B2 - Analysis

In einem Zoo wird ein Giraffenweibchen mit einer Körpergröße von $1,80$ Metern geboren. Die Wachstumsphase des Giraffenweibchens beginnt unmittelbar mit der Geburt und endet nach sechs Jahren. Die Funktion $g$ mit $g(t)=-2,5t^3+22,5t^2-60t+90$ beschreibt im Intervall $0\leq t\leq 6$ in sehr guter Näherung die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens (in $\,\text{cm}$ pro Jahr) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt):

1.1

Berechne $g(0)$ und $g(6).$

Erläutere die Bedeutung dieser beiden Werte im Sachzusammenhang und beschrifte die Achsen in der obigen Abbildung.

(6 BE)

1.2

Berechne zunächst ohne Beachtung des Sachkontexts die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g.$

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingungen ist ausreichend.

(5 BE)

1.3

Erläutere nun, warum die in Aufgabenteil 1.2 für $t$ berechneten Werte in Bezug auf die gesamte Wachstumsphase des Giraffenweibchens nicht diejenigen sind, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit am größten bzw. am kleinsten ist.

(2 BE)

1.4

Berechne den Wert des Terms $\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\int_{1}^{4}g(t)\;\mathrm dt.$

Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(6 BE)

1.5

Für $0\leq t\leq 6$ stellt die Funktion $G$ die Größe des Giraffenweibchens (in $\,\text{cm}$ ) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren nach der Geburt) dar.

Gib eine Funktionsgleichung von $G$ an und erläutere die Bedeutung des Wertes von $G$ zum Zeitpunkt $t=0.$

(3 BE)

1.6

Begründe mit Hilfe des Verlaufs des Graphens von $g,$ dass der Graph der Funktion $G$ im betrachteten Intervall monoton steigend ist, und erkläre, wie viele Wendepunkte der Graph von $G$ besitzt.

(3 BE)

In einem anderen Zoo wird zur selben Zeit wie das Weibchen in Aufgabe 1 ein Giraffenmännchen mit einer Körpergröße von $1,95$ Metern geboren. Das Weibchen wird $4,50$ Meter groß, das Männchen erreicht dagegen am Ende seiner sechsjährigen Wachstumsphase eine Größe von $6$ Metern.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens für $0\leq t\leq 6$ durch eine Funktion der Schar $f_a$ mit $f_a(t)= a\cdot g(t)$ beschrieben wird, wobei der Parameter $a$ eine positive reelle Zahl ist.

2.1

Erkläre den Einfluss des Parameters $a$ auf den Verlauf des Graphen von $f_a$ und beschreibe, was $a\gt 1$ in Bezug auf das Wachstum des Giraffenmännchens bedeutet.

(3 BE)

2.2

Untersuche den Einfluss des Parameters $a$ auf die jeweilige Lage des Wendepunktes der Graphen der Schar $f_a.$

(3 BE)

2.3

Erläutere die Ergebnisse der Berechnungen in Zeile $(1)$ und $(2)$ im Sachzusammenhang.

Zeige mit Hilfe des folgenden Kastens, dass $a=1,5$ gelten muss.

Gib an, um wie viel Prozent die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens größer ist als die des Weibchens.

$(1) \displaystyle\int_{0}^{6}a\cdot g(t)\;\mathrm dt=600-195=405$

$(2) \displaystyle\int_{0}^{6}g(t)\;\mathrm dt=450-180=270$

$(3)$ Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{6}a\cdot g(t)\;\mathrm dt=a\cdot \displaystyle\int_{0}^{6}g(t)\;\mathrm dt$

(5 BE)

Der Größenunterschied zwischen Männchen und Weibchen wird für $0\leq t\leq 6$ durch die Funktion $D$ mit $D(t)=-0,3125t^4+3,75t^3$ $-15t^2+45t+15$ beschrieben. Der Graph von $D$ ist in der folgenden Abbildung abgebildet:

Die Fläche unter dem Graphen von $D$ soll wie in der Abbildung dargestellt in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck gleicher Breite umgewandelt werden.

Es gilt daher $\displaystyle\int_{0}^{6}D(t)\;\mathrm dt=m\cdot 6,$ wobei $m$ die Höhe des Rechtecks angibt.

Bestimme den Wert von $m$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

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1.1

Werte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& -2,5 \cdot 0 + 22,5 \cdot 0 - 60 \cdot 0 +90& \\[5pt] &=& 90& \\[5pt] \end{array}$

$g(6)=0$

Rechenweg anzeigen

Sachzusammenhang erläutern

$g(0)$ : Während ihres Geburtsjahres wächst die Giraffe um $90\,\text{cm}$ .

$g(6)$ : Im Alter von sechs Jahren wächst die Giraffe nicht mehr.

Achsen beschriften

1.2

1. Schritt: Ableitung bestimmen

$\( g$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Mit der pq-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1;2}&=& - \dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2} \right)^2 - 8}& \\[5pt] t_{1;2}&=& 3\pm\sqrt{1}& \\[5pt] t_1&=& 2& \\[5pt] t_2&=& 4 \end{array}$

Laut Aufgabenstellung ist die Untersuchung der notwendigen Bedingung ausreichend und die hinreichende Bedingung muss somit nicht mehr geprüft werden.

3. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$g(2)=40$

Rechenweg anzeigen

$g(4)=50$

Rechenweg anzeigen

Somit sind die Koordinaten der Extrempunkte von $g$ gegeben durch $P_1 (2 \mid 40)$ und $P_2 (4 \mid 50).$

1.3

Da die Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenweibchens nur im Intervall $[0 ; 6]$ abgebildet wird, können sich maximale bzw. minimale Werte auch auf den Rändern $0$ und $6$ des Intervalls befinden.

Dabei müssen diese keine Extremstelle sein.

In diesem Fall gilt:

$g(0) \gt g(4) \quad$ und $\quad g(6) \lt g(2)$

Damit sind die Extrempunkte von $g(t)$ nicht die Punkte, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit der Giraffe am kleinsten bzw. am größten ist.

1.4

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{1}^{4}g(t)\;\mathrm dt=44,375$

Der Term zeigt an, um wieviel $\text{cm}$ das Giraffenweibchen im Alter von ein bis vier Jahren durchschnittlich pro Jahr gewachsen ist.

1.5

Funktionsgleichung angeben

$G(t)=...$

Funktionsgleichung anzeigen

Eine Funktionsgleichung von $G$ ist somit beispielsweise $G(t)=-0,625t^4 + 7,5 t^3 - 30t^2 + 90t.$

Bedeutung erläutern

Der Wert von $G$ zum Zeitpunkt $t=0$ gibt die Größe der Giraffe bei ihrer Geburt an. Laut Aufgabenstellung beträgt diese $1,8\,\text{m}.$

Für die Funktionsgleichung folgt also:

Rechnung anzeigen

$c=180$

Damit ergibt sich:

$G(t)=...$

Funktionsgleichung anzeigen

1.6

Anhand des Graphen von $g$ wird ersichtlich, dass $g$ im Intervall $[0;6]$ nie negativ ist. Damit ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Giraffe nie negativ, womit der Graph von $G$ monoton steigend ist.

Die Wendestellen von $G$ entsprechen den Extremstellen von $g$ . Somit hat der Graph von $G$ zwei Wendepunkte im Intervall $[0;6]$ .

2.1

Da $a$ als Faktor vor $g(t)$ steht, handelt es sich bei der Funktionenschar $f_{a}(t)$ um eine Streckung bzw. Stauchung von $g(t)$ entlang der $y$ -Achse. Wählt man dabei $a>1$ dann wird $g(t)$ entlang der $y$ -Achse gestreckt.

Im Sachzusammenhang bedeutet also $a>1$ eine höhere Wachstumsgeschwindigkeit des Giraffenmännchens im Vergleich zu der des Weibchens.

2.2

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a}$

Aus der Aufgabenstellung geht bereits hervor, dass ein Wendepunkt existiert. Die hinreichende Bedingung für Wendestellen muss somit nicht mehr geprüft werden.

3. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$f_a(3)=a\cdot 45$

Rechenweg anzeigen

Die Koordinaten des Wendepunktes sind somit gegeben durch $W_{a}(3 \mid a \cdot 45)$ .

Folglich hat der Parameter $a$ Einfluss auf die $y$ -Koordinate des Wendepunktes, jedoch nicht auf die $x$ -Koordinate.

2.3

Ergebnisse erläutern

$(1):$ Anzahl an $\text{cm}$ , die ein Giraffenmännchen nach Geburt noch wächst.

$(2):$ Anzahl an $\text{cm}$ , die ein Giraffenweibchen nach Geburt noch wächst.

Wachstumsgeschwindigkeiten vergleichen

Nach $(3)$ gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{6}a\cdot g(t)\;\mathrm dt=a\cdot \displaystyle\int_{0}^{6} g(t)\;\mathrm dt$

Ergebnis anzeigen

Somit gilt $a = 1,5$ .

Daraus folgt, dass die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens um $50\,\%$ größer ist als die des Weibchens.

Wert von $m$ bestimmen

Es gilt:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{6}D(t)\;\mathrm dt= m\cdot 6$

Ergebnis deuten

Im Sachzusammenhang bedeutet das Ergebnis $m=91,5$ , dass bis zum Alter von sechs Jahren das Giraffenmännchen durchschnittlich $91,5 \,\text{cm}$ größer ist als das Giraffenweibchen.

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