C2.1 - Stochastik

In einem großen Unternehmen werden Elektronikgeräte hergestellt. Erfahrungsgemäß sind $3\,\%$ der hergestellten Geräte defekt.

1.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

$A:$ Von 500 zufällig ausgewählten Geräten sind genau 10 defekt.

$B:$ Von 750 zufällig ausgewählten Geräten sind maximal 25 defekt.

$C:$ Von 400 zufällig ausgewählten Geräten funktionieren mindestens 381 einwandfrei.

(6 BE)

1.2

Gib im vorliegenden Sachzusammenhang ein Ereignis $D$ an, für das gilt:

Formel anzeigen

$P(D) = \dots$

(2 BE)

1.3

Berechne die Anzahl der Geräte, die man mindestens überprüfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein defektes Gerät zu erhalten.

(4 BE)

1.4

Es werden 300 zufällig ausgewählte Geräte getestet.

Berechne den Erwartungswert für die Anzahl der defekten Geräte.

(2 BE)

1.5

Das Unternehmen hat ein neues Bauteil entwickelt, das in viele Elektronikgeräte eingebaut wurde. Es wird vermutet, dass sich dadurch der Anteil der defekten Geräte verringert hat.

Zur Überprüfung dieser Vermutung werden 300 zufällig ausgewählte Geräte auf ihre Funktionstüchtigkeit getestet.

Entwickle einen linksseitigen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$

Formuliere eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang.

(6 BE)

In einem großen Unternehmen sind $77\,\%$ aller Beschäftigten mit der Höhe ihres Gehalts zufrieden. $5\,\%$ aller Beschäftigten sind in der Werbeabteilung tätig und nicht zufrieden mit der Höhe ihres Gehalts. Insgesamt gehören der Werbeabteilung $12\,\%$ aller Beschäftigten an.

2.1

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

2.2

Untersuche, ob der Anteil der Beschäftigten, die mit ihrem Gehalt nicht zufrieden sind, in der Werbeabteilung größer ist als im übrigen Unternehmen.

(3 BE)

2.3

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 500 zufällig ausgewählten Beschäftigten mehr als 400 Beschäftigte befinden, die mit ihrem Gehalt zufrieden sind.

(2 BE)

2.4

Beschreibe die Bedeutung des Terms $1-F(600;0,23;400)$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Im Rahmen der Befragung soll ermittelt werden, wie viele Beschäftigte beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen. Um zu vermeiden, dass Befragte aus Sorge vor negativer Konsequenzen nicht wahrheitsgemäß antworten, wird ein besonderes Verfahren angewendet. Dabei wird $70\,\%$ aller Beschäftigten die Frage $A$ zugeteilt, den übrigen Beschäftigten die folgende Frage $B:$

$A:$ "Beabsichtigen Sie, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen?"

$B:$ "Beabsichtigen Sie, für die nächsten zwölf Monate im Unternehmen zu bleiben?"

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche Frage ihr zugeteilt wurde. Die befragte Person beantwortet die Frage wahrheitsgemäß.

Das folgende Baumdiagramm stellt einen Teil des beschriebenen Verfahrens dar.

2.5

Gib die Bedeutung von $y$ im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

Von den 2700 Beschäftigten antworten 1024 mit "Ja". Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Beschäftigten mit der Absicht, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen, unter denjenigen, denen die Frage $A$ zugeteilt wurde, ebenso groß ist wie unter denjenigen, denen die Frage $B$ zugeteilt wurde.

2.6

Zeige, dass aufgrund des Ergebnisses der Befragung davon auszugehen ist, dass etwa $20\,\%$ der Beschäftigten beabsichtigen, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen.

(4 BE)

2.7

Eine beschäftigte Person, die mit "Ja" geantwortet hat, wird zufällig ausgewählt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person beabsichtigt, das Unternehmen innerhalb der nächsten zwölf Monate zu verlassen.

(3 BE)

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1.1

$X\mathrel{\widehat{=}}\;$ Anzahl defekter Geräte

$Y\mathrel{\widehat{=}}\;$ Anzahl funktionsfähiger Geräte

Ereignis A

Die Zufallsvariable $X$ kann als $B_{500;\; 0,03}$ verteilt angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X = 10) & \\[5pt] &=& 0,0479 & \\[5pt] &=& 4,79\,\%& \\[5pt] \end{array}$

Ereignis B

Die Zufallsvariable $X$ kann als $B_{750;\; 0,03}$ verteilt angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X \leq 25) & \\[5pt] &=& 0,7460 & \\[5pt] &=& 74,6\,\% % \end{array}$

Ereignis C

Die Zufallsvariable $X$ kann als $B_{400;\; 0,03}$ verteilt und die Zufallsvariable $Y$ als $B_{400; \; 0,97}$ verteilt angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(Y \geq 381) & \\[5pt] &=& P(X \leq 19) & \\[5pt] &=& 0,9804& \\[5pt] &=& 98,04 \; \% \end{array}$

1.2

Durch aufteilen von $P(D)$ in die einzelnen Summanden lassen sich diese separat untersuchen:

Aufteilung anzeigen

Aus der Formel der Wahrscheinlichkeit eines binomialverteilten Ereignis lassen sich $n$ , $k$ , $p$ direkt aus den Summanden entnehmen:

$D_{1}: \quad n = 100, \; k = 3, \; p = 0,03$

Bezogen auf den Sachverhalt entspricht dies der Wahrscheinlichkeit: Von 100 zufällig ausgewählten Geräten sind genau 3 defekt.

$D_{2}: \quad n = 100, \; k = 4, \; p = 0,03$

Bezogen auf den Sachverhalt entspricht dies der Wahrscheinlichkeit: Von 100 zufällig ausgewählten Geräten sind genau 4 defekt.

$D_{3}: \quad n = 100, \; k = 5, \; p = 0,03$

Bezogen auf den Sachverhalt entspricht dies der Wahrscheinlichkeit: Von 100 zufällig ausgewählten Geräten sind genau 5 defekt.

Insgesamt lässt sich Ereignis $D$ also wie folgt beschreiben:

$D: \quad$ Von 100 zufällig ausgewählten Geräten sind genau 3, 4 oder 5 Geräte defekt.

1.3

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl defekter Geräte und ist $B_{n; \; 0,03}$ verteilt.

Gesucht ist das kleinste $n$ , für das gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)& \geq& 0,99& \quad \scriptsize \\[5pt] P(X = 0)& \leq& 0,01& \quad \scriptsize \\[5pt] (1 - 0,03)^n& \leq& 0,01 \quad \scriptsize \\[5pt] 0,97^n& \leq& 0,01& \quad \scriptsize \\[5pt] n& \geq & \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,97)} \\[5pt] n& \geq & 151,19 \end{array}$

Somit müssen mindestens 152 Geräte überprüft werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein defektes Gerät zu erhalten.

1.4

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl defekter Geräte und ist $B_{300; \; 0,03}$ verteilt.

Für den Erwartungswert gilt:

$E(X) = n \cdot p = 300 \cdot 0,03 = 9$

Damit beträgt der Erwartungswert für die Anzahl defekter Geräte $E(X) = 9.$

1.5

Aus der Aufgabenstellung geht hervor:

$H_{0}: p \geq 0,03 \qquad H_{1}: p \lt 0,03 \qquad$ $\alpha = 0,05$

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl defekter Geräte und ist $B_{300; \; 0,03}$ verteilt.

Gesucht wird die größte natürliche Zahl $g$ , sodass gilt:

$P(X \leq g) \leq 0,05$

Durch systematisches Ausprobieren mit dem WTR folgt:

$P(X \leq 3) \approx 0,0199$

$P(X \leq 4) \approx 0,053$

Damit gilt für den Ablehnungsbereich: $A = \{0; 1; \dots; 3\}$

Entscheidungsregel

Wenn maximal 3 Geräte nicht funktionieren, wird die Nullhypothese abgelehnt. Das neue Bauteil würde also den Anteil defekter Geräte tatsächlich verringern. Wenn 4 oder mehr Geräte defekt sind, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Das neue Bauteil würde dann den Anteil defekter Geräte nicht verringern.

2.1

$V:\;$ "Ein Beschäftigter ist in der Werbeabteilung tätig"
$W:$ "Ein Beschäftigter ist mit seinem Gehalt zufrieden"

	$\color{#fff}{W}$	$\color{#fff}{\overline{W}}$	Gesamt
$\color{#fff}{V}$	$7\,\%$	$5\,\%$	$12\,\%$
$\color{#fff}{\overline{V}}$	$70\,\%$	$18\,\%$	$88\,\%$
Gesamt	$77\,\%$	$23\,\%$	$100\,\%$

2.2

Anteil unzufriedener Personen in der Werbeabteilung:

$\dfrac{0,05}{0,12} \approx 0,4167 =41,67\,\%$

Anteil unzufriedener Personen im gesamten Unternehmen:

$\dfrac{0,18}{0,88} \approx 0,2045= 20,45 \,\%$

Damit ist der Anteil der Personen, die mit ihrem Gehalt unzufrieden sind, in der Werbeabteilung größer als im gesamten Unternehmen.

2.3

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Beschäftigten, die mit ihrem Gehalt zufrieden sind und ist $B_{500; \; 0,77}$ verteilt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \gt 400)&=&1 - P(X \leq 400) & \\[5pt] &\approx& 0,048 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 500 zufällig ausgewählten Beschäftigten mehr als 400 Beschäftigte mit ihrem Gehalt zufrieden sind, beträgt ungefähr $4,8 \%.$

2.4

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass unter 600 zufällig ausgewählten Beschäftigten nicht 400 Beschäftigte mit ihrem Gehalt unzufrieden sind und somit, dass nur 200 von 600 zufällig ausgewählten Beschäftigten mit ihrem Gehalt zufrieden sind.

2.5

$y$ gibt den Anteil der Befragten der Frage $A$ an, die mit "Nein" geantwortet haben und somit den Anteil der Befragten der Frage $A$ , die die das Unternehmen nicht in den nächsten zwölf Monaten verlassen wollen.

2.6

Sei $x$ der Anteil der Beschäftigten, die das Unternehmen innerhalb der nächsten 12 Monaten verlassen wollen. Dann gilt:

Rechnung anzeigen

$x\approx0,1981$

Es haben also ungefähr $19,81 \%$ der Beschäftigten vor, innerhalb der nächsten 12 Monate das Unternehmen zu verlassen.

2.7

$P(E) \approx 0,3656$

Rechenweg anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person beabsichtigt, das Unternehmen innerhalb von 12 Monaten zu verlassen, beträgt ca. $36,56\%.$

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