B1 - Analytische Geometrie

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem beschreibt die $xy$ -Ebene eine flache Landschaft. Eine Einheit entspricht dabei einem Kilometer.

Ein Sportflugzeug befindet sich im Punkt $P(-9\mid 25\mid 2)$ und fliegt in Richtung des Punktes $Q(-1\mid 9\mid 2)$ auf eine Nebelwand zu. Für die Strecke $\overline{PQ}$ benötigt es genau sechs Minuten.

Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene $E$ der Nebelwand enthält die Punkte $A(1\mid 3\mid 1)$ , $B(5\mid2\mid 0)$ und $C(3\mid 0\mid 3)$ .

Begründe, dass

$\overrightarrow{x} = \pmatrix{-9\\25\\2} + t\cdot \pmatrix{1\\-2\\0}$

eine Parametergleichung der Geraden $g$ ist, in der die Flugroute liegt.

Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Weg von $P$ nach $Q$ in $\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.$

(6 BE)

Bestimme für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

$\big[$ Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von $E$ ist $x+2y+2z = 9. \big]$

(5 BE)

Berechne die Koordinaten des Punktes $S,$ in dem das Flugzeug bei gleichbleibender Flugrichtung die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand durchstoßen würde.

$\big[$ Zur Kontrolle: $S(3\mid 1\mid 2) \big]$

(4 BE)

Erläutere die Zeilen $\text{(I)}$ bis $\text{(V)}$ im Sachzusammenhang.

Rechenschritte anzeigen

(7 BE)

Aufgrund des Nebels ändert der Pilot rechtzeitig seine Flugroute und fliegt in gleichbleibender Höhe parallel zur Ebene $E$ weiter.

Erläutere, warum $\overrightarrow{u} = \pmatrix{2\\-1\\0}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist, die die neue Flugroute enthält.

Berechne den Winkel, um den die neue Flugroute in Richtung des Vektors $\overrightarrow{u}$ gegenüber der alten Flugroute abweicht.

(8 BE)

Geradengleichung begründen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] &=&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$

Der Richtungsvektor der Geraden ist also ein Vielfaches von $\overrightarrow{PQ}.$

Mit $\overrightarrow{OP} = \pmatrix{-9\\ 25\\ 2}$ als Stützpunkt folgt die gegebene Geradengleichung, in der die Flugroute liegt.

Mittlere Geschwindigkeit berechnen

Die Länge von $\overrightarrow{PQ}$ ergibt sich mit:

menu $\rightarrow$ 7: Matrix u. Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1: Matrix

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PQ} \right|&=&\left| \pmatrix{8\\-16\\0}\right| \\[5pt] &=& 8\cdot \sqrt{5} \,[\text{km}] \end{array}$

Mathematische Berechnung eines Normwerts in einem Software-Interface.

Die mittlere Geschwindigkeit $v$ lässt sich nun wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt] &=&\dfrac{8\cdot \sqrt{5} \,\text{km}}{6\,\text{min}} \\[5pt] &=& 10\cdot\dfrac{ 8\cdot \sqrt{5} \,\text{km}}{1\text{h}}\\[5pt] &\approx& 179 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] \end{array}$

Den Weg von $P$ nach $Q$ legt das Flugzeug folglich mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. $179\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ zurück.

Mit dem Kreuzprodukt aus zwei Verbindungsvektoren zwischen Punkten aus der Ebene $E$ kann ein Normalenvektor von $E$ berechnet werden.

Mit dem crossP-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\ -1\\-1}\times \pmatrix{2\\-3\\2} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\-10\\-10} \\[5pt] &=& -5\cdot \pmatrix{1\\2\\2} \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Berechnungen in einer Software, einschließlich Norm und Kreuzprodukt.

Einsetzen des gekürzten Normalenvektors $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2}$ sowie der Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene $E$ liegt, folgt:

$d=9$

Rechenweg anzeigen

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ ist somit gegeben durch $E:\; x +2y+2z = 9.$

Die Koordinaten der Punkte $P_t$ auf der Geraden $g$ sind gegeben durch $P_t(-9 +t \mid 25-2t \mid 2).$

Einsetzen in die Koordinatengleichung von $E$ liefert:

$t=12$

Rechenweg anzeigen

Mathematische Berechnungen in einer Software, inklusive Norm, Kreuzprodukt und Gleichungslösung.

Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS} &=& \pmatrix{-9\\ 25\\ 2} +12\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} &\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\ 1\\ 2} \end{array}$

Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die Nebelwand im Punkt $S(3\mid 1\mid 2)$ durchstoßen.

$\text{(I)}$

$S$ ist der Punkt aus Aufgabe 3, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde und $T$ ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $g,$ also auf der Flugroute des Flugzeuges.

$\text{(II)}$

In diesem Schritt wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen $S$ und $T$ berechnet. Dieser entspricht dem Abstand $d$ vom Durchstoßpunkt $S$ zu einem allgemeinen Punkt $T$ auf der Flugroute des Flugzeugs.

$\text{(III)}$

Der Term aus Zeile $\text{(II)}$ wird mit $5\;\text{km}$ gleichgesetzt und die Gleichung nach $t$ aufgelöst. Für $t_1\approx 14,2$ und $t_2\approx 9,8$ ist also die Position des Flugzeugs genau $5\;\text{km}$ von dem Durchstoßpunkt der Nebelwand entfernt.

$\text{(IV)}$

Von den beiden Punkten $T_1$ und $T_2$ , die sich aus den Werten $t_1$ und $t_2$ aus Zeile $\text{(III)}$ ergeben, liegt einer aus Sicht des Flugzeuges vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und einer dahinter. An dem Punkt $T_2$ kommt das Flugzeug zuerst an, somit ist das der gesuchte Punkt $5\;\text{km}$ vor Durchbrechen der Nebelwand.

$\text{(V)}$

Einsetzen von $t_2 \approx 9,8$ in $T$ liefert den Punkt, an dem das Flugzeug noch $5\;\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.

Wahl des Richtungsvektors erläutern

Da das Flugzeug in gleichbleibender Höhe weiterfliegt, ändert sich die $z$ -Koordinate der Punkte auf der Flugroute nicht. Der dritte Eintrag des Richtungsvektors muss also Null sein. Diese Bedingung wir von $\overrightarrow{u}$ erfüllt.

Zudem fliegt das Flugzeug parallel zur Ebene $E,$ das heißt der Normalenvektor von $E$ muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein.

Für $\overrightarrow{u}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} &=& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] &=& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Da die zweite Bedingung ebenfalls erfüllt ist, ist $\overrightarrow{u}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, welche die neue Flugroute enthält.

Winkel berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 36,87^{\circ}$

Die neue Flugroute weicht somit um ca. $36,87^{\circ}$ von der alten ab.

Geradengleichung begründen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] &=&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$

Der Richtungsvektor der Geraden ist also ein Vielfaches von $\overrightarrow{PQ}.$

Mit $\overrightarrow{OP} = \pmatrix{-9\\ 25\\ 2}$ als Stützpunkt folgt die gegebene Geradengleichung, in der die Flugroute liegt.

Mittlere Geschwindigkeit berechnen

Die Länge von $\overrightarrow{PQ}$ ergibt sich mit:

Keyboard $\rightarrow$ Math2

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PQ} \right|&=&\left| \pmatrix{8\\-16\\0}\right|\\[5pt] &=& 8\cdot \sqrt{5} \,[\text{km}] \end{array}$

Mathematische Berechnung mit norm und Vektoren in einer Software-Oberfläche.

Die mittlere Geschwindigkeit $v$ lässt sich nun wie folgt berechnen:

Den Weg von $P$ nach $Q$ legt das Flugzeug folglich mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. $179\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ zurück.

Mit dem Kreuzprodukt aus zwei Verbindungsvektoren zwischen Punkten aus der Ebene $E$ kann ein Normalenvektor von $E$ berechnet werden.

Mit dem crossP-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\ -1\\-1}\times \pmatrix{2\\-3\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\-10\\-10} \\[5pt] &=& -5\cdot \pmatrix{1\\2\\2} \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Darstellung eines Vektorprodukts mit Zahlen in einer interaktiven Software.

Einsetzen des gekürzten Normalenvektors $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2}$ sowie der Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene $E$ liegt, folgt:

$d=9$

Rechenweg anzeigen

Eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ ist somit gegeben durch $E:\; x +2y+2z = 9.$

Die Koordinaten der Punkte $P_t$ auf der Geraden $g$ sind gegeben durch $P_t(-9 +t \mid 25-2t \mid 2).$

Einsetzen in die Koordinatengleichung von $E$ liefert:

$t=12$

Rechenweg anzeigen

Screenshot eines mathematischen Problems in einer Software mit einer Gleichung und einer Lösung.

Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS} &=& \pmatrix{-9\\ 25\\ 2} +12\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} &\\[5pt] &=& \pmatrix{3\\ 1\\ 2} \end{array}$

Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die Nebelwand im Punkt $S(3\mid 1\mid 2)$ durchstoßen.

$\text{(I)}$

$\text{(II)}$

$\text{(III)}$

$\text{(IV)}$

$\text{(V)}$

Einsetzen von $t_2 \approx 9,8$ in $T$ liefert den Punkt, an dem das Flugzeug noch $5\;\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.

Wahl des Richtungsvektors erläutern

Zudem fliegt das Flugzeug parallel zur Ebene $E,$ das heißt der Normalenvektor von $E$ muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein.

Für $\overrightarrow{u}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} &=& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] &=& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Da die zweite Bedingung ebenfalls erfüllt ist, ist $\overrightarrow{u}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, welche die neue Flugroute enthält.

Winkel berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 36,87^{\circ}$

Die neue Flugroute weicht somit um ca. $36,87^{\circ}$ von der alten ab.

$\text{(I)}$	$S(3\mid 1\mid 2)\quad T(-9+t\mid 25-2t \mid 2)$
$\text{(II)}$	$\begin{array}[t]{rll} d&=&\sqrt{(-9+t-3)^2 + (25-2t -1)^2 + (2-2)^2 } \\[5pt] &=&\sqrt{5t^2 -120 t +720} \end{array}$
$\text{(III)}$	$\sqrt{5t^2 -120t +720}= 5\,\text{(km)}$ also ist $t_1 = 12+\sqrt{5} \approx 14,2 \text{ und } t_2 = 12-\sqrt{5}\approx 9,8$
$\text{(IV)}$	$t_2 \lt t_1$ , also ist $t_2$ die gesuchte Lösung
$\text{(V)}$	Ergebnis: $\quad T_2\left(3-\sqrt{5} \mid 1+2\sqrt{5} \mid 2 \right)$