B1 - Analytische Geometrie

Gegeben sind vier Punkte $A(3 \mid 2 \mid 2)$ , $B(5 \mid 3 \mid 0)$ , $C(7\mid 4\mid -2)$ und $D(4\mid 4\mid 4)$ .

1.1

Die vier Punkte liegen in einer Ebene $E$ .

Zeigen Sie, dass die Punkte $A$ , $B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.
Bestimmen Sie für diese Ebene $E$ eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung.
[ zur Kontrolle: $2x - 2y + z = 4$ ]

(9BE)

1.2

Leiten Sie eine Koordinatengleichung für die zu $E$ parallele Ebene her, die durch den Punkt $P(3\mid 1\mid -1)$ geht.

(3BE)

Die Gleichung $2x - y + 2z = 6$ bildet zusammen mit der Ebenengleichung aus Aufgabe 1.1 das lineare Gleichungssystem $(A)$ im nebenstehenden Kasten.

Erläutern Sie, welche Umformung von $(A)$ zu $(B)$ stattgefunden hat.

$\begin{array}[t]{lrll} \text{(A)}& 2x - y + 2z&=& 6 \\[5pt] &2x - 2y + z&=& 4 \\[5pt] \text{(B)} & 2x - y + 2z &=& 6 \\[5pt] & y + z&=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems und deuten Sie diese geometrisch.
Zeigen Sie, dass der Punkt $C$ zur Lösungsmenge gehört.

(6BE)

Ein Mathematiklehrer stellt seiner Klasse folgendes Zahlenrätsel:
Gesucht sind drei Zahlen mit folgenden Eigenschaften:

Das Doppelte der Differenz aus der ersten und der zweiten Zahl ist gleich der Differenz aus 4 und der dritten Zahl.
Das Doppelte der Summe der ersten und dritten Zahl ist gleich der Summe aus 6 und der zweiten Zahl.
Die Summe der zweiten und dritten Zahl ist gleich 2

Drei Schüler geben folgende Antworten:

S1: $x = 2,5$ und $y = 1$ und $z = 1$
S2: $x = -0,5$ und $y = 1$ und $z = 3$
S3: $x = 3,25$ und $y = 1,5$ und $z = 0,5$

3.1

Leiten Sie für die drei Bedingungen aus dem Kasten das folgende lineare Gleichungssystem her:

$\begin{array}[t]{rll} 2x - y + 2z&=&6 \\[5pt] 2x - 2y +z&=& 4 \\[5pt] y + z&=& 2 \\[5pt] \end{array}$

(4BE)

3.2

Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems aus 3.1 an. Überprüfen Sie die drei Antworten auf Richtigkeit.

(4BE)

3.3

Gesucht ist eine Lösung des Zahlenrätsels, die aus möglichst kleinen nicht-negativen ganzen Zahlen besteht. Werten Sie dazu die Lösungsmenge aus.

(4BE)

1.1

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob $\boldsymbol{A,B}$ und $\boldsymbol{C}$ auf einer Geraden liegen

Um die Vorgabe zu prüfen, musst du zunächst eine Gerade aufstellen, die durch 2 der Punkte geht. Die allgemeine Geradengleichung im dreidimensionalen Raum lautet

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}$

Setze anschließend die Koordinaten des Punktes für $g_1$ ein und löse nach $s$ auf. Damit der Punkt auf der Geraden liegt, muss sich für $s$ ein einheitlicher Wert ergeben.

Gerade durch 2 Punkte aufstellen
Punkt einsetzen und nach $s$ auflösen
prüfen ob $s_1=s_2=s_3$ gilt

Den Stützvektor $\overrightarrow{OA}$ der Geraden bildest du nach der Formel

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{O}=\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)-\left( \begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end {array} \right)=\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)$

Nach der folgenden Formel bildest du den Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ der Geraden:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left( \begin {array} {c} 5 \\ 3 \\ 0 \\ \end {array} \right)-\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)=\left( \begin {array} {c} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end {array} \right)$

Daraus ergibt sich die Gerade $g$ mit:

$g:\overrightarrow{x}=\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)+s\cdot\left( \begin {array} {c} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end {array} \right)$

Bilde nun aus dieser das Gleichungssystem und setze die Koordinaten des Punktes $C$ ein, um zu prüfen ob dieser auf der Geraden liegt.

$\begin{array}{} \text{I}\quad&7&=& 3+2s_1 &\quad \scriptsize\mid\; -3\\ \text{II}\quad&4&=& 2+s_2&\quad \scriptsize\mid\;-2\\ \text{III}\quad&-2&=&2-2s_3&\quad \scriptsize\mid\;-2 \\[10pt] \text{I}\quad&4&=& 2s_1 &\quad \scriptsize\mid\; :2\\ \text{II}\quad&2&=&s_2 &\quad \scriptsize\\ \text{III}\quad&-4&=& -2s_3&\quad \scriptsize\mid\; :(-2)\\[10pt] \text{I}\quad&2&=& s_1 \\ \text{II}\quad&2&=&s_2 \\ \text{III}\quad&2&=& s_3\\ \end{array}$

Somit gilt $s_1=s_2=s_3$ , sodass $C\in g$ bewiesen ist.

$\blacktriangleright$ Ebene $\boldsymbol{E}$ aufstellen

Die Ebene $E$ in Parametergleichung stellst du auf, indem du einen Stützvektor $\overrightarrow{OA}$ und 2 Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufstellst, die nach der Formel

$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD}$

dann eine Ebene in Parametergleichung aufspannen. Über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren nach $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ erhältst du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ , mit dessen Hilfe du die Normalenform der Ebene bestimmen kannst. Diese wird durch folgende Form beschrieben:

$E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot\overrightarrow{n}=0$

Durch Ausmultiplizieren erhältst du folgende Form:

$E:n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=n_1\cdot a_1+n_2\cdot a_2+n_3\cdot a_3.$

Parameterform mit Hilfe 2er Richtungsvektoren aufstellen
Normalenvektor mittels Kreuzprodukt bestimmen
Normalenform aufstellen
Normalenform ausmultiplizieren

Die Richtungsvektoren der Ebene bestimmst du über $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$ . Daraus resultieren folgende Vektoren:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left( \begin {array} {c} 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end {array} \right)-\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)=\left( \begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)$

Und somit bildet sich die Ebene $E$ in Parameterform mit

$E:\overrightarrow{x}=\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)+s\cdot\left( \begin {array} {c} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end {array} \right)+t\cdot \left( \begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)$

Bilde nun das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, um den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ zu bestimmen.

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2-(-4)\\ (-2)-4\\ 4-1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 6\\ -6\\ 3\\ \end{array}\right)\mathrel{\widehat{=}}\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)$

Daraus ergibt sich dann die Normalform der Ebene $E$ mit

$E:\left(\left( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ \end {array} \right)-\left( \begin {array} {c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end {array} \right)\right)\cdot\left( \begin {array} {c} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end {array} \right)$

Multipliziere diese Form aus, sodass du die folgende Ebenengleichung erhältst.

$E:2\cdot x-2\cdot y+z=6-4+2=4$

1.2

$\blacktriangleright$ Eine zu $\boldsymbol{E}$ parallele Ebene herleiten

Zwei Ebenen sind die parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind, also wenn auch die Normalenvektoren parallel verlaufen. Ist dir der Normalenvektor gegeben, so kannst du mit einem Punkt und diesem Normalenvektor direkt die Normalenform aufstellen, ohne dass du die Parameterform aufstellen musst.

Übertrage den Normalenvektor aus 1.1 und bilde mit Hilfe des Punktes $P$ die Normalenform und multipliziere dies aus.

parallele Ebenen haben linear abhängige Normalenvektoren
Punkt + Normalenvektor bilden Normalenform
Normalenvektor aus 1.1 übertragen

Der Normalenvektor aus der vorherigen Aufgabe lautete $\overrightarrow{n}=\left( \begin {array} {c} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end {array} \right)$ .
Der dir gegebene Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(3\mid 1\mid -1)$ . Daraus ergibt sich die Normalenform dieser Ebene mit

$E_P:\left(\left( \begin {array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end {array} \right)-\left( \begin {array} {c} 3 \\ 1 \\ -1 \\ \end {array} \right)\right)\cdot\left( \begin {array} {c} 2 \\ -2 \\ 1 \\ \end {array} \right)$

Ausmultipliziert erhältst du somit die Ebenengleichung von $E_P$ mit

$2\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3=6-2-1=3$

$\blacktriangleright$ Umformungen definieren

Es gibt zwei mögliche Umformungen innerhalb eines linearen Gleichungssystems. Zum einen können die beiden Gleichungen addiert oder zum anderen voneinander subtrahiert werden. Dabei ist zu beachten, dass die 1. Zeile immer vom 1. Schritt, also in diesem Fall (A), in den 2. Schritt (B) übertragen wird. Folglich kannst du nur über die 2. Zeile auf die Umformung schließen.
Addiere und subtrahiere in getrennten Gleichungssystemen die Gleichungen mit- bzw. voneinander und prüfe, bei welcher Umformung die von der Aufgabe geforderte Lösung eintritt.

mögliche Umformungen: addieren bzw. subtrahieren der Gleichungen
zwei getrennte Gleichungssysteme aufstellen, in denen getrennt die Umformungen durchgeführt werden
prüfen, für welche Umformung das geforderte Ergebnis eintritt

Somit ergeben sich die folgenden 2 Gleichungssysteme.

$\begin{array}{} \text{(A)}\quad 2x&-y&+2z&=& 6 \quad \\ \text{(B)}\quad 2x&-2y&+z&=& 4 \quad\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}-\text{II}\\ \hline &y&+z&=& 2 \quad \\ \end{array}$

$\begin{array}{} \text{(A)}\quad 2x&-y&+2z&=& 6 \quad \\ \text{(B)}\quad 2x&-2y&+z&=& 4 \quad\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \hline 4x&-3y&+3z&=& 10 \quad \\ \end{array}$

Somit lässt sich die zu bestimmende Umformung als Subtrahieren der der Gleichung (B) von der Gleichung (A) festlegen.

$\blacktriangleright$ Lösungsmenge des Gleichungssystems bestimmen

Besteht ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und enthält drei Unbekannte, so kannst du die Gleichungen als Ebenengleichungen interpretieren. Ist das Gleichungssystem dann lösbar, so entspricht die Lösungsmenge der Schnittgeraden dieser beider Ebenen.

Ebenen schneiden sich in einer Geraden
Lösungsmenge ist Schnittgerade

Da bereits eine Umformung von (A) nach (B) stattgefunden hat, kannst du die 2. Zeile von (B) verwenden, um die Lösungsmenge zu bestimmen. Setze dazu $z=h$ und löse nach $y$ auf. Daraus ergibt sich nach $y+h=2$ für $y$ die Form $y=2-h$ .

Setze Nun $z$ und $y$ in die erste Zeile von (B) ein und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot x-(2-h)+2\cdot h&=&6\\[5pt] 2\cdot x-2+3\cdot h&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; +2 \quad \mid\; -(3\cdot h) \\[5pt] 2\cdot x&=&8-3\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x&=& 4-1,5\cdot h \end{array}$

Setze dies in die allgemeine Geradengleichung ein, wobei $x\mathrel{\widehat{=}}s_1$ , $y\mathrel{\widehat{=}}s_2$ und $z\mathrel{\widehat{=}}s_3$ . Daraus ergibt sich die Geradengleichung mit

$s:\overrightarrow{x}=\left( \begin {array} {c} 4 \\ 2 \\ 0 \\ \end {array} \right)+h\cdot\left( \begin {array} {c} -1,5 \\ -1 \\ 1 \\ \end {array} \right)$

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{C}$ zur Lösungsmenge gehört

Um zu prüfen, ob ein Punkt Lösung des Gleichungssystems ist, prüfst du, ob gilt $C\in s$ . Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&7&=& 4-1,5h_1&\quad \scriptsize\mid\;-4\\ \text{II}\quad&4&=& 2-h_2&\quad\scriptsize\mid\;-2\quad\\ \text{III}\quad&-2&=&0+h_3&\quad\scriptsize\mid\;-2\quad\\ \end{array}$

$\begin{array}{} \text{I}\quad&3&=&-1,5s_1&\quad \scriptsize\mid\;:(-1,5)\\ \text{II}\quad&2&=& -h_2&\quad\scriptsize\mid\;\cdot (-1)\\ \text{III}\quad&-2&=&h_3\\ \end{array}$

$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2&=&h_1\\ \text{II}\quad&-2&=& h_2\\ \text{III}\quad&-2&=& h_3\\ \end{array}$

Somit gilt $h_1=h_2=h_3$ . Somit liegt der Punkt $C$ auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen und gehört folglich zur Lösungsmenge des Gleichungssystems.

3.1

$\blacktriangleright$ Herleitung des linearen Gleichungssystems

Um das lineare Gleichungssystem herzuleiten, musst du die Wortform, in der die Gleichung im Kasten abgebildet sind, in mathematische Gleichungen packen und dann an die Form des Gleichungssystems anpassen.
Achte darauf, dass die 1. Zahl mit $x$ festgelegt ist, die 2. Zahl mit $y$ und die 3. Zahl mit $z$ .

Gleichungen in Wortform in mathematische Gleichungen umwandeln
Gleichungen an Form und Anordnung des LGS anpassen
Zahlennamen schon vorgegeben

$(1)\quad 2\cdot x-2\cdot y=4-z$

$(2)\quad 2\cdot(x+z)=6+y$

$(3)\quad y+z=2$

Um die Gleichungen an die Form des LGS anzupassen, dürfen nur links des Gleichheitszeichens Parameter stehen. Folglich musst du die Gleichungen noch wie folgt umformen:

$(1)\quad 2\cdot x-2\cdot y+z=4$

$(2)\quad 2\cdot x-y+2\cdot z=6$

$(3)\quad y+z=2$

Jetzt musst du nur noch die Gleichungen in die richtige Reihenfolge bringen, sodass das LGS vollkommen hergeleitet ist.

$(2)\quad 2\cdot x-y+2\cdot z=6$

$(1)\quad 2\cdot x-2\cdot y+z=4$

$(3)\quad y+z=2$

3.2

$\blacktriangleright$ Lösungsmenge bestimmen

Ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen und drei Parametern kann so aufgelöst werden, dass alle Parameter bestimmt werden. Löse hierzu eine Gleichung nach einem Parameter auf und setze den Term in eine andere Gleichung ein.
Löse, wenn du nur noch einen Parameter in einer Zeile stehen hast, nach diesem auf und setze ihn in die vorher bestimmten Terme ein, sodass für alle Parameter ein konkreter Zahlenwert bestimmt wird.

Nach Parametern auflösen und in andere Gleichungen einsetzen
Fortführen, bis sich ein konkreter Zahlenwert ergibt
diesen in die Terme wieder einsetzen um für jeden Parameter die Lösung zu bestimmen.

Löse zunächst die 3. Gleichung nach $y$ auf:

$y=2-z$

Setze diesen Term für $y$ in die 2. Gleichung ein, sodass sich folgende Gleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 2x-2(2-z)+z&=&4 \\[5pt] 2x-4+3z&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 2x+3z&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -3z \quad \mid\; :2\\[5pt] x&=&4-1,5z \\[5pt] \end{array}$

Setze diesen Term für $x$ in die 1. Gleichung ein und löse nach $z$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 2(4-1,5z)-2+z+z&=& 6 \\[5pt] 8-3z-2+3z&=& 6 \\[5pt] 6&=&6 \end{array}$

Somit ergibt sich eine wahre Aussage für die Gleichung. Somit hat das Gleichungssystem für jedes $z$ eine Lösung, solange die Bedingungen für $x(z)$ und $y(z)$ , die vorhin mit $x(z)=4-1,5z$ und $y(z)=2-z$ definiert wurden, eingehalten werden.

Somit lautet die Lösungsmenge $L=\{z\in\mathbb{R};\;x=4-1,5z;\;y=2-z\}$ .

Deine Lösungsmenge ist abhängig von der Reihenfolge der Parameter, nach denen du auflöst.

$\blacktriangleright$ Schülerlösungen prüfen

Um die Schülerlösungen zu prüfen, musst du überprüfen, ob sie mit der eben getroffenen Bedingung und dem Zusammenhang zwischen $x,y$ und $z$ konform sind. Setze daher die Werte von $S1,S2$ und $S3$ in die Bedingungen ein und prüfe, ob wahre Aussagen resultieren.

Schülerergebnisse in Bedingungen einsetzen
auf wahre Aussage prüfen

S1:
$x(z)=2,5=4-1,5\cdot 1=2,5$
$y(z)=1=2-1=1$
Somit sind beide Bedingungen erfüllt, sodass die Lösung $S1$ richtig ist.

S2:
$x(z)=-0,5=4-1,5\cdot 3=-0,5$
$y(z)=1=2-3=-1$
Somit sind nicht beide Bedingungen erfüllt, sodass die Lösung $S2$ falsch ist.

S3:
$x(z)=3,25=4-1,5\cdot 0,5=3,25$
$y(z)=1,5=2-0,5=1,5$
Somit sind beide Bedingungen erfüllt, sodass die Lösung $S3$ korrekt ist.

3.3

$\blacktriangleright$ Lösung des Zahlenrätsels

Du sollst eine Lösung des Zahlenrätsels bestimmen, die aus möglichst kleinen nicht-negativen ganzen Zahlen besteht.

Du hast bereits $x$ und $y$ in Abhängigkeit von $z$ dargestellt:

$x= 4-1,5z$
$y= 2-z$

Da die Lösung aus ganzen Zahlen bestehen soll, muss $z$ gerade sein. Sonst wäre $x$ nicht ganzzahlig. Die Lösung soll außerdem nicht-negativ sein, das heißt, dass $z$ höchstens $2$ sein darf, sonst wäre $y$ negativ. Es kommt also nur $z=0$ und $z=2$ in Frage. Überprüfe für diese beiden Möglichkeiten, welche der Lösungen aus den kleinsten Zahlen besteht.

$z=0$ :

$\begin{array}[t]{rll} x&=&4-1,5\cdot z & =\, 4-1,5\cdot 0 & =\, 4 \\[5pt] y&=&2-z &=\, 2-0 &=\, 2 \end{array}$

$z=2$ :

$\begin{array}[t]{rll} x&=&4-1,5\cdot z & =\, 4-1,5\cdot 2 & =\, 1 \\[5pt] y&=&2-z &=\, 2-2 &=\, 0 \end{array}$

Die kleinste Lösung, die aus nicht-negativen ganzen Zahlen besteht, lautet $x= 1$ , $y=0$ und $z = 2$ .