A1 - Analysis

Berechne ohne Bezugnahme auf den Graphen von die Extrem- und Wendepunkte des Graphen innerhalb des betrachteten Intervalls unter Zuhilfenahme der ersten Ableitung
Begründe das Grenzwertverhalten des Graphen für anhand des Funktionsterms von

Beschreibe unter Verwendung der Begriffe „Populationsgröße“ und „Wachstumgsgeschwindigkeit“ die Entwicklung der Käferpopulation. Deute dabei sowohl die Extrem- und Wendepunkte als auch den Grenzwert des Graphen aus Aufgabe 1.

Zeige, dass mit eine Stammfunktion von ist. Berechne den Wert von und deute diesen im Sachzusammenhang.

Die Funktion beschreibt die Entwicklung der Käferpopulation nur für die ersten 55 Jahre recht gut. Ab dem Zeitpunkt bleibt bei einer verbesserten Beschreibung die zu diesem Zeitpunkt erreichte Wachstumgsgeschwindigkeit konstant, sodass für ein lineares Wachstum vorliegt.
Berechne die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei und bestimme mit Hilfe der Funktionsgleichung, die ab diesem Punkt die Populationsgröße beschreibt, den voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation.

Extrempunkte bestimmen 1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden Nullsetzen der ersten Ableitung aus der Aufgabenstellung liefert: 2. Schritt: Zweite Ableitung von bestimmen Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel folgt für die Ableitung von 3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen Damit besitzt die Funktion an der Stelle ein Maximum. Einsetzen von in liefert: Der Graph von besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten Wendepunkte bestimmen 1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden Nullsetzen von liefert: 2. Schritt: Dritte Ableitung von bestimmen Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel folgt für die Ableitung von 3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen Damit besitzt die Funktion an der Stelle eine Wendestelle. Einsetzen von in liefert dann: Der Graph von besitzt im Punkt mit den Koordinaten einen Wendepunkt. Grenzwertverhalten begründen Das Grenzwertverhalten der einzelnen Komponenten des Funktionsterms ist wie folgt: besitzt lineares Wachstum und es gilt besitzt exponentielles Wachstum und es gilt Da exponentielles Wachstum stärker als lineares Wachstum ist, folgt für das Grenzwertverhalten des Funktionsterms von .

Der Anfangsbestand der Käferpopulation beträgt wegen gerade Käfer. Bis zum Hochpunkt in dem die Populationsgröße mit Käfern ihren maximalen Wert erreicht, wächst die Population, da die Wachstumsgeschwindigkeit bis dahin positiv ist. An dem Graphen von kann abgelesen werden, dass die Käferpopulation nach dem Hochpunkt abnimmt. Dies kannst mit der negativen Wachstumsgeschwindigkeit erklärt werden. Im Wendepunkt beträgt die Populationgröße Käfer. Da an der Stelle einen Tiefpunkt besitzt, wird die Populationsgröße hier am stärksten dezimiert, die Wachstumsgeschwindigkeit ist minimal. Da gilt, nähert sich die Populationsgröße im Laufe der Zeit immer näher der an, d.h. die Käferpopulation stirbt langsam aus. Die Wachstumsgeschwindigkeit bleibt im Intervall also negativ, wobei ihr Betrag immer kleiner wird.

Stammfunktion nachweisen Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel folgt für die Ableitung von Damit ist eine Stammfunktion von . Integral berechnen Mit dem Hauptsatz der Integralrechnung folgt: Integral im Sachzusammenhang deuten Der Ausdruck gibt den durchschnittlichen Funktionswert des Graphen von zwischen und an. Da eine Einheit der Funktionswerte Käfern entspricht, liefert die durchschnittliche Anzahl der Käfer zwischen Jahr und

Momentane Wachstumsgeschwindigkeit berechnen Für die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei folgt durch Einsetzen in Neue Funktionsgleichung bestimmen Da ab der Stelle ein lineares Wachstum für die Käferpopulation angenommen wird, beschreibt die Tangente mit allgemeiner Form an den Graphen von an der Stelle den weiteren Verlauf.
Die Tangente die besitzt die Steigung , da dies die momentane Wachstumsgeschwindigkeit an der Stelle ist. Somit gilt .
Da die Tangente und die Funktion an der Stelle denselben -Wert besitzen, folgt für Voraussichtlichen Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation berechnen Nullsetzen von liefert: Der voraussichtliche Zeitpunkt des Aussterbens der Käferpopulation ist also d.h. nach ca. Jahren ist die Käferpopulation ausgestorben.