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A1 - Analysis

1
Zum Zeitpunkt \(t=0\) werden einmalig 20 mg eines Medikamentes direkt in die Blutbahn eines Patienten gespritzt. Die im Blut vorhandene Medikamentenmenge (in mg) kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(t)=20\cdot\mathrm e^{-0,1054\cdot t}\) beschrieben werden (\(t\) misst die Zeit in Minuten nach der Injektion).
1.1
Gib die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle an. Zeichne anschließend anhand der ermittelten Punkte den Graphen von \(f\) in ein geeignetes Koordinatensystem.
\(\color{#fff}{t}\) \(\color{#fff}{f(t)}\)
\(0\) \(20\)
\(5\)
\(10\)
\(15\) \(\approx4,12\)
\(20\)
\(25\)
\(30\) \(\approx0,85\)
(7 BE)
1.2
Berechne die Zeit, nach der sich nur noch die Hälfte der anfänglichen Medikamentenmenge im Blut des Patienten befindet.
(4 BE)
2
Unter der medizinischen Wirkung \(w(T)\) eines Medikamentes bis zum Zeitpunkt \(T\) (in Minuten) versteht man den Ausdruck \(w(T) \)\( =\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)\;\mathrm dt\), wobei die Funktion \(f\) die Menge des Medikamentes im Blut in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten) beschreibt.
2.1
Bestimme die medizinische Wirkung des Medikamentes aus Aufgabe 1 für \(T=30\) unter Angabe einer Stammfunktion.
(6 BE)
2.2
Erläutere die Zeilen \((\text{I})\) bis \((\text{III})\) im Kasten und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Kasten anzeigen
\( \)
(6 BE)
3
Das Medikament kann auch über eine Tropfinfusion verabreicht werden. Dabei gelangt jede Minute eine gleichbleibende Menge von \(c=3 \;\text{mg}\) des Medikamentes in den Blutkreislauf, wobei über die Nieren in jeder Minute \(k=10\,\%\) des im Blut vorhandenen Medikamentes abgebaut werden.
Für die im Blut befindliche Menge \(h\) des Medikamentes in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten gilt allgemein (mit den obigen Bezeichnungen): \(h(t)=\dfrac{c}{k}\cdot\left(1-\mathrm e^{-kt}\right)\).
3.1
Gib die Funktionsgleichung \(h(t)\) für die im Blut befindliche Medikamentenmenge bei einer Tropfinfusion an.
Begründe dann, welcher der drei Graphen (Abbildung 1) die Funktion \(h\) korrekt beschreibt.
Funktionsgraphen
Abbildung 1
(6 BE)
3.2
Zeige, dass \(H\) mit \(H(t)=30\cdot\left(t+10\cdot\mathrm e^{-0,1\cdot t}\right)\) eine Stammfunktion von \(h\) ist.
Berechne die medizinische Wirkung (siehe Aufgabe 2) der Tropfinfusion nach 30 Minuten.
(6 BE)
4
Diskutiere die Einsatzmöglichkeiten der beiden Darreichungsformen „Spritze“ und „Tropfinfusion“ anhand der betrachteten Graphen.
(5 BE)