B2 - Analysis

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $\color{#fff}{t}$ in Tagen	Anzahl in Hundert
3	0,2
5	0,6
8	2,4
10	5,4
12	10,0
15	16,4
17	18,5
19	19,4

Stelle die Datenpaare der Tabelle in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar und beschreibe den Verlauf des Bestandes der Population in den ersten 19 Tagen.

(5 BE)

Der Bestand lässt sich bis zum Ende des zwölften Tags durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t)= a\cdot \mathrm e^{k\cdot t}$ modellieren. Hierbei gibt $f(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

2.1

Berechne mithilfe der Datenpaare der Tabelle für $t=5$ und $t=12$ eine Funktionsgleichung der Funktion $f$ .
$\bigg[$ zur Kontrolle: $f(t) \approx 0,080 \cdot \mathrm e^{0,402 \cdot t}$ $\bigg]$

(4 BE)

2.2

Erläutere die Bedeutung des Wertes $a \approx 0,080$ im Sachzusammenhang und berechne unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 2.1 den prozentualen Zuwachs des Bestandes pro Tag.

(4 BE)

Ab dem Zeitpunkt $t=12$ wird der Bestand näherungsweise mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t)=20-1243,363 \cdot \mathrm e^{-0,402 \cdot t }$ modelliert. Hierbei gibt $g ( t )$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.
Zeige rechnerisch, dass die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $t=12$ bei Rundung auf eine Nachkommastelle ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.

(6 BE)

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material
Graph und Wertetabell der Funktion $h$

$t$	$h(t)$
3	0,22
4	0,36
5	0,59
6	0,96
7	1,53
8	2,40
9	3,68
10	5,42
11	7,60

$t$	$h(t)$
12	10,05
13	12,49
14	14,66
15	16,38
16	17,64
17	18,50
18	19,06
19	19,42

4.1

Begründe unter Verwendung der Wertetabelle von $h$ aus dem Material, dass die Funktion $h$ zur Modellierung des Bestandes geeignet ist.

(2 BE)

4.2

Erläutere die Bedeutung der Ableitungsfunktion $\(h$ im Sachzusammenhang und erkläre die Zeilen $\,\text {1}$ und $\,\text {2}$ im Sachzusammenhang.

$\,\text {1}$ $h^{\prime}(t)=2 \Rightarrow t_1 \approx 10;t_2 \approx 14$

$\,\text {2}$ $h^{\prime}(t) \geq 2$ für alle $t \in[10 ; 14]$

(4 BE)

4.3

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[3 ; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O _4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme. Als Näherungswert für den Inhalt der Fläche erhält man

$A _4=\dfrac{ O _4+ U _4}{2}=141,32$

Erläutere den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestätige das Ergebnis durch eine Rechnung unter Verwendung der Wertetabelle aus dem Material.

(5 BE)

4.4

Die Funktionsgleichung von $h$ lautet $h(t)=\dfrac{100}{5+ \mathrm e^{-0,5 \cdot t+7,6}}$

4.4.1

Berechne den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion $h$ den Wert $17$ übersteigt.

(4 BE)

4.4.2

Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[3;19]$ einschließt.
Nenne eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern.

(3 BE)

4.4.3

Der Grenzwert von $h$ für $t \rightarrow \infty$ beträgt 20. Begründe diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutere die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

(3 BE)

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Graphische Darstellung der Datenpaare

Das Wachstum der Population in den ersten 19 Tagen ähnelt einem logistischen Verlauf.

2.1

1. Schritt: Datenpaar für $t=5$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& 0,6 & \\[5pt] a\cdot \mathrm e^{k\cdot 5}&=& 0,6 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{k\cdot 5}\\[5pt] a&=& \dfrac{0,6}{\mathrm e^{k\cdot 5}} &\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Datenpaar für $t=12$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} f(12)&=& 10 & \\[5pt] \dfrac{0,6}{\mathrm e^{k\cdot 5}} \cdot \mathrm e^{k\cdot 12}&=& 10 &\\[5pt] 0,6\cdot \mathrm e^{k\cdot 7}&=& 10&\quad \scriptsize \mid\; :0,6\\[5pt] \mathrm e^{k\cdot 7}&=& \dfrac{10}{0,6}&\quad \scriptsize \mid\; \ln(\;)\\[5pt] k&\approx& 0,402&\\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Wert von $a$ berechnen

Mit dem WTR ergibt sich: $a= \dfrac{0,6}{\mathrm e^{0,402\cdot 5}}\approx 0,080$

Somit ist eine Funktionsgleichung von $f$ gegeben durch $f(t)=0,080\cdot \mathrm e^{0,402\cdot t}.$

2.2

Bedeutung des Werts von $a$

Der Wert von $a$ gibt den Anfangsbestand der Mikroorganismen an. Für $a=0,080$ waren folglich zu Beobachtungsbeginn $8$ Mikroorganismen vorhanden.

Prozentualen Zuwachs berechnen

Es ist $f(0)= 0,080$ und $f(1)\approx 0,12.$

$\dfrac{0,12}{0,080} =1,5$

Es ist $f(11)\approx 6,65$ und $f(12)\approx 9,96.$

$\dfrac{9,96}{6,65} \approx 1,49$

Der Bestand nimmt pro Tag etwa 50% zu.

$f(12) \approx 10$ und $g(12) \approx 10.$

$\(f$

$\(g$

Die Funktionen sind differenzierbar, damit stetig und sprungfrei.

Für die Steigung der Graphen an der Stelle $t=12$ muss Gleichheit gelten, dass diese knickfrei ineinander übergehen.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Rechenweg anzeigen

$\(g$

Da $\(f$ gilt, gehen die beiden Graphen bei $t=12$ ohne Sprung oder Knick ineinander über.

4.1

Die Funktion $h$ ist zur Modellierung des Bestands geeignet, da die Werte in der Tabelle bis zum Zeitpunkt $t=12$ immer schneller zunehmen.

Zudem stimmen die Datenpaare der Wertetabelle von $h$ gerundet mit den Werten der Tabelle aus 1 überein.

4.2

Ableitungsfunktion $\(h$ erläutern

Die Ableitungsfunktion $\(h$ beschreibt die momentane Änderung des Bestandes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Tagen.

Je größer der Wert der Ableitung, desto größer das Wachstum der Anzahl an Mikroorganismen.

$(1)$ und $(2)$ deuten

$(1)$ Im ersten Schritt werden die Zeitpunkte berechnet, zu welchen der Bestand mit einer Geschwindigkeit von 200 Mikroorganismen pro Tag wächst. Dies ist ungefähr am 10. und 14. Tag nach Beobachtungsbeginn der Fall.

$(2)$ Im Graphen von $h$ kann abgelesen werden, dass die Steigung zwischen den im ersten Schritt berechneten Zeitpunkten größer ist.

Somit folgt, dass der Zuwachs zwischen dem 10. und 14. Tag mindestens 200 Mikroorganismen pro Tag beträgt.

4.3

Ansatz erläutern

Die Obersumme beschreibt den Flächeninhalt des jeweiligen Intervalls anhand des darin größten Funktionswerts und ist somit größer als der tatsächliche Flächeninhalt des Intervalls.

Bei der Untersumme wird der Inhalt durch den jeweils kleinsten Funktionswert des Intervalls berechnet, diese ist folglich kleiner als der tatsächliche Flächeninhalt.

Der Durchschnitt der Ober- und Untersumme nähert sich somit an den tatsächlichen Flächeninhalt an.

1. Schritt: Obersumme berechnen

Das Intervall $[3;19]$ wird in 4 gleich große Intervalle geteilt:

$I_1[3;7], I_2[7;11],I_3[11;15],I_4[15;19]$

Da $h$ monoton steigt, besitzt jeweils die rechte Intervallgrenze den größten Funkionswert.

Rechenweg anzeigen

$O_4 = 179,72$

2. Schritt: Untersumme berechnen

Rechenweg anzeigen

$U_4=102,92$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$A_4=\dfrac{179,72+102,92}{2}=141,32$

4.4.1

Rechenweg anzeigen

$15,45\approx t$

Ab dem Zeitpunkt $t=15,45$ übersteigt die Anzahl der Mikroorganismen gemäß der Modellierung mit Funktion $h$ den Wert $17.$

4.4.2

Flächeninhalt berechnen

Mit dem WTR kann das Integral berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{19}h(t)\;\mathrm dt&=&\displaystyle\int_{3}^{19}\dfrac{100}{5+\mathrm{e}^{-0,5 \cdot t+7,6}} \;\mathrm dt & \\[5pt] &\approx& 141,11 \end{array}$

Ansatz aus 4.3 verändern

Durch das Unterteilen des Intervalls in mehr als 4 Intervalle kann der Flächeninhalt besser angenähert werden.

Umso kleinere Intervalle, desto genauer das Ergebnis.

4.4.3

Für $t\rightarrow\infty$ gilt $\mathrm e^{-0,5 \cdot 3+7,6}\rightarrow0$ und somit folgt:

$\lim\limits_{t\to\infty} h(t)= \dfrac{100}{5+0}=20$

Dieser Grenzwert bedeutet, dass der Bestand der Mikroorganismen auf Dauer nie über eine Anzahl von $2000$ Mikroorganismen steigen wird.

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