B1 - Analytische Geometrie

Zwischen zwei Wandseiten eines Wohnhauses, die in der $xz$ - bzw. $yz$ -Ebene liegen, soll ein symmetrischer Anbau in Glasbauweise als Wintergarten errichtet werden.

Der Boden des Wintergartens liegt in der $xy$ -Ebene. Das ebene Dach wird durch die Punkte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ und $E$ begrenzt.

Gegeben sind die Punkte $B\ (4\ |\ 1\ |\ 2,5)$ , $C\ (\ 1\ |\ 4\ |\ 2,5)$ , $D\ (\ 0\ |\ 4\ |\ 3)$ und $E\ (\ 0\ |\ 0\ |\ 5)$ . Hierbei entspricht eine Längeneinheit einem Meter.

Der Punkt $A$ liegt in der $xz$ -Ebene, die Strecke $\overline{AD}$ verläuft parallel zur Dachkante $\overline{BC}$ .

Wohnhaus Glasbauweise Skizze Hessen Abi 2016

1.1

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an und erkläre deine Vorgehensweise.

(3 BE)

1.2

Bestimme eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene $E_1$ , in der die Dachfläche $ABCDE$ liegt.

$[$ zur Kontrolle: $x+y+2z=10$ ist eine mögliche Koordinatengleichung von $E_1$ $]$

(5 BE)

1.3

Damit Schnee gut abrutschen kann, sollte der Neigungswinkel der Dachfläche gegen die Grundfläche mindestens $30^{\circ}$ betragen. Prüfe rechnerisch, ob diese Bedingung erfüllt ist.

(3 BE)

Zur Beschattung wird in den Sommermonaten ein zur Dachfläche $ABCDE$ paralleles Dreieckssegel oberhalb der Dachfläche gespannt. Das Segel liegt in der Ebene $E_2:\ x+y+2z=\ 10,2$ .

Bestätige rechnerisch, dass der Abstand des Segels zur Dachfläche $ABCDE$ ca. $8\,\text{cm}$ beträgt.

(6 BE)

Zur Stabilisierung der Dachfläche werden der Punkt $E$ mit dem Mittelpunkt $M\ ( 2,5\mid2,5\mid2,5)$ der Dachkante $\overline{BC}$ sowie der Punkt $A$ mit dem Punkt $D$ durch Streben verbunden, wobei $\overline{AD}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix}$ ist.

3.1

Zeige, dass der Punkt $Z\ ( 2 \mid 2 \mid 3)$ der Schnittpunkt der beiden Streben $\overline{EM}$ und $\overline{AD}$ ist.

Zeichne die beiden Streben und den Punkt $Z$ in das Material.

(5 BE)

3.2

Das Dach des Wintergartens soll eine besondere Verglasung erhalten; dazu muss der Materialverbrauch ermittelt werden.

Erkläre die Bedeutung der Zeilen 1 bis 4 im Kasten jeweils im Sachzusammenhang.

Bestimme anschließend den restlichen Inhalt der Dachfläche und gib den insgesamt benötigten Materialverbrauch in Quadratmetern an.

$1. \; \; \overline{EM}=\begin{pmatrix}2,5\\2,5\\-2,5 \end{pmatrix} ; \; \overline{AD}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix}$

$2. \; \; \overline{EM} \cdot \overline{AD}\ =0$

$3. \; \; \begin{pmatrix}0\\0\\5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2\\2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix}$

$4. \; \; \dfrac{1}{2} \cdot \left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix}-2\\-2\\2 \end{pmatrix} \right|\approx\ 9,8$

(8 BE)

1.1

Da die Strecke $\overline{ AD }$ laut Aufgabenstellung parallel zur Dachkante $\overline{ BC }$ verläuft, liegt der Punkt $A$ auf derselben Höhe wie der Punkt $D (0\mid 4\mid 3)$ . Folglich muss die $z$ -Koordinate von $A$ gleich $3$ sein.

Da der Punkt $A$ in der $xz$ -Ebene und Punkt $D$ in der $yz$ -Ebene liegt, müssen aus Symmetriegründen die $x$ - und $y$ -Koordinaten der Punkte vertauscht sein. Somit ergibt sich der Punkt $A$ zu $A(4\mid0\mid3).$

1.2

Parametergleichung ermitteln

$E_{1}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OE} +s \cdot \overrightarrow{EA} + t \cdot \overrightarrow{ED}$

Parametergleichung anzeigen

Koordinatengleichung bestimmen

Allgemeine Koordinatenform:

$E: n_{1}\cdot x + n_{2}\cdot y + n_{3}\cdot z = d$

Ein Normalenvektor $\overrightarrow{n_D}$ der Ebene $E_{1}$ ergibt sich beispielsweise durch:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_D} &=& \overrightarrow{EA} \times \overrightarrow{ED} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\0\\-2}\times\pmatrix{0\\4\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\cdot (-2)-(-2)\cdot 4\\(-2)\cdot 0-(-2)\cdot 4\\4\cdot 4-0\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\8\\16} \\[5pt] &=& 8\cdot \pmatrix{1\\1\\2} \\[5pt] \end{array}$

Ein Normalenvektor von $E_{1}$ ist somit beispielsweise gegeben durch $\overrightarrow{n_D}=\pmatrix{1\\1\\2}.$

Durch Einsetzen von $\overrightarrow{n_D}$ und $\overrightarrow{OE}$ in die allgemeine Koordinatenform folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot 0+ 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 &=& d \\[5pt] 10 &=& d \end{array}$

Eine Koordinatengleichung von $E_1$ lautet somit:

$E_1: x + y + 2 z = 10$

1.3

Der Neigungswinkel des Daches entspricht dem Winkel $\alpha$ zwischen den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_{xy}}$ der $xy$ -Ebene und den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_D}$ der Dachebene $E_1.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha) &=&\dfrac{ \mid \overrightarrow{n_{xy}} \cdot \overrightarrow{n_{D}} \mid} {\mid \overrightarrow{n_{xy}} \mid \cdot \mid \overrightarrow{n_{D}} \mid} \\[5pt] \cos(\alpha) &=& \dfrac{ \left \vert \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{1\\1\\2}\right \vert}{ \left \vert\pmatrix{0\\0\\1} \right \vert \cdot \left \vert \pmatrix{1\\1\\2}\right \vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{\mid 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 2\mid}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{6}} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{2}{\sqrt{6}} &\quad \scriptsize \mid \arccos \\[15pt] \alpha &=& \cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{6}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx& 35,26\,^{\circ} \end{array}$

Der Neigungswinkel beträgt somit $35,26\,^{\circ}$ und das Dach erfüllt somit die Bedingung.

Da $E_1$ laut Aufgabenstellung parallel zu $E_2$ ist, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d(E_1,E_2)&=& \left \vert \dfrac{ \overrightarrow{n} \circ (\overrightarrow{OP_{E_1}} - \overrightarrow{OP_{E_2}})}{ \vert \overrightarrow{n} \vert } \right \vert \end{array}$

Hierbei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der beiden Ebenen und $\overrightarrow{OP_{E_1}}$ und $\overrightarrow{OP_{E_2}}$ sind beliebige Punkte in $E_1$ und $E_2.$

Aus Aufgabenteil 1.2 können der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1\\1\\2}$ und der Punkt $E(0\mid 0\mid 5)$ aus der Ebene $E_1$ übernommen werden.

Die Koordinaten eines Punkt aus der Ebene $E_2$ können durch Einsetzen beliebiger $x$ - und $y$ -Koordinaten in die Koordinatengleichung von $E_2$ ermittelt werden. Mit $x=0$ und $y=0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E_2: 1\cdot 0+1\cdot 0+2\cdot z&=& 10,2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] z &=& 5,1 \end{array}$

Der Punkt $P_2(0\mid0\mid5,1)$ liegt somit in der Ebene $E_2.$

Es folgt also:

Rechenweg anzeigen

$d(E_1,E_2) \approx 0,082$

Der Abstand zwischen $E_{1}$ und $E_{2}$ beträgt somit etwa $8\,\text{cm}.$

3.1

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g_{\overline{A D}}: \overrightarrow{ x }&=& \overrightarrow{OD}+r\cdot \overrightarrow{AD}&\\[5pt] &=& \left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} g_{\overline{ EM }}: \overrightarrow{ x }&=& \overrightarrow{OD} +s\cdot \overrightarrow{EM} & \\[5pt] &=&\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+ s \cdot\left(\begin{array}{c}2,5 \\ 2,5 \\ -2,5\end{array}\right) \end{array}$

Koordinaten von $Z$ in $g_{\overline{A D}}$ einsetzen:

$g_{\overline{A D}}: \pmatrix{2\\2\\3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2&=& -4\cdot r &\quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] -\dfrac{1}{2}&=& r \end{array}$

Durch Einsetzen von $r$ in die zweite und dritte Zeile folgt:

$2=4-\dfrac{1}{2}\cdot 4 = 2$

$3=3-\dfrac{1}{2}\cdot 0 = 3$

Koordinaten von $Z$ in $g_{\overline{ EM }}$ einsetzen:

$g_{\overline{ EM }}: \pmatrix{2\\2\\3} =\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+ s \cdot\left(\begin{array}{c}2,5 \\ 2,5 \\ -2,5\end{array}\right)$

Aus der ersten und zweiten Zeile ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 2&=& 2,5\cdot s &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\[5pt] \dfrac{4}{5} &=& s \end{array}$

Durch Einsetzen von $s$ in die dritte Reihe folgt:

$3 = 5 + \dfrac{4}{5}\cdot (-2,5) = 3$

Somit liegt der Punkt $Z$ auf beiden Geraden und bildet folglich den Schnittpunkt der beiden Streben.

Streben Dachfläche Loesung Hessen Abi 2016

3.2

Bedeutung erklären

Die Vektoren $\overline{ EM }$ und $\overline{ AD }$ werden angegeben. Diese entsprechen den Richtungen der beiden Streben.
Da das Skalarprodukt aus den Vektoren null ergibt, stehen die beiden Streben folglich senkrecht aufeinander.
In diesem Schritt wird der Vektor $\overrightarrow{ ZE }$ bestimmt.
Es wird der Flächeninhalt des dreieckigen Dachteils $ADE$ mit $\overline{ AD }$ als Grundseite und $\overline{ ZE }$ als Höhe berechnet. Der Inhalt beträgt ca. $9,8 \,\text{m}^2.$

Inhalt der Dachfläche bestimmen

Die restliche Dachfläche ist trapezförmig und lässt sich mit der allgemeinen Gleichung zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes berechnen:

Rechenweg anzeigen

$A_{\text{Trapez}} \approx 4,29 \,\text{[m}^2\text{]}$

Somit beträgt der gesamte Materialverbauch ca. $9,8\,\text{m}^2 + 4,29\,\text{m}^2 = 14,09\,\text{m}^2.$