C1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie

Der „PeaQ-Tanztempel" in Mainz-Hechtsheim ist eine Lokalität, die man für Veranstaltungen mieten kann. Das zweite Bild zeigt einen Planungsentwurf für ein ähnliches Gebäude, das aus einer quadratischen Pyramide mit einer Grundseite der Länge $40\,\text{m}$ und einem parallel zur $x$ -Achse ausgerichteten Vorbau mit rechteckiger Grundfläche und symmetrischem Dach besteht. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte der Grundfläche der Pyramide. Es sind der Punkt $D(20\mid-20\mid0)$ der Grundfläche und die Spitze $S(0\mid0\mid30)$ der Pyramide gegeben.
Alle Einheiten sind in Meter angegeben.

Moderne pyramidenförmige Architektur mit angrenzendem Parkplatz und Landschaft im Hintergrund.

Der „PeaQ-Tanztempel“ in Mainz-Hechtsheim.

Planungsentwurf

1.1

Gib die Koordinaten der Punkte $A$ und $C$ an.

(2 BE)

1.2

Berechne das Volumen der Pyramide.

(2 BE)

1.3

Entlang der vier Seitenkanten der Pyramide werden Lichterketten angebracht. Berechne die Gesamtlänge der Lichterketten.

(3 BE)

1.4

Berechne den Winkel an der Spitze eines Seitendreiecks der Pyramide.

[zur Kontrolle: $\sphericalangle DSA \approx 58^{\circ}$ ]

(3 BE)

1.5

Die Spitze der Pyramide ist mit Metall verkleidet. Die Seitenkanten dieser ebenfalls quadratischen Pyramide sind $4\,\text{m}$ lang (siehe Planungsentwurf). Berechne die Größe der Fläche, die mit Metall verkleidet ist.

(4 BE)

1.6

Die Seitenfläche der Pyramide mit den Eckpunkten $A, S$ und $D$ liegt in der Ebene $E_{ASD}$ .
Gib eine Parameterform der Ebene $E_{ASD}$ an und bestimme eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $E_{ASD}: 3x + 2z = 60$ .]

(6 BE)

Im Folgenden wird das Dach des Vorbaus betrachtet. Von der Vorderseite dieses Daches sind die Punkte $M(40\mid0\mid15)$ und $H(40\mid5\mid12,5)$ gegeben.

2.1

Zeige, dass der Punkt $M´(10\mid0\mid15)$ auf der Ebene $E_{ASD}$ liegt, und begründe ohne weitere Rechnung, dass es sich bei dem Punkt $M´$ um denjenigen Punkt handeln muss, in dem der (durch den Punkt $M$ verlaufende) Dachfirst des Vorbaus auf die Pyramide trifft. Beschrifte den Punkt $M´$ im Planungsentwurf.

(4 BE)

2.2

Berechne die Koordinaten des Punktes $\(H$ , bei dem die Dachkante des Vorbaus, die durch den Punkt $H$ verläuft, auf die Pyramide trifft.

[zur Kontrolle: $\( H$ ]

(4 BE)

2.3

Untersuche, um welche Art von Viereck es sich bei der Dachfläche $\(HH$ handelt, und bestimme den Flächeninhalt der Dachfläche $\(HH$ $\(M$ $M$ .

(6 BE)

Ein Besucher nähert sich dem Pyramideneingang entlang der $x$ -Achse aus positiver Richtung. Die Augenhöhe des Besuchers ist $1,60\, \text{m}$ über dem Boden. Erläutere die Rechnung in den Zeilen (1) bis (3) im untenstehenden Kasten und erkläre die Bedeutung des Punktes $P$ aus Zeile (4) im Sachzusammenhang.

(1)

$M(40\mid0\mid15)$ , $S(0\mid0\mid30)$

$\rightarrow$ $g_{MS}:\overrightarrow{x}=\pmatrix{40\\0\\15}+r\cdot\pmatrix{-40\\0\\15}$ , $r\in\mathbb{R}$

(2)

$1,6=15+r\cdot15 \Leftrightarrow r=-\dfrac{67}{75}$

(3)

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{40\\0\\15}-\dfrac{67}{75}\cdot\pmatrix{-40\\0\\15}$ $=\pmatrix{\dfrac{1136}{15}\\0\\\dfrac{8}{5}}\approx \pmatrix{75,73\\0\\1,6}$

(4)

$P(75,73\mid0\mid0)$

(6 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1

$A(20\mid20\mid0)$ , $C(-20\mid-20\mid0)$

1.2

Das Volumen kann mit der Volumenformel für Pyramiden berechnet werden. Aus den Koordinaten für die Spitze folgt, dass die Pyramide $30$ m hoch ist.

$V_P= \dfrac {1}{3} \cdot a^2 \cdot h$
$V= \dfrac {1}{3} \cdot 40^2 \cdot 30 = 16000 \text{[m}^3\text{]}$

1.3

Die Pyramide hat 4 Seitenkanten der gleichen Länge.

$L$ $=4 \cdot \,\bigg \vert \, \overrightarrow{AS} \,\bigg \vert \,$ $=4 \cdot \sqrt{20^2 +20^2 +30^2}$ $=40 \cdot \sqrt{17}$ $\approx 164,92\text{[m]}$

Die Lichterkette muss ca. $165\,\text{m}$ lang sein.

1.4

Ein Seitendreieck besteht z.B. aus den Punkten $S$ , $D$ und $A$ . Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{ SD} \circ \overrightarrow{ SA}\right|}{\,\bigg \vert \, \overrightarrow{ SD}\,\bigg \vert \, \cdot \,\bigg \vert \, \overrightarrow{ SA}\,\bigg \vert \,} \\[5pt] &=& \dfrac {\left | \pmatrix{20\\-20\\-30}\circ \pmatrix{20\\20\\-30} \right|}{\left | \pmatrix{20\\-20\\-30}\right| \cdot \left | \pmatrix{20\\20\\-30} \right|} \\[5pt] &=& \dfrac{900}{1700} \\[5pt] &=& \dfrac {9}{17} \end{array}$

Es folgt:

$\alpha = \cos^{-1} \left(\dfrac {9}{17}\right) =58,034^{\circ} \approx 58^{\circ}$

1.5

Da der Flächeninhalt der Seitenfläche der Metallpyramide aus vier gleichen Dreiecken besteht, kann dieser mithilfe der Gleichung $A=4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$ berechnet werden. Hierbei ist $g$ die Grundkante der jeweiligen Dreiecke und $h_g$ die Höhe dieser.

Es gilt:

$g=$ $2 \cdot 4 \cdot sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ $=2 \cdot 4 \cdot sin \left(\dfrac{58}{2} \right)$
$\approx 3,88 [\text{m}]$

$h_g$ $= 4 \cdot \cos \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ $=4 \cdot \cos \left(\dfrac{58}{2}\right)$
$\approx 3,5 [\text{m}]$

Für den Flächeninhalt der Seitenfläche folgt:

$A$ $=4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$ $=2 \cdot 3,88 \cdot 3,5$
$\approx 27,16 \; [\text{m}^2]$

1.6

$E_{ASD}:\overrightarrow{ x}= a+ r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{a}= \overrightarrow{0A} = \pmatrix{20\\20\\0}$ , $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{AS} = \pmatrix{-20\\-20\\30}$ , $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AD} = \pmatrix{0\\-40\\0}$

Die Parametergleichung lautet dann:

$E_{ASD}:\overrightarrow{ x}= \pmatrix{20\\20\\0}+ r \cdot \pmatrix{-20\\-20\\30} +s \cdot \pmatrix{0\\-40\\0}$

$\overrightarrow{n}= \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} =\pmatrix{-20\\-20\\30}\times \pmatrix{0\\-40\\0} =\pmatrix{1200\\0\\800}$

Für die Koordinatengleichung folgt:

$E_{ASD}: 1200 x + 800z =d$

Durch Einsetzen von $A(20/20/20)$ folgt $d=24000$ und somit:

$\begin{array}[t]{rll} 1200 x + 800z&=&24000 &\quad \scriptsize \mid\; : 400 \\[5pt] 3 x + 2z&=&60 \end{array}$

2.1

Punktprobe: Einsetzen von $\(M$ in die Ebene $E_{ASD}:3 x + 2z =60 .$

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 10+2\cdot 15&=& 60 \\[5pt] 60&=&60 \end{array}$

Hieraus folgt $\(M$ .

Die Punkte $M$ und $\(M$ stimmen in den $y$ - und $z$ - Koordinaten überein. Daher liegen sie auf einer Geraden, die parallel zur $x$ -Achse verläuft. Deshalb ist der Punkt $\(M$ der Punkt, auf dem der Vorbau auf die Pyramide trifft.

2.2

Die Dachkante verläuft parallel zur $x$ -Achse und somit entlang des Richtungsvektors $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\0\\0}$ durch den Punkt $H(40\mid5\mid12,5).$

Eine Geradengleichung der Dachkante ergibt sich also zu:

$\begin{array}[t]{rlll} h:\overrightarrow{x}&=& \pmatrix{40\\5\\12,5} +r \cdot \pmatrix{1\\0\\0}&\mid\; \\[5pt] &=& \pmatrix{40+r\\5\\12,5} \end{array}$

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in $E_{ASD}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 3\cdot (40+r) + 2\cdot 12,5&=& 60 &\mid\; \\[5pt] 120+3r + 25&=& 60 &\mid\; -60 \\[5pt] 85-3r &=& 0 &\mid\; -3r \\[5pt] 85 &=& -3r &\mid\; :(-3) \\[5pt] -\frac{85}{3}&=& r \end{array}$

Durch Einsetzen von $r$ in $h$ folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} h: \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{40\\5\\12,5} - \frac{85}{3} \cdot \pmatrix{1\\0\\0}& \\[5pt] &=&\pmatrix{\frac{35}{3} \\5\\ \frac{25}{2}} \end{array}$

Die Koordinaten des Punktes $\(H$ sind somit gegeben durch $\(H$

2.3

Die Kanten $\(\overline{MM$ und $\(\overline{HH$ verlaufen parallel zueinander und parallel zur x-Achse.

$\(\left| \overline{MM$ und $\(\left| \overline{HH$
Die geometrische Form des Vierecks ist ein Trapez, da $\(\left| \overline{MM$ .

Da $M$ und $H$ die gleiche $x$ -Koordinate haben, gilt für die Höhe des Trapez:

$\left| \overline{MH}\right | = \left| \pmatrix{0\\5\\-2,5}\right| =\sqrt{31,25} \approx 5,59 \; [\text{m}]$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(\left| \overline{MM$

3.1

In (1) wird durch die Punkte $M$ und $S$ eine Gleichung $g_{MS}$ angegeben.

In Zeile (2) wird mit der $z$ -Koordinate, die den Wert $1,6$ hat, der Wert des Geradenparameters berechnet.

Der Geradenparameter wird in Zeile (3) eingesetzt in die Gerade, wodurch sich der Punkt ergibt, der als $z$ -Koordinate den Wert $1,6$ hat.

Der Punkt $P$ aus Zeile (4) ist die Standposition eines Besuchers auf dem Boden, wenn er sich der Pyramide nähert und die Spitze $S$ nicht mehr sehen kann, da diese durch den Vorbau verdeckt wird.