B1 - Analysis

Auf vielen Gebäuden befinden sich Photovoltaikanlagen. Umgangssprachlich bezeichnet man solche der Stromerzeugung dienenden Anlagen häufig als „Solaranlagen“. Die Menge des erzeugten Stroms hängt unter anderem vom Sonnenstand ab und schwankt daher im Jahres-, aber auch im Tagesverlauf.

In dieser Aufgabe wird die Leistungsabgabe einer Solaranlage auf einem Einfamilienhaus während eines sonnigen Tages im Juli 2022 näher untersucht.

Diese lässt sich in sehr guter Näherung durch die Funktion $f$ mit $f(t)=\left(-0,1 t^2+2,6 t\right) \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot(t-13)^2}$ modellieren.

Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Stunden nach Tagesbeginn um Mitternacht und $f(t)$ die Leistungsabgabe in $\,\text{kW}$ (Kilowatt). Der Definitionsbereich der Funktion $f$ ist $0 \leq \mathrm{t} \leq 24.$

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Beschreibe den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang unter Bezugnahme auf wesentliche Eigenschaften und charakteristische Punkte.

Leistungsabgabe Solaranlage Hessen Mathe Abi 2023

Abbildung 1

(5 BE)

Im Zeitraum von 9 Uhr bis 17 Uhr, d.h. für $9 \leq t \leq 17$ , soll anstelle der Funktion $f$ vereinfachend eine quadratische Funktion $g$ zur Modellierung der Leistungsabgabe der Solaranlage verwendet werden.

2.1

Der Graph von $g$ soll den Hochpunkt $H(13\mid 17)$ besitzen und durch den Punkt $P(9\mid1)$ verlaufen.

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion $g.$

(7 BE)

Im Folgenden soll die Funktion $g$ mit der Funktionsgleichung $g(t)=-t^2+26 t-152$ verwendet werden ( $t:$ Zeit in Stunden nach Mitternacht, $g(t):$ Leistungsabgabe in $\,\text{kW}$ ).

Der Graph der Funktion $g$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Graph g Solaranlage Mathe Abi Hessen 2023

Abbildung 2

2.2

Berechne die Zeitpunkte, zu denen gemäß der Modellierung mit der Funktion $g$ die Leistungsabgabe $8 \,\text{kW}$ beträgt.

Gib die Zeitspanne, in welcher die Leistungsabgabe mindestens $8 \,\text{kW}$ beträgt, im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

2.3

Die in der Zeitspanne von $t_1$ bis $t_2$ bereitgestellte Energiemenge berechnet man, indem man die Funktion $g$ über dem Zeitintervall $\left[t_1 ; t_2\right]$ integriert.

Berechne die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energiemenge in Kilowattstunden $(\text{kWh}).$

(5 BE)

Betrachtet wird nun wieder die Funktion $f,$ die im Vergleich zur Funktion $g$ die Leistungsabgabe im Verlauf des Tages deutlich präziser beschreibt.

3.1

Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $f$ in einem Intervall mit der $t$ -Achse einschließt, kann nicht algebraisch mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

Um die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energiemenge näherungsweise zu ermitteln, soll daher der Inhalt der zugehörigen Fläche mit Hilfe einer Rechtecksumme approximiert werden.

Skizziere in der Abbildung 1 die zur Untersumme zugehörige Fläche, die man bei Unterteilung des Intervalls $[10 ; 16]$ in drei Abschnitte gleicher Breite erhält.

Berechne den Wert dieser Untersumme.

(7 BE)

3.2

Nimm ohne Verwendung einer Rechnung Stellung zu der Aussage:

„Die Rechtecksumme, durch die in Aufgabe 3.1 die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energiemenge näherungsweise ermittelt wird, ist sicher kleiner als die gemäß der Modellierung mit der Funktion $f$ bereitgestellte Energiemenge in dieser Zeitspanne.“

(2 BE)

3.3

Gib den Wert des Terms $\displaystyle\int_{10}^{16}f(t)\;\mathrm dt$ mit Hilfe der erweiterten Funktionalitäten des Taschenrechners an.

Dieser Wert weicht deutlich von dem mit Hilfe der Untersumme in Aufgabe 3.1 bestimmten Wert ab.

Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an, wie man die in Aufgabe 3.1 vorgenommene Approximation verbessern könnte.

(4 BE)

Die Hauseigentümer besitzen ein Elektroauto und eine Ladestation. Diese bezieht so viel Strom wie möglich direkt von der Solaranlage auf dem eigenen Hausdach.

Zum Laden des Elektroautos wird eine konstante Ladeleistung von $11 \,\text{kW}$ benötigt. Fällt die Leistungsabgabe der Solaranlage unter diesen Wert, so wird der zusätzlich benötigte Strom zum Preis von $0,3 \,€$ pro $\,\text{kWh}$ aus dem öffentlichen Stromnetz hinzugefügt.

Vereinfachend kann davon ausgegangen werden, dass über den Ladevorgang hinaus im betrachteten Zeitraum kein Strom benötigt wird.

Die Hauseigentümer schließen ihr Elektroauto um 14 Uhr an die Ladestation an und wollen $33\,\text{kWh}$ aufladen. Demnach bleibt das Elektroauto für drei Stunden angeschlossen.

Zur Modellierung der Leistungsabgabe der Solaranlage wird im Folgenden die Funktion $f$ verwendet.

Erläutere den Ansatz in Zeile $(1)$ sowie die Berechnung in Zeile $(2)$ im Sachzusammenhang.

Deute die Rechnung und das Ergebnis in Zeile $(3)$ im Sachzusammenhang.

Rechnungen anzeigen

(6 BE)

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Der Graph der Funktion $f$ zeigt den Verlauf der Leistungsabgabe über einen Zeitraum von 24 Stunden, was einem kompletten Tag entspricht. Die Zeit $t$ auf der $x$ -Achse reicht von 0 bis 24 Stunden, wobei 0 Uhr Mitternacht und 24 Uhr Mitternacht des nächsten Tages entspricht.

Der Graph erreicht seinen höchsten Punkt bei ungefähr $t \approx 13,$ da die Solaranlage um etwa 13 Uhr, wenn die Sonne am höchsten am Himmel steht, die maximale Leistung erzeugt.

Die Leistungsabgabe am Anfang und Ende des Tages ist niedrig, weil die Sonne niedriger am Himmel steht oder aufgeht bzw. untergeht.

Der Graph ist annähernd symmetrisch um $t\approx 13.$ Das bedeutet, dass die Leistungsabgabe morgens und abends ähnlich ist, da die Sonnenintensität zu diesen Zeiten vergleichbar ist.

2.1

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $g(t)=at^2+bt+c.$

Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Bedingungen aufstellen:

$\(g$ damit die notwendige Bedingung für Extremstellen im Hochpunkt bei $t=13$ erfüllt ist.
$g(13)=17$
$g(9) = 1$

Es gilt $\(g$ Damit folgt aus der ersten Bedingung:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Mit der zweiten Bedingung folgt:

Rechnung anzeigen

$c=17+169a$

Mit der dritten Bedingung folgt:

Rechnung anzeigen

$a=-1$

Die Parameter sind somit gegeben durch $b=-26\cdot (-1)=26$ und $c=17+169\cdot (-1)=-152.$

Die Funktionsgleichung der Funktion $g$ folgt also mit:

$g(x)=-t^2+26t-152$

Hinweis: Alternativ kann auch die Scheitelpunktform verwendet werden, um die Funktionsgleichung aufzustellen.

2.2

Zeitpunkte berechnen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 8 & \\[5pt] -t^2+26t-152&=& 8&\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] -t^2+26t-160&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] t^2-26t+160&=& 0 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1;2}&=& -\dfrac{(-26)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-26}{2}\right)^2-160} \\[5pt] t_{1;2}&=& 13 \pm \sqrt{9} & \\[5pt] t_1&=& 10 & \\[5pt] t_2&=& 16 \end{array}$

Um 10 und 16 Uhr beträgt die Leistungsabgabe $8\,\text{kW}.$

Zeitspanne angeben

Aus den berechneten Zeitpunkten und da die Leistungsabgabe zur Mittagszeit am höchsten ist, folgt, dass die Leistungsabgabe zwischen 10 Uhr und 16 Uhr mindestens $8\,\text{kW}$ beträgt.

2.3

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{10}^{16}g(t)\;\mathrm dt=84 \left[\,\text{kWh}\right]$

3.1

Untersumme skizzieren

Untersumme Leistungsabgabe Solaranlage Hessen Abi

Wert berechnen

$f(10)\approx 6,5$

Rechenweg anzeigen

$f(12) \approx 15,2$

Rechenweg anzeigen

$f(16) \approx 6,5$

Rechenweg anzeigen

Wegen $f(10)=f(16)$ folgt, dass auch die Flächen des ersten und des dritten Abschnitts gleich groß sind.

Für diese gilt:

$A_{1/3}= 2\cdot 6,5= 13 \left[\,\text{kWh}\right]$

Die Fläche des zweiten Abschnitts ergibt sich analog mit:

$A_2=2\cdot 15,2=30,4 \left[\,\text{kWh}\right]$

Der Wert der Untersumme ist somit gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} U&=& A_1+A_2+A_3 & \\[5pt] &=& 13+30,4+13 & \\[5pt] &=& 56,4 \left[\,\text{kWh}\right] \end{array}$

3.2

Die Rechtecksumme, die die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energie näherungsweise ermittelt, ist eine Untersumme und approximiert die Fläche unter der tatsächlichen Energiekurve durch Rechtecke.

Die Rechtecke der Untersumme haben den kleinsten Funktionswert $f(t)_{min}$ im jeweiligen Teilintervall als Höhe. Daher ist der Flächeninhalt aller Rechtecke der Untersumme insgesamt sicher kleiner als die Fläche $f.$

Die Aussage ist somit korrekt.

3.3

Wert angeben

Mit dem WTR ergibt sich:

$\displaystyle\int_{10}^{16}f(t)\;\mathrm dt \approx 76,62$

Verbesserungsmöglichkeiten angeben

Umso kleiner die Abschnitte sind, desto besser nähert sich die Approximation der tatsächlichen Kurve an. Eine Möglichkeit zur Verbesserung wäre somit die Unterteilung des Intervalls in kürzere und dementsprechend mehr Abschnitte.

Eine weitere Verbesserungsmöglichkeit wäre die Wahl des Durchschittsfunktionswertes anstatt des kleinsten Funktionswertes der jeweiligen Abschnitte als Höhe.

Zeile (1)

Im ersten Schritt werden die Zeitpunkte berechnet, zu denen die Leistungsabgabe der Solaranlage $11 \text{kW}$ beträgt.

Aufgrund des Verlauf des Graphen von $f$ lässt sich also schließen, dass zwischen 11 Uhr und 15 Uhr eine konstante Ladeleistung von mindestens $11 \text{kW}$ gegeben ist.

In diesem Zeitraum ist somit genügend Solarstrom für die Ladestation verfügbar.

Zeile (2)

Im zweiten Schritt wird der verfügbare Solarstrom während den drei Stunden, in welchen das Elektroauto an die Ladestation angeschlossen ist, berechnet.

Aus dem Ansatz aus Zeile $(1)$ folgt, dass die Leistungsabgabe der Solaranlage in der ersten Stunde zwischen 14 Uhr und 15 Uhr ausreichend ist. Für eine Stunde werden somit die benötigten $11 \text{kW}$ bereitgestellt.

Das Integral repräsentiert die Energiemenge, die in den folgenden zwei Stunden von der Solaranlage erzeugt wird.

Zeile (3)

In dieser Zeile wird der Gesamtstrombedarf für das Laden des Elektroautos berechnet. Es sollen insgesamt $33 \mathrm{kWh}$ geladen werden.

Die bereits durch die Solaranlage und die konstante Ladeleistung gedeckte Energiemenge von $24,4 \mathrm{kWh}$ wird von den $33 \mathrm{kWh}$ abgezogen, um den noch benötigten Strom zu erhalten.

Da dieser zusätzliche Strom aus dem öffentlichen Netz bezogen wird und $0,3\,€$ pro $\mathrm{kWh}$ kostet, ergeben sich für die Gesamtkosten des zusätzlichen Stroms somit $2,58 \,€.$

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