A2 - Analysis

In Herr Maiers Garten steht ein Kirschbaum. Beim Einpflanzen hatte der Baum eine Höhe von 2 Metern. 7 Jahre nach dem Einpflanzen ist er 5 Meter hoch.

Zur Modellierung seines Wachstums soll die Höhe des Kirschbaums durch eine Funktion in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschrieben werden. Dazu werden die Funktionen $h$ und $g$ vorgeschlagen mit

$h(t)= 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\,$ und $\,$ $g(t)= 2+ \dfrac{3}{7}t.$

Dabei werden $t$ in Jahren seit dem Einpflanzzeitpunkt und $h(t)$ bzw. $g(t)$ in Metern angegeben. Für die Modellierung gilt jeweils $t\geq 0.$

Für die Aufgaben 1.1 und 3 soll diese Einschränkung des Definitionsbereichs nicht gelten.

1.1

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von $h$ abgebildet.

Zeichne zusätzlich den Graphen von $g$ in dieses Koordinatensystem.

Hessen GK Abi 2017 Koordinatensystem Funktion Graph

$h(t)=6-4\cdot \mathrm e^{-0,2t}$

(2 BE)

1.2

Beschreibe anhand der Graphen von $g$ und $h$ jeweils den Verlauf der Steigung.

Begründe im Sachzusammenhang ohne weitere Rechnung, warum die Funktion $h$ für die Modellierung des Wachstums des Kirschbaums auf lange Sicht besser geeignet ist als die Funktion $g.$

(4 BE)

2.1

Begründe anhand des Funktionsterms der Funktion $h,$ dass sich die Höhe des Baums langfristig dem Wert von $6\,\text{m}$ immer mehr nähert, ohne ihn jedoch zu erreichen bzw. zu überschreiten.

(3 BE)

2.2

Berechne für die Modellierung mit der Funktion $h$ den Zeitpunkt $t,$ zu dem die Höhe des Kirschbaums $90\,\%$ des Werts aus Aufgabe 2.1 erreicht.

(4 BE)

2.3

Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion $\( h$

Gib den Wert von $\( h$ an und deute diesen im Sachzusammenhang.

(5 BE)

Im Folgenden wird der Graph der Funktion $f_1$ mit $f_1(t) = \mathrm e^{0,2\cdot t}$ schrittweise durch jeweils eine der geometrischen Abbildungen Streckung in $y$ -Richtung, Verschiebung in $y$ -Richtung, Spiegelung an der $x$ -Achse und Spiegelung an der $y$ -Achse in den Graphen der Funktion $h$ überführt:

Hessen GK Abi 2020 Koordinatensystem Funktion Graph

$(1): \, f_{1}(t)=\mathrm e^{0,2t}$

$(2): \, f_{2}(t)=...$

$(3): \, f_{3}(t)=...$

$(4): \, f_{4}(t)=...$

Gib die Funktionsgleichungen von $f_2$ , $f_3$ und $f_4$ zu den zugehörigen Graphen an.

(6 BE)

4.1

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$ -Achse im Intervall $[0;7]$ liegt.

$\big[$ Zur Kontrolle: $A\approx 26,93 \, [\text{FE}]$ $\big]$

(5 BE)

4.2

Zeichne die Fläche aus Aufgabe 4.1 in das nebenstehende Koordinatensystem sowie die Fläche, die zwischen der Geraden $y=6$ und dem Graphen der Funktion $f_3$ im Intervall $[0;7]$ liegt, in das Koordinatensystem (3) aus Aufgabe 3.

Beide Flächen haben denselben Flächeninhalt.

Bestimme den Integralwert

$\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt$

mit Hilfe dieser Flächen unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 4.1.

$f_{5}(t)=6-4\mathrm e^{-0,2t}$

(6 BE)

4.3

Berechne den Wert

$\( I = \dfrac{1}{5} \displaystyle\int_{0}^{5}h$

und deute diesen im Sachzusammenhang.

(5 BE)

1.1

Da $g$ eine Gerade ist, kann der $y$ -Achsenabschnitt 2 und die Steigung $m=\dfrac{3}{7}$ direkt abgelesen werden. Es folgt somit, dass $g$ durch die Punkte $(0 \mid 2)$ und $(7\mid5)$ verläuft.

1.2

Der Graph von $g$ steigt konstant, der Graph von $h$ hingegen ist nicht konstant, seine Steigung nimmt kontinuierlich ab.

Wenn das Wachstum des Baumes mit der Funktion $g$ modelliert werden würde, würde der Baum immer weiter mit der selben Geschwindigkeit wachsen. Das ist in der Realität nicht möglich.

Bei der Funktion $h$ nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit immer weiter ab, der Baum wächst also im Laufe der Zeit immer langsamer. Daher ist die Funktion $h$ auf lange Sicht besser für eine realistische Modellierung des Baumwachstums geeignet.

2.1

Es gilt $\lim\limits_{t\to\infty}\left(\mathrm e^{-0,2\cdot t}\right) = 0$ und somit auch $\lim\limits_{t\to\infty}\left(4 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right) = 0.$

Für $h(t)$ gilt folglich:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to\infty}\left(6-4 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right)&=& 6-0& \\[5pt] &=& 6 \end{array}$

Es folgt also, dass nach langer Zeit, das heißt für große Werte von $t,$ $h(t)$ gegen 6 strebt.

Da sich die $e$ -Funktion für $t\rightarrow\infty$ jedoch nur dem Wert Null annähert, dabei aber stets größer als Null ist und den Wert von Null nie erreicht bzw. unterschreitet, wird der exakte Wert $h(t)=6$ ebenso nie erreicht bzw. überschritten.

2.2

Es soll gelten:

$t \approx 9,49$

Rechnung anzeigen

Nach ca. 9,5 Jahren hat die Höhe des Baumes somit $90\,\%$ des Wertes aus Aufgabe 2.1 erreicht.

2.3

Gleichung der Ableitungsfunktion angeben

Mit der Kettenregel folgt für die Ableitung $\(h$ von $h(t) = 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}:$

$\( h$

Rechenweg anzeigen

Wert angeben

$\begin{array}[t]{rll} h‘(4)&=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 4} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,8}\\[5pt] &\approx& 0,36 \end{array}$

Wert deuten

Da die Funktion $h$ die Höhe des Kirschbaumes modelliert, gibt $\(h$ folglich die Wachstumsgeschwindigkeit des Kirschbaums in Metern pro Jahr an.

4 Jahre nach dem Einpflanzen beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes also ca. $0,36\dfrac{\,\text{m}}{\text{Jahr}}.$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_2}$ bestimmen

Ein Vegleich von $(1)$ und $(2)$ liefert, dass der Graph von $f_2$ im Vergleich zum Graphen von $f_1$ an der $y$ -Achse gespiegelt ist.

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_2(t)&=& f_1(-t) & \\[5pt] &=& \mathrm e^{0,2\cdot (-t)}& \\[5pt] &=& \mathrm e^{-0,2\cdot t} \end{array}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_3}$ bestimmen

Da der Graph von $f_3$ im Vergleich zu dem von $f_2$ schneller fällt, wurde dieser entlang der $y$ -Achse gestreckt.

Durch die Streckung in $y$ -Richtung gilt für die Gleichung von $f_3:$

$f_3(t)=k \cdot f_2(t)$

Einsetzen der Koordinaten eines Punktes, der auf $f_3$ liegt, liefert:

$k = 4$

Rechenweg anzeigen

Die Funktionsgleichung ergibt sich also zu: $f_3(t)= 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_4}$ bestimmen

Im nächsten Schritt wird der Graph von $f_3$ an der $x$ -Achse gespiegelt.

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_4(t)&=& -f_3(t)&\\[5pt] &=& - 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}&\\[5pt] \end{array}$

Insgesamt ergeben sich somit:

$f_2(t) = \mathrm e^{-0,2\cdot t}$

$f_3(t) = 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$

$f_4(t) = - 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$

4.1

$A \approx 26,93 \; [\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$ -Achse im Intervall $[0; 7]$ beträgt folglich ca. 26,93 Flächeneinheiten.

4.2

Flächen einzeichnen

Die Fläche aus Aufgabe 4.1 folgt mit:

Für die Fläche zwischen der Geraden $y=6$ und dem Graphen der Funktion $f_3$ im Intervall $[0;7]$ ergibt sich:

Integralwert bestimmen

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt$ beschreibt die im folgenden durch Streifen markierte Fläche zwischen dem Graphen von $f_3$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;7]:$

Die beiden markierten Flächen im Koordinatensystem ergeben zusammen ein Rechteck mit einer Breite von 7 Längeneinheiten und einer Höhe von 6 Längeneinheiten.

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die grün markierte Fläche den gleichen Inhalt wie die Fläche aus Aufgabe 4.1 besitzt. Diese beträgt somit ca. $26,93 \; \text{FE}.$

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt&=& A_{\text{Rechteck}}-A_{\text{grün}} &\\[5pt] &=& 6\cdot 7-\displaystyle\int_{0}^{7}h(t)\;\mathrm dt &\\[5pt] &=& 42-26,93 &\\[5pt] &=& 15,07 \; [\text{FE}] \end{array}$

4.3

Wert berechnen

Mit $h(t)$ als Stammfunktion von $\(h$ folgt:

$I \approx 0,51$

Rechenweg anzeigen

Ergebnis deuten

Der Wert $I$ beschreibt den mittleren Funktionswert von $\(h$ im Intervall $[0;5].$ Da $h$ die Höhe des Baumes beschreibt, gibt $I$ also die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes in den ersten fünf Jahren nach dem Einpflanzen an.

In den ersten fünf Jahren nach dem Einpflanzen wächst der Baum folglich im Schnitt $0,51\,\text{m} = 51\,\text{cm}$ pro Jahr.