A2 - Analysis

Ein Goldschmied möchte eine neue Schmuckform in seine Kollektion aufnehmen. Ein Entwurf zeigt die Designvorlage für eine Brosche.

Die Trennlinie, die den Kreis in zwei gleich große Teile teilt, kann durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden (Angaben in Zentimetern).

Abbildung 1

Hinweis: Die Angabe des Tiefpunktes (TP) dient nur zur Orientierung.

Berechne die Funktion $f$ dritten Grades mit Hilfe von Abbildung 1. Erläutere deinen Ansatz.

$\bigg[$ zur Kontrolle: $f(x)=\dfrac{2}{9}x^{3}-\dfrac{8}{9}x \bigg]$

(9 BE)

Der grau markierte Bereich in Abbildung 1 soll mit einer Schichtdicke von $0,001\;\text{cm}$ vergoldet werden. $1\;\text{cm}^3$ der verwendeten Legierung hat eine Masse von $12\;\text{g}.$

Berechne die für eine Brosche benötigte Masse der Legierung.

(10 BE)

Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der durch $f$ gegebenen Linie eine zweite Linie angebracht, die durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot f(x),\;a\geq1$ beschrieben werden kann (Abbildung 2).

Abbildung 2

3.1

Beschreibe, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. Nimm dabei auch Bezug auf die Lage der Nullstellen und Extrempunkte.

(5 BE)

3.2

Bestimme den Faktor $a$ so, dass der grau markierten Flächeninhalt $1,6\;\text{cm}^2$ beträgt.

(9 BE)

3.3

$k$ ist die Kreisfunktion, die den oberen halbkreisförmigen Rand der Brosche im Intervall $[-2;\;2]$ beschreibt.

Erläutere die Zeilen (1) bis (3) im folgenden Kasten und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Kasten anzeigen

(7 BE)

Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades:

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$

Da die Funktion durch den Ursprung verlaufen soll, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0 & \\[5pt] a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d&=& 0& \\[5pt] d&=& 0 \end{array}$

Aus dem Graphen von $f$ können die Koordinaten von weiteren drei Punkten abgelesen werden. Aus diesen ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Aus Zeile $\text{I}$ folgt $b=0.$

Einsetzen in Zeile $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8a+4\cdot 0+2c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt] 2c&=& -8a&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] c&=& -4a \end{array}$

Für Zeile $\text{III}$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} a+b+c&=& -\dfrac{2}{3}& \\[5pt] a+0-4a&=& -\dfrac{2}{3} &\\[5pt] -3a&=& -\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] a&=& \dfrac{2}{9} \end{array}$

Der Wert von $c$ ergibt sich nun zu $b=-4\cdot \dfrac{2}{9}=-\dfrac{8}{9}.$

Die Funktion $f$ ist somit gegeben durch:

$f(x)=\dfrac{2}{9}x^3-\dfrac{8}{9}x$

1. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die grau markierte Fläche wird durch die $x$ -Achse in zwei Teilflächen unterteilt:

Die Teilfläche oberhalb der $x$ -Achse entspricht einem Viertel des Kreises. Aus der Abbildung in der Aufgabenstellung kann ein Radius von $2 \,\text{cm}$ entnommen werden.

Mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A_K$ eines Kreises folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{1}{4}\cdot A_K & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2^2 & \\[5pt] &\approx& 3,14 \; [\text{cm}^2] \end{array}$

Die Teilfläche unterhalb der $x$ -Achse entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;2].$

Zur Berechnung des Integrals muss eine Stammfunktion von $f$ bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&\dfrac{2}{4\cdot 9}\cdot x^4 - \dfrac{8}{2\cdot 9}\cdot x^2 & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{18}x^4-\dfrac{4}{9}x^2 \end{array}$

Da die Fläche unterhalb der $x$ -Achse liegt und das Integral folglich negativ ist, muss der Betrag des Integrals bestimmt werden:

$A_2=0,89 \;[\text{cm}^2]$

Rechenweg anzeigen

Der gesamte Flächeninhalt folgt also mit:

$\begin{array}{rcl} A&=& A_1+A_2 \\ &=&3,14\,\text{cm}^2+0,89\,\text{cm}^2 \\ &=&4,03\,\text{cm}^2 \\ \end{array}$

2. Schritt: Volumen bestimmen

Da die Schichtdicke der Legierung $0,001\,\text{cm}$ beträgt, ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} V&=& A\cdot h \\ &=& 4,03\,\text{cm}^2\cdot 0,001\,\text{cm} \\ &=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \\ \end{array}$

3. Schritt: Masse berechnen

Da $1\,\text{cm}^3$ eine Masse von $12\,\text{g}$ hat, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \cdot 12\dfrac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}& \\[5pt] &=& 0,04836 \,\text{g} \end{array}$

Für die Brosche wird somit eine Legierung von $0,04836 \,\text{g}$ benötigt.

3.1

Der Term der Funktion $g$ unterscheidet sich nur durch den zusätzlichen Faktor $a$ vom Term der Funktion $f.$ Mit $a \geq 1$ bewirkt dieser eine Streckung des Graphen von $f$ in $y$ -Richtung.

Da der Funktionsgraph nicht verschoben, sondern nur gestreckt wird, bleiben die Nullstellen gleich. Auch die $x$ -Koordinate der Extrempunkte verändert sich nicht. Lediglich die $y$ -Koordinate verschiebt sich in positive bzw. negative $y$ -Richtung.

3.2

Da die beiden Funktionen $f$ und $g$ punktsymmetrisch sind, reicht es aus, die Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall $[-2;0]$ zu betrachten. Die Fläche in diesem Intervall soll folglich $\dfrac{1}{2}\cdot 1,6\,\text{cm}^2=0,8 \,\text{cm}^2$ betragen.

Stammfunktion $G$ von $g$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& a\cdot F(x)&\\[5pt] &=& a\cdot \left(\dfrac{1}{18}\cdot x^4-\dfrac{4}{9}\cdot x^2\right) \end{array}$

Für den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $g$ und $f$ im Intervall $[-2;0]$ folgt somit:

$A= a\cdot\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{18}$

Rechenweg anzeigen

Für diese Fläche soll nun gelten:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 0,8 & \\[5pt] a\cdot\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{18}&=& 0,8&\ \\[5pt] \dfrac{16}{18}\cdot (a-1)&=& 0,8&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; :\dfrac{16}{18} \\[5pt] a-1 &=& 0,9 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; +1 \\[5pt] a&=& 1,9 \end{array}$

Der Faktor $a$ muss folglich den Wert 1,9 betragen, sodass der grau markierte Flächeninhalt $1,6 \,\text{cm}^2$ beträgt.

3.3

In Zeile $(1)$ werden die Funktionsterme der Funktionen $g$ und $k$ gleichgesetzt. Somit werden die Schnittstellen des oberen halbkreisförmigen Rands der Brosche mit dem Graphen der Linie, die durch die Funktion $g$ beschrieben wird, bestimmt.

Zeile $(2)$ liefert die entsprechenden Lösungen für die Schnittstellen. Die Graphen schneiden sich in ihren gemeinsamen Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=2.$

Weitere zwei Schnittstellen sind die beiden von $a$ abhängigen Stellen $x_3$ und $x_4.$ Da die Gleichungen für diese $x$ -Koordinaten nur gelöst werden können, wenn die Terme unter den Wurzeln größer oder gleich Null sind, hängt es vom Wert von $a$ ab, ob sich die beiden Graphen zwei- oder viermal schneiden.

In Zeile $(3)$ werden diese Fälle untersucht: Für $a\geq 2,25$ sind alle Wurzeln des Terms positiv und die beiden Graphen besitzen somit vier gemeinsame Schnittpunkte. Für $a \lt 2,25$ schneiden sich die beiden Graphen folglich nur in ihren gemeinsamen Nullstellen.