A2 - Analysis

Während einer schulischen Projektwoche werden Modelle von Heißluftballons aus dünnem Papier gefertigt. Um das Flugverhalten der Heißluftballons zu untersuchen, werden die Ballons mit heißer Luft gefüllt und dann losgelassen (Abbildung 1).

Abbildung 1

Eine Ballonhülle (Abbildung 2) besteht aus sechs zueinander kongruenten, miteinander verklebten Teilen. Ein Ballonhüllenteil ist in Abbildung 3 abgebildet. Es ist achsensymmetrisch zur $x$ -Achse und $1,35\,\text{m}$ lang. Seine obere Randkurve wird für $0\leq x \leq 0,6$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = 0,6x^3 - 1,5x^2+ 0,98x$ beschrieben (alle Angaben in $\text{m}$ ). Der weitere Verlauf des Graphen von $f$ ist für $x \geq 0,6$ gestrichelt dargestellt.
Für $0,6 \leq x \leq 1,35$ wird die obere Randkurve durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $A(0,6\mid f(0,6))$ beschrieben.

Abbildung 2

Abbildung 3

1.1

Berechne die maximale Breite eines Ballonhüllenteils.
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(6 BE)

1.2

Berechne die Funktionsgleichung der Tangente $t.$

(5 BE)

Verwende im Folgenden für die Tangente $t$ die Funktionsgleichung $t(x)= -0,17x+0,28.$

1.3

Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Ballonhüllenteils.
[Zur Kontrolle: $A = 0,347055\,\text{m}^2$ ]

(8 BE)

1.4

Die gesamte Ballonhülle soll insgesamt höchstens $50\,\text{g}$ wiegen. Zum Verkleben der sechs Ballonhüllenteile werden für die gesamte Ballonhülle insgesamt $10\,\text{g}$ Klebstoff benötigt.
Berechne, wie viel Gramm pro $\text{m}^2$ das Papier höchstens wiegen darf.

(5 BE)

Es werden drei verschiedene Ballonfahrten durchgeführt. Der Ballon wird jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$ in einem Meter Höhe über dem ebenen Boden losgelassen. Die Funktionen $h_1,$ $h_2$ und $h_3$ geben jeweils an, in welcher Höhe (in $\text{m}$ ) über dem Boden sich der Ballon zur Zeit $t$ (in Sekunden nach Beginn der Messung) befindet. Mithilfe einer Filmaufnahme wird untersucht, mit welcher Geschwindigkeit $v$ $\left(\,\text{in} \frac{\text{m}}{\text{s}}\right)$ der Ballon zunächst aufsteigt und anschließend wieder absinkt. Zur Modellierung werden die drei Funktionen $v_1,$ $v_2$ und $v_3$ verwendet. Die Funktionen $v_1,$ $v_2$ und $v_3$ sind die jeweiligen ersten Ableitungen der Funktionen $h_1,$ $h_2$ und $h_3.$

2.1

In Abbildung 4 ist der Graph von $v_1$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für $0 \leq t \leq 10$ dargestellt.

Erläutere anhand der Eigenschaften des Graphen von $v_1$ den Verlauf des zugehörigen Graphen von $h_1.$

Gehe dabei auf das Monotonieverhalten und mögliche Extremwerte des Graphen von $h_1$ innerhalb des betrachteten Intervalls ein.

Abbildung 4

(7 BE)

2.2

In Abbildung 5 ist der Graph der Funktion $v_2$ mit

$v_2(t)= - 0,041t^3 + 0,684t^2- 3,8t + 6,68$

für $0 \leq t \leq 10$ dargestellt.

Bestimme die Höhe des Ballons über dem Boden zum Zeitpunkt $t = 6.$

Abbildung 5

(4 BE)

2.3

Für die dritte Ballonfahrt gelten die folgenden Bedingungen:

(1)

$h_3(0)=1$

(2)

$\displaystyle\int_{0}^{10}v_3(t)\;\mathrm dt = -1$

Beschreibe jeweils die Bedeutung der Bedingungen (1) und (2) im Sachzusammenhang.
Erläutere, was sich aus den Bedingungen (1) und (2) für die Höhe des Ballons zum Zeitpunkt $t = 10$ folgern lässt.

(5 BE)

1.1

1. Schritt: Ableitung bilden

Rechenweg anzeigen

$\( f$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 1,24 \\[10pt] x_2&\approx& 0,44 \\[5pt] \end{array}$

Die einzige Lösung im betrachteten Bereich ist $x\approx 0,44.$ Da laut Aufgabenstellung die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums nicht notwendig ist, befindet sich die breiteste Stelle des Ballonhüllenteils im Modell somit an der Stelle $x\approx 0,44.$

3. Schritt: Maximale Breite berechnen

$b= 2\cdot f(0,44)$ $= 2\cdot \big(0,6\cdot 0,44^3 - 1,5\cdot 0,44^2$ $+0,98\cdot 0,44\big)$ $\approx 0,38 \;\text{[m]}$

1.2

Für eine Tangente gilt allgemein $t(x)=mx+b.$

Die Steigung der Tangente $t$ entspricht der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $A(0,6\mid f(0,6)):$

$\(m = f$ $+0,98$ $=-0,172$ $\approx -0,17$

Für die $y$ -Koordinate von $A$ gilt:

$f(0,6)$ $=0,6\cdot 0,6^3-1,5\cdot 0,6^2+0,98\cdot 0,6$ $= 0,1776$ $\approx 0,18$

Einsetzen der Koordinaten von $A$ in $t$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$b \approx 0,28$

Die Funktionsgleichung der Tangente lautet somit:

$t(x) = -0,17x + 0,28$

1.3

Hilfsskizze

1. Schritt: Flächeninhalt der ersten Teilfläche berechnen

Rechenweg anzeigen

$A_1= 0,17568 \;\text{[m}^2]$

2. Schritt: Flächeninhalt der zweiten Teilfläche berechnen

Bei der zweiten Teilfläche handelt es sich um ein zur $x$ -Achse symmetrisches Trapez. Für die Höhe des Trapezes gilt $h = 1,35-0,6 = 0,75 \;\text{[m]}.$ Die Längen der beiden parallelen Seiten ergeben sich zu:

$a= 2\cdot t(0,6)$ $= 2\cdot \left( -0,17\cdot 0,6 +0,28\right)$ $= 0,356 \;\text{[m]}$

$c = 2\cdot t(1,35)$ $= 2\cdot \left( -0,17\cdot 1,35 +0,28\right)$ $= 0,101 \;\text{[m]}$

Es folgt für den Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$A_2= 0,171375 \;\text{[m}^2]$

3. Schritt: Gesamtflächeninhalt berechnen

$A= A_1 + A_2$ $= 0,17568 + 0,171375$ $= 0,347055 \;\text{[m}^2]$

1.4

Maximales Gewicht des Papiers berechnen

Der Gesamtflächeninhalt der Ballonhülle ergibt sich zu:

$6\cdot A = 6\cdot 0,347055$ $= 2,08233$

Da $10\,\text{g}$ des Gewichts für den Klebstoff benötigt werden, darf das Papier insgesamt höchstens $40\,\text{g}$ wiegen.

$\dfrac{40\,\text{g}}{2,08233\,\text{m}^2}$ $\approx 19,21 \,\dfrac{\text{g}}{\text{m}^2}$

Das Papier darf maximal $19,21 \,\dfrac{\text{g}}{\text{m}^2}$ wiegen.

2.1

Der Graph von $v_1$ verläuft für $0\leq x \lt 5,7$ oberhalb der $x$ -Achse. Somit ist $h_1$ für $0\leq x \lt 5,7$ streng monoton steigend. Anschließend verläuft der Graph von $v_1$ für $5,7\lt x \leq 10$ unterhalb der $x$ -Achse. In diesem Bereich fällt der Graph von $h_1$ also streng monoton.

An der Stelle $x=5,7$ besitzt $v_1$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ, das heißt der Graph von $h_1$ hat dort einen Hochpunkt. Da der Graph von $v_1$ in dem Intervall $[0;5,7]$ mit den Koordinatenachsen eine Fläche von ungefähr $9\,\text{m}^2$ einschließt, steigt der Graph von $h_1$ bis zum Hochpunkt also um ca. $9$ Einheiten, das heißt der Ballon steigt um $9\,\text{m}.$ Da der Ballon in einer Höhe von $1\,\text{m}$ startet, gilt $h_1(0)=1$ und somit folgt $h_1(5,7)\approx 10$ als Extremwert.

2.2

Die Höhe, die der Ballon zum Zeitpunkt $t$ hat, wird durch die Stammfunktion $h_2$ von $v_2$ beschrieben, für die $h_2(0)=1$ gilt.
Mit den Integrationsregeln folgt für eine Stammfunktion von $v_2:$

$h_2(t)$ $= -0,01025t^4 + 0,228t^3$ $-1,9t^2 + 6,68t + c$

Mit Hilfe der Anfangsbedingung von $h_2(0)$ folgt für $c:$

Rechenweg anzeigen

$c=1$

Einsetzen von $t=6$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$h_2(6)=8,64$

Zum Zeitpunkt $t=6$ befindet sich der Ballon ungefähr $8,64\;\text{m}$ über dem Boden.

2.3

(1)

Die Funktion $h_3(t)$ beschreibt die Höhe des Ballons über dem Boden zum Zeitpunkt $t.$ $h_3(0)=1$ bedeutet also, dass der Ballon zum Startzeitpunkt eine Höhe von $1\,\text{m}$ besitzt.

(2)

$v_3$ beschreibt die Geschwindigkeit, mit der der Ballon steigt bzw. sinkt. Die Bedingung $\displaystyle\int_{0}^{10}v_3(t)\;\mathrm dt = -1$ bedeutet also, dass der Ballon in den ersten zehn Sekunden insgesamt um einen Meter an Höhe verliert. Er befindet sich nach zehn Sekunden also einen Meter tiefer über dem Boden als beim Start.

Somit befindet der Ballon sich zum Zeitpunkt $t=10,$ also zehn Sekunden nach dem Start, in einer Höhe von $1-1 =0$ Metern über dem Boden, das heißt er kommt bei $t=10$ auf dem Boden auf.