C2 - Stochastik

Bei einer Befragung unter 2360 Männern und 2200 Frauen, die in den vorhergegangenen 12 Monaten zumindest einmal an einem Glücksspiel teilgenommen hatten, zeigten $2,5\,\%$ der befragten Männer und $0,5\,\%$ der befragten Frauen Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.

Unter den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt.

Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$M:$

„Die ausgewählte Person ist ein Mann.“

$S:$

„Die ausgewählte Person zeigt Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.“

1.1

Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

1.2

Die Terme $P_M(S)$ und $P(M\cap S)$ stellen Wahrscheinlichkeiten dar.

Beschreibe für jeden der beiden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang.

(2 BE)

1.3

Von den befragten Personen, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigten, wird eine zufällig ausgewählt.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die ausgewählte Person eine Frau ist.

(2 BE)

Im Folgenden werden ausschließlich Männer betrachtet, die in den vorhergegangenen $12$ Monaten zumindest einmal an einem Glücksspiel teilgenommen hatten.

Für eine weiterführende Studie sollen 200 Männer zufällig ausgewählt werden.

Es soll davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der ausgewählten Männer, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigen, durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit von $2,5\,\%$ beschrieben werden kann.

2.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$A:$

Unter den ausgewählten Männern befinden sich genau 4 Männer, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigen.

$B:$

Unter den zufällig ausgewählten Männern befinden sich mindestens 4 Männer, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigen.

$C:$

Alle ausgewählten Männer zeigen keine Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.

(7 BE)

2.2

Bestimme das kleinste Intervall mit den beiden folgenden Eigenschaften:

Das Intervall ist bezüglich des Erwartungswerts von $X$ symmetrisch.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $X$ im Intervall liegt, ist größer als $90\,\%.$

(5 BE)

2.3

Berechne, wie viele Männer mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein Mann darunter ist, der Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.

(4 BE)

Die Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung (BZgA) führt eine Kampagne durch, die die Bevölkerung über Glücksspielsucht aufklären soll. Die BZgA vermutet, dass durch die Kampagne der Anteil der Männer, die Anzeichen für spielsüchtiges Verhalten zeigen, unter $2,5\,\%$ gesunken ist.

Entwickle zur Überprüfung dieser Vermutung einen Hypothesentest auf Grundlage der Befragung von 500 zufällig ausgewählten Männern bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.

(7 BE)

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind.

Drei Kugeln tragen die Zahl 4, die anderen beiden die von 4 verschiedene Zahl $x.$

4.1

Im dargestellten Sachzusammenhang wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1-0,6^3$ berechnet.

Beschreibe das zugrundeliegende Zufallsexperiment und das Ereignis.

(3 BE)

4.2

Werden der Urne zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen, so ist der Erwartungswert für die Summe der beiden Zahlen auf den entnommenen Kugeln $12.$

4.2.1

Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass $x$ größer als 5 ist.

(2 BE)

4.2.2

Berechne die Zahl $x.$

(4 BE)

Binomialsummenfunktion:

${F_{n;p}(k)= \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i} \cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$ für ${n=500}$

$\color{#fff}{p=}$	$\color{#fff}{0,025}$
$k=$
$0$	$0,0000$
$1$	$0,0000$
$2$	$0,0003$
$3$	$0,0014$
$4$	$0,0050$
$5$	$0,0139$
$6$	$0,0330$
$7$	$0,0674$
$8$	$0,1218$
$9$	$0,1980$
$10$	$0,2940$
$11$	$0,4037$
$12$	$0,5183$
$13$	$0,6285$
$14$	$0,7269$
$15$	$0,8086$
$16$	$0,8721$
$17$	$0,9185$
$18$	$0,9504$
$19$	$0,9711$
$20$	$0,9839$
$21$	$0,9914$
$22$	$0,9956$
$23$	$0,9978$
$24$	$0,9990$
$25$	$0,9995$
$26$	$0,9998$
$27$	$0,9999$
$28$	$1,0000$

Die Werte $1,0000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000.$

Aus der Aufgabenstellung folgt:

Männer mit Anzeichen von Spielsucht: $0,025 \cdot 2360=59$

Frauen mit Anzeichen von Spielsucht: $\; 0,005 \cdot 2200=11$

Somit ergibt sich:

	$\color{#fff}{\boldsymbol{S}}$	$\color{#fff}{\boldsymbol{\overline{S}}}$	Gesamt
$\color{#fff}{\boldsymbol{M}}$	$59$	$2301$	$2360$
$\color{#fff}{\boldsymbol{\overline{M}}}$	$11$	$2189$	$2200$
Gesamt	$70$	$4490$	$4560$

1.2

$P_M(S)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Mann Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.

$P(M\cap S)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person männlich ist und Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.

1.3

Der Vierfeldertafel aus 1.1 kann entnommen werden, dass insgesamt 70 der befragten Personen Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigten. Davon sind 11 Frauen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens eine Frau ist, beträgt also:

$\begin{array}[t]{rll} P_S(\overline{M})&=& \dfrac{11}{70} & \\[5pt] &\approx& 0,157& \\[5pt] &=& 15,7\,\% \end{array}$

2.1

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,025$ angenommen werden.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=4)& \quad \scriptsize \mid\; WTR\\[5pt] &\approx& 0,1768& \\[5pt] &=& 17,68 \,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 4) & \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 3)& \quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx & 0,7385 & \\[5pt] &=& 73,85\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(X=0)&\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx & 0,0063 & \\[5pt] &=& 0,63 \,\% \end{array}$

2.2

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 200 \cdot 0,025 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$

Systematisches Ausprobieren liefert:

$P(1 \leq X \leq 9) \gt 0,90$

Rechenweg anzeigen

$P(2 \leq X \leq 8) \lt 0,90$

Das kleinste Intervall, welches die beiden gegebenen Eigenschaften besitzt, ist somit gegeben durch $[1;9].$

2.3

$X_n$ beschreibt die Anzahl der Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens unter $n$ befragten Männern und kann als binomialverteilt mit $p=0,025$ und unbekanntem $n$ angenommen werden.

Gesucht ist das kleinste $n,$ für das gilt:

$P(X_n \geq 1) \geq 0,9$

Rechnung anzeigen

Es müssen also mindestens $91$ Männer befragt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens einer Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.

$X$ beschreibt die zufällige Anzahl der Männer mit Anzeichen von spielsüchtigem Verhalten in der Stichprobe der $500$ Männer und kann als binomialverteilt mit $n=500$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

$H_0:\, p_0\geq 0,025$

$H_1: \, p_1 \lt 0,025$

Das Signifikanzniveau ist auf $5\,\%$ festgelegt, es muss also gelten:

$P(Y\leq k)\leq 0,05$

Mit Hilfe der Tabelle aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$P(X \leq 6)\approx 0,0330$

$P(X \leq 7)\approx 0,0674$

Der gesuchte Wert von $k$ ist somit gegeben durch $k=6.$

Die Entscheidungsregel lautet also:

Befinden sich in der Stichprobe der $500$ Männer höchstens $6$ Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens, so kann $H_0$ mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ abgelehnt werden. Die Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung kann folglich davon ausgehen, dass der Anteil der Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens unter $2,5\,\%$ gesunken ist und die Kampagne somit erfolgreich war.

4.1

Zufallsexperiment beschreiben

Aus der Urne werden nacheinander drei Kugeln mit Zurücklegen entnommen.

Ereignis beschreiben

Der Term $1-0,6^3$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass bei dreimaligem Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen mindestens eine Kugel mit der Aufschrift $x$ gezogen wird.

Die Berechnung erfolgt über das Gegenereignis:

$P($ „mindestens eine Kugel mit der Aufschrift $x)=1-P($ „ alle Kugeln tragen die Aufschrift 4“ $)$

4.2.1

Für $x\leq 5$ wäre die Summe der Zahlen zweier Kugeln immer höchstens 10 (beim Ziehen von zwei Kugeln mit der Aufschrift 5).

Der Erwartungswert könnte dann folglich nicht $12$ sein, da alle möglichen Ergebnisse kleiner als $12$ sind.

4.2.2

$S:$ Summe der Zahlen auf den beiden gezogenen Kugeln

$4+4=8:$

$\begin{array}[t]{rll} P(S=8)&=& \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}& \\[5pt] &=& 0,3 \end{array}$

$4+x:$

$\begin{array}[t]{rll} P(4+x)&=& \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{4}& \\[5pt] &=& 0,6 \end{array}$

$x+x=2x:$

$\begin{array}[t]{rll} P(S=2x)&=& \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}& \\[5pt] &=& 0,1 \end{array}$

Für den Erwartungswert gilt:

$E(S)=12$

Rechnung anzeigen

Die beiden anderen Kugeln tragen somit die Aufschrift 9.