B2 - Analysis

Gegeben sind die Funktion $f$ mit $f(t)=0,25\cdot t^4-2\cdot t^3+4\cdot t^2$ und ihr Graph.

1.1

Berechne die Nullstellen von $f$ .
Bestimme die lokalen Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen von $f.$

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist jeweils ausreichend.
Gib die Skalierung der Achsen des Koordinatensystems an.

(8 BE)

1.2

Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$ der Funktion $f$ in das Koordinatensystem. Begründe anhand von drei Eigenschaften den Verlauf des Graphen von $\(f$ mithilfe des Verlaufs des Graphen von $f.$

(6 BE)

1.3

Die Funktion $f$ gehört zur Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t)=\dfrac{1}{a}\cdot(t^4-8\cdot t^3+16\cdot t^2)$ , $a >0.$

1.3.1

Gib den Wert des Parameters $a$ an, der zu $f$ gehört.

(1 BE)

1.3.2

Zeige, dass alle Scharfunktionen $f_a$ dieselben Nullstellen besitzen.

(3 BE)

1.3.3

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Graphen der Scharfunktionen $f_{0,5}, f_1$ und $f_2$ .
Ordne die Funktionen den jeweiligen Graphen zu und begründe deine Zuordnung.

(3 BE)

Bei einem Sportler wird vor einem Wettkampf ein Lungenfunktionstest durchgeführt, bei dem sowohl das Luftvolumen in der Lunge als auch die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge, die sogenannte Atemgeschwindigkeit, in Abhängigkeit von der Zeit gemessen wird. Der Sportler atmet nach Anweisung des Arztes durch ein Mundstück ein und aus. Im Folgenden soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass sich zu Beginn der Messung keine Luft in der Lunge befindet.

Die Funktion $f$ mit $f(t)=0,25\cdot t^4-2\cdot t^3+4\cdot t^2$ aus Aufgabe 1 beschreibt in den ersten vier Sekunden nach Beginn der Messung modellhaft den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge einer Sportlerin während eines Lungenfunktionstests. Dabei wird $t \in[0;4]$ in Sekunden nach Beginn der Messung und $f(t)$ in Liter angegeben.

2.1

Beschreibe im Sachzusammenhang die Entwicklung des Luftvolumens in der Lunge der Sportlerin während des Lungenfunktionstests.

(4 BE)

2.2

Berechne $f(1,5)$ und $\(f$ . Deute die beiden Werte im Sachzusammenhang.

(4 BE)

2.3

Bestimme unter Angabe einer Stammfunktion den Wert des Terms $\dfrac{1}{4}\cdot \displaystyle\int_{0}^{4}f(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(5 BE)

Die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge (Atemgeschwindigkeit) eines Spitzensportlers wird in den ersten fünf Sekunden eines Lungenfunktionstests durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 4,4\cdot \text{sin}\left(\dfrac{2}{5}\cdot\pi \cdot t \right)$ modelliert. Dabei wird $t\in[0;5]$ in Sekunden nach Beginn der Messung und $g(t)$ in Liter pro Sekunde angegeben. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g$ .

Hessen GK Abi 2020 Koordinatensystem Funktion Graph

3.1

Es gilt $\displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt=0.$

Deute dies im Sachzusammenhang.

(2 BE)

3.2

Bestätige, dass $G$ mit $G(t)=\dfrac{11}{\pi}\cdot\left(1-\text{cos}\left(\dfrac{2}{5}\cdot\pi\cdot t\right)\right)$ diejenige Stammfunktion von $g$ ist, für die gilt: $G(0)=0$

Bestimme $G(2,5)$ und deute den Wert im Sachzusammenhang.

(4 BE)

1.1

Nullstellen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f(t)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,25t^4 -2t^3 +4t^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& t^2(0,25 t^2-2t +4)&\quad \scriptsize \mid\; :t \mid\; t_{1,2}=0 \\[5pt] &=&0,25 t^2-2t +4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit der pq-Forel ergibt sich $t_{3,4}= \dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{8}{2}\right)^2 -16}.$

Die Nullstellen ergeben sich also zu: $t_{1,2}=0$ und $t_{3,4}= \dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{8}{2}\right)^2 -16}.$

Extremstelle und Wendestelle bestimmen

Die erste und die zweite Ableitung der Funktion ergeben sich zu:

$\(f$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen: $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} 0&=& f$

Mit der pq-formel ergeben sich $t=0$ , $t=2$ und $t=4.$ Mit $f(2)=4$ ergeben sich die Koordinaten der Extremstellen zu $T_1(0 \mid 0)$ , $H(2 \mid 4)$ und $T_2(4 \mid 0).$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendestellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} 0&=&f$

Mit der pq-Formel ergibt sich $t \approx 0,85$ und $t\approx 3,15.$
Mit $f(0,85)\approx 1,8$ und $f(3,15)\approx 1,8$ ergeben sich die Koordinaten der Wendestellen zu $W_1(0,85 \mid 1,79)$ und $W_2(3,15 \mid 1,79).$

Skalierung der Achsen

Ein Kästchen in der Abbildung entspricht $0,5\,\text{LE}$ in $t$ - und $y$ -Richtung.

1.2

Eigenschaften, die den Verlauf begründen (es genügt 3 zu nennen):

Der Graph von $f$ hat bei $t_1=0$ , $t_2=2$ und $t_3=4$ Extremstellen, desahlb schneidet der Graph von $\(f$ dort die t-Achse
Der Graph von $f$ hat bei $t_1\approx 0,85$ und $t_2\approx 3,15$ Wendepunkte, weshalb der Graph von $\(f$ dort Extremstellen hat.
Der Graph von $f$ hat bei $t_1=0$ einen Tiefpunkt, deshalb schneidet der Graph von $\(f$ dort auch die t-Achse.
Der Graph von $f$ ist im Intervall [- $\infty$ ; 0] streng monoton fallend, wesahlb der Graph von $\(f$ in diesem Intervall im negativen Bereich verläuft.

1.3.1

Rechenweg anzeigen

$a=4$

1.3.2

$f_a (t)= 0$

$\dfrac{1}{a} \cdot (t^4 -8t^3 +16t^2 )=0$

$(t^4 -8t^3 +16t^2 )=0$

Die letzte Gleichung ist unabhängig von $a$ , deshalb schneidet die Funktionsschar an denselben Nullstellen der Funktion die $t$ -Achse und deshalb besitzen alle Scharfunktionen dieselben Nullstellen.

1.3.3

Da die Funktionsschar $f_a (t)=\dfrac{1}{a} \cdot (t^4 -8t^3 +16t^2 )$ den Quotienten $\dfrac{1}{a}$ hat, sind die Funktionswerte kleiner, je größer $a$ wird.
Aus diesem Grund verläuft der Graph von $f_2$ unterhalb von $f_1$ und der Graph von $f_{0,5}$ oberhalb von $f_1$ .

2.1

Anhand der Funktionsgleichung kann festgestellt werden, dass der Graph bis zum Zeitpunkt $t=2$ Sekunden monoton steigt, danach fällt er monoton.

Im Sachzusammenhang der Entwicklung des Luftvolumens bedeutet dies, dass das Luftvolumen innerhalb des Intervalls $[0;2]$ kontinuierlich zunimmt, zum Zeitpunkt $t=2$ Sekunden maximal ist und innerhalb des Intervalls $[2;4]$ kontinuierlich abnimmt.

2.2

$f(t)= 0,25t^4 -2t^3 +4t^2$ stellt das Luftvolumen in der Lunge dar.

$\(f$ (aus 1.1) stellt die Atemgeschwindigkeit dar.

$f(1,5)= 0,25 \cdot 1,5^4 -2 \cdot1,5^3 +4\cdot1,5^2 \approx 3,52$

Nach $t=1,5$ Sekunden befinden sich ca. $3,52$ Liter Luft in der Lunge der Sportlerin.

$\(f$

Die Atemgeschwindigkeit der Sportlerin beträgt zum Zeitpunkt $t=1,5$ Sekunden $1,875$ Liter pro Sekunde.

2.3

$\dfrac {1}{4}\cdot \displaystyle\int_{0}^{4}0,25t^4 -2t^3 +4t^2\;\mathrm dt$

$\approx 2,13$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das durchschnittliche Luftvolumen innerhalb der ersten $4$ Sekunden $2,13$ Liter beträgt.
Innerhalb einer Atemperiode befinden sich im Schnitt $2,13$ Liter Luft in der Lunge.

3.1

Im Intervall $[0;2,5]$ ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse positiv und beträgt gleich viel wie der negative Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der $x$ -Achse im Intervall $[2,5;5].$

Bezogen auf den Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Volumen der eingeatmeten Luft innerhalb der ersten 5 Sekunden genauso groß ist, wie das Volumen der ausgeatmeten Luft.

3.2

Es gilt:

$\(G$ $= 4,4 \cdot \sin(\dfrac{2}{5} \cdot \pi \cdot t) = g(t)$

Einsetzen von $t=0$ in $G(t)$ :

$G(0)= \dfrac{11}{\pi} \cdot (1-\cos(\dfrac{2}{5} \cdot \pi \cdot 0))=0$
Deshalb gilt $G(0)=0$ .

$G(2,5)= \dfrac{11}{\pi} \cdot (1-\cos(\dfrac{2}{5} \cdot \pi \cdot 2,5))\approx 7,0$

Der Sportler atmetet in den ersten $2,5$ Sekunden ca. $7$ Liter Luft ein.