aber auf über gestiegen ist.

Mit der alternativen Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung ergibt sich mit Hilfe des binomCdf Befehls des CAS: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging, liegt damit bei .

Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses bestimmen Die Zufallsvariable ist binomialverteilt mit den Parametern und und gibt die Anzahl der Reisen mit einem Reiseziel innerhalb Deutschlands an. Mit Hilfe des binomialPdf-Befehl des CAS folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen genau ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses bestimmen Mit Hilfe derselben Zufallsvariable wie beim ersten Ereignis folgt wieder mit dem binomialCdf-Befehl des CAS: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen mindestens ein Reiseziel innerhalb Deutschlands haben, beträgt ca. Wahrscheinlichkeit des dritten Ereignisses bestimmen Nun ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern und die angibt, wieviele von den betrachteten Reisen Fernreisen sind. Mit dem binomialPdf-Befehl des CAS folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Reisen mindestens sechs, aber höchstens acht Fernreisen sind, beträgt damit ca.

Bedeutung der Gleichung erläutern Die Gleichung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße mit Parametern und exakt den Wert annimmt.
Da gilt, kann mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung geschlossen werden, dass unter ausgewählten Reisen die Anzahl der Reisen mit Nah- und Mittelstreckenzielen angibt.
Die Gleichung besagt also im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zufällig ausgewählten Reisen genau Reisen Nah- oder Mittelstreckenziele haben, beträgt.

Lösungsweg A: Baumdiagramm zeichnen Die Wahrscheinlichkeit für einen Kurzuralub im Ausland ergibt sich als Gegenereignis eines Kurzurlaubes im Inland wie folgt: Analog ergibt sich für Kurzurlaube im Inland, die Städtereisen sind: Da aller Kurzurlaube Städtereisen ins Ausland waren, folgt weiter: Für Kurzurlaube ins Ausland, die keine Städtereisen waren, ergibt sich damit: Mit „I“ als Bezeichnung für Kurzurlaube im Inland, „S“ als Bezeichnung für Kurzurlaube, die Städtereisen sind und den Werten aus der Aufgabenstellung folgt: Lösungsweg B: Vierfeldertafel zeichnen Die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland ergibt sich durch: Für die Wahrscheinlichkeit für eine Reise ins Ausland, die keine Städtereise ist, folgt: Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung folgt weiter: Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel und den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich zudem: Insgesamt folgt damit:

1. Schritt: ermitteln Lösungsweg A: Aus der Vierfeldertafel ablesen Lösungsweg B: Mit dem Baumdiagramm berechnen Mit der 1. Pfadregel ergibt sich: 2. Schritt: Gesamtanzahl der Städtereisen berechnen Mit der Gesamtzahl der Kurzreisen aus der Aufgabenstellung folgt: Insgesamt wurden damit Millionen Städtereisen angetreten.

Lösungsweg A: Vierfeldertafel nutzen Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt: Damit handelt es sich zu ca. um eine Auslandsreise. Lösungsweg B: Baumdiagramm nutzen Mit Hilfe des Satz von Bayes folgt: Damit handelt es sich zu ca. um eine Auslandsreise.

Da die Nullhypothese beträgt, ist der Test rechtsseitig. Es handelt sich um einen Test mit Alternativhypothese Stichprobenumfang Signifikanzniveau und binomialverteilter Zufallsvariable Damit folgt: Mit Hilfe einer geeigneten Tabelle oder dem Taschenrechner folgt dann: Somit gilt Da der Test rechtsseitig ist, folgt damit für den Ablehnbereich und für den Annahmebereich Die Entscheidungsregel des Tests besagt also, dass davon ausgegangen wird, dass der Anteil der online gebuchten Pauschalreisen auf über gestiegen ist, wenn mindestens der Reisen online gebucht wurden.
Bei höchstens online gebuchten Reisen wird die Nullhypothese angenommen, das heißt die Reisebürokette geht davon aus, dass sich der Anteil der Online-Buchungen nicht erhöht hat.

Fehler 1. Art im Sachzusammenhang erläutern Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese in Wahrheit zutrifft, das heißt, wenn davon ausgegangen wird, dass sich der Anteil der online gebuchten Reisen erhöht hat, obwohl in der Realität nur höchstens der Reisen online gebucht wurden. Fehler 2. Art im Sachzusammenhang erläutern Der Fehler 2.Art tritt ein, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl in diese in Wahrheit falsch ist, das heißt, wenn davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit einer online gebuchten Reise immernoch höchstens beträgt, diese in Wirklichkeit aber auf über gestiegen ist.

Mit der alternativen Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung ergibt sich mit Hilfe des binomialCdf Befehls des CAS: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reisebürokette bei ihrem Hypothesentest einen Fehler 2. Art beging, liegt damit bei .