B2 - Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3}x$ . Ihr Graph $G_{f}$ hat den Wendepunkt $(0 \mid 0).$

1.1

Begründe, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen.

(5 BE)

1.2

$G_f$ hat zwei Extrempunkte.

Zeige, dass einer der beiden ein Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ ist.

(4 BE)

1.3

Berechne eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6)).$

$\bigg[$ zur Kontrolle: $t:y=\dfrac{8}{3} x-16 \bigg]$

(3 BE)

1.4

Die Tangente $t$ hat mit $G_f$ neben $P$ nur den Punkt $Q(-12 \mid f(-12))$ gemeinsam.

Berechne den Inhalt der Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen.

(5 BE)

$G_f$ soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:

Spiegeln an der $x$ -Achse
Verschieben um 6 in positive $x$ -Richtung
Verschieben um 14 in positive $y$ -Richtung

1.5

Gib an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, wenn die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt werden.

Begründe deine Angabe.

(4 BE)

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in der Aufgabe 2 betrachteten Funktion $g.$

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-\dfrac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14.$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \leq x\lt12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in $^{\circ}C.$

Tagesdurchschnittstemperatur Verlauf Kalenderjahr Hessen Mathe Abi

2.1

Gib die Wendestelle von $g$ an.

Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur.

(2 BE)

2.2

Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung aus der Aufgabenstellung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$\(g$

$g\left(6+\sqrt{12}\right)-g\left(6-\sqrt{12}\right)\approx 6,2$

Gib eine passende Aufgabenstellung an und erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(4 BE)

Zur Beschreibung des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur könnte im Modell anstelle von $g$ auch die Funktion $h$ mit $h(x)=-3 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{6} x\right)+14$ und $0 \leq x \lt 12$ verwendet werden.

2.3.1

Zeige, dass die Funktion $H$ mit $H(x)=\dfrac{18}{\pi} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{6} x\right)+14 x$ eine Stammfunktion der Funktion $h$ ist.

(2 BE)

2.3.2

Bestimme $\dfrac{1}{6} \cdot \displaystyle\int_{0}^{6}h(x)\;\mathrm dx$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

2.4

Gib die Tagesdurchschnittstemperaturen an, die im Modell unter Verwendung der Funktion $h$ angenommen werden.

Gib für jede dieser Temperaturen an, wie oft sie angenommen wird.

(4 BE)

2.5

Beurteile die folgende Aussage:

Im Modell ist unter Verwendung von $h$ der Zeitraum steigender Tagesdurchschnittstemperatur etwa einen Monat kürzer als unter Verwendung von $g.$

(4 BE)

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1.1

Symmetrie begründen

$G_f$ ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes $(0 \mid 0),$ da der Funktionsterm von $f$ ganzrational ist und ausschließlich Potenzen von $x$ mit ungeradzahligen Exponenten enthält.

Koordinaten bestimmen

Für die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0& \\[5pt] \dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{4}{3}x&=& 0& \\[5pt] x\cdot \left(\dfrac{1}{27}x^2-\dfrac{4}{3}\right)&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $x=0$ oder $\dfrac{1}{27}x^2-\dfrac{4}{3}=0$ erfüllt sein muss. Also gilt bereits $x_1=0.$ Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{27}x^2-\dfrac{4}{3}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{4}{3} \\[5pt] \dfrac{1}{27}x^2&=& \dfrac{4}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 27 \\[5pt] x^2&=& 36 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=& \pm 6 \end{array}$

Somit besitzen die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse die Koordinaten $S_1(-6\mid 0), S_2(0\mid 0)$ und $S_3(6\mid 0).$

$S_2$ entspricht hierbei gleichzeitig auch dem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

1.2

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{9} x^2-\dfrac{4}{3}$

$f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{2}{9} x$

2. Schritt: Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Tiefpunkt überprüfen

Mit $f^{\prime}(\sqrt{12})=\dfrac{1}{9} \sqrt{12}^2-\dfrac{4}{3}=0$ ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle erfüllt.

Mit $f^{\prime \prime}(\sqrt{12})=\dfrac{2}{9} \sqrt{12}$ $\gt 0$ ist die hinreichende Bedingung erfüllt und bestätigt, dass ein Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{12}$ existiert.

1.3

1. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate bestimmen

Aus Aufgabenteil 1.1 folgt, dass $P$ eine Schnittstelle des Graphen $G_f$ mit der $x$ -Achse ist. Für die $y$ -Koordinate von $P$ folgt also $P(6 \mid 0).$

2. Schritt: Steigung ermitteln

Die Steigung der Tangente im Punkt $P$ entspricht der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P.$ Es gilt also:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

3. Schritt: $y$ -Achsenabschnitt bestimmen

Einsetzen der Koordinaten von $P$ und der Steigung $m$ in die allgemeine Tangentengleichung $t: y=m\cdot x+c$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad 0&=& \dfrac{8}{3}\cdot 6+c& \\[5pt] 0&=& 16+c&\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] -16&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $P$ ist somit gegeben durch:

$t: y=\dfrac{8}{3}\cdot x-16$

1.4

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-12}^{6}\left(f(x)-t\right)\;\mathrm dx = 324 \; [\text{FE}]$

1.5

Das Ergebnis der Veränderung ist unabhängig von der Position der Verschiebung in $x$ -Richtung. Wesentlich ist nur die Reihenfolge der beiden anderen Schritte. Abhängig davon geht beispielsweise der Wendepunkt $(0 \mid 0)$ durch die drei Schritte entweder in $(6 \mid 14)$ oder $(6 \mid -14)$ über. Folglich entstehen zwei verschiedene neue Graphen.

2.1

Wendestelle angeben

Da der Graph von $g$ durch eine Verschiebung um 6 in positive $x$ -Richtung und 14 in positive $y$ -Richtung aus dem Graphen von $f$ mit dem Wendepunkt $(0 \mid 0)$ hervorgeht, folgen die Koordinaten des Wendepunkts von $g$ mit $(6 \mid 14).$

Bedeutung beschreiben

Die Wendestelle gibt an, wann die Tagesdurchschnittstemperatur im Modell am stärksten zunimmt.

2.2

Aufgabenstellung angeben

Ermittle die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.

Lösungsweg erläutern

In der ersten Zeile werden die möglichen Extremstellen von $g$ bestimmt. Anhand von Abbildung 1 wird ersichtlich, dass diese Stellen tatsächlich absolute Extremstellen im Modellierungsbereich sind.
In der zweiten Zeile wird die Differenz zwischen den zugehörigen Funktionswerten berechnet.

2.3.1

Die Funktion $H$ ist genau dann eine Stammfunktion von $h$ , wenn gilt: $\(H$

Ableiten von $H$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} H$

Somit ist die Funktion $H$ eine Stammfunktion der Funktion $h.$

2.3.2

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{6}\cdot \displaystyle\int_{0}^{6}h(x)\;\mathrm dx= -\dfrac{6}{\pi}+14 \approx 12,1$

In den ersten sechs Monaten nach Beobachtungsbeginn beträgt die Tagesdurchschnittstemperatur durchschnittlich ca. $12,1^\circ C.$

2.4

Aufgrund des periodischen Verlaufs der Sinusfunktion werden nur Tagesdurchschnittstemperaturen zwischen den Maxima und Minima von $h$ angenommen.

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(h$

Rechenweg anzeigen

Lösungen dieser Gleichung für $0\leq x \lt 12$ sind $x_1=3$ und $x_2=9.$

Durch die Eigenschaften der Sinusfunktion kann auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

2. Schritt: Temperaturen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h(3)&=& -3 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \cdot 3\right)+14& \\[5pt] &=& 11 \left[^{\circ}C\right] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h(9)&=& -3 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \cdot 9\right)+14& \\[5pt] &=& 17 \left[^{\circ}C\right] \end{array}$

Somit werden Tagesdurchschnittstemperaturen zwischen $11^{\circ}C$ und $17^{\circ}C$ angenommen

3. Schritt: Häufigkeit angeben

Aufgrund des periodischen Verlaufs der Sinusfunktion folgt, dass die maximale und minimale Tagesdurchschnittstemperatur in den ersten 12 Monaten nach Beobachtungsbeginn jeweils nur einmal angenommen werden.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& -3 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \cdot 0\right)+14& \\[5pt] &=& 14 \left[^{\circ}C\right] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h(12)&=& -3 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \cdot 12\right)+14& \\[5pt] &=& 14 \left[^{\circ}C\right] \end{array}$

Da die Tagesdurchschnittstemperatur im Intervall $0 \leq x \lt 12$ bei $14^{\circ}C$ startet und bei $14^{\circ}C$ wieder endet, wird genau eine Periode der Sinusfunktion durchlaufen.

Somit werden alle Tagesdurchschnittstemperaturen zwischen $11^{\circ}C$ und $17^{\circ}C$ im angegebenen Zeitraum genau zwei mal angenommen.

2.5

Der Zeitraum steigender Tagesdurchschnittstemperaturen entspricht der Differenz der $x$ -Koordinaten des Maximums und Minimums.

Für die Funktion $g$ gilt nach Aufgabenteil 2.2: