C - Stochastik

Eine Großbäckerei stellt Toastbrote mit einem (auf ganze Gramm gerundeten) Sollgewicht von $500\,\text{g}$ her. Bei $2\,\%$ aller Brote tritt eine Abweichung vom Sollgewicht auf.

Ein Einzelhändler im Gießener Umland erhält eine Lieferung von 50 Toastbroten.

1.1

Berechne, wie viele Brote mit einer Abweichung vom Sollgewicht der Einzelhändler erwarten kann, und erläutere, warum man die Prüfung der Toastbrote auf Abweichung vom Sollgewicht als Bernoullikette auffassen kann.

(3 BE)

1.2

Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: In der Lieferung weisen mehr als 4 Brote eine Abweichung vom Sollgewicht auf.

B: In der Lieferung weisen mindestens 47 Brote keine Abweichung vom Sollgewicht auf.

(5 BE)

Ein Hersteller von Teigportioniermaschinen möchte der Großbäckerei eine neue Maschine verkaufen. Um festzustellen, ob die neue Maschine zuverlässiger ist als die alte, werden beide Maschinen empirisch überprüft.

Die Verteilungen für das tatsächliche (auf ganze Gramm gerundete) Brotgewicht $Y$ sind in den folgenden Tabellen zu sehen. Bei der alten Maschine betragen der Erwartungswert $\mu=E(Y)=500$ und die Standardabweichung $\sigma\approx0,26$ .

alte Maschine

Gewicht in $\color{#fff}{g}$	Anteil Brote
$497$	$0,2\,\%$
$498$	$0,3\,\%$
$499$	$0,5\,\%$
$500$	$98\,\%$
$501$	$0,4\,\%$
$502$	$0,5\,\%$
$503$	$0,1\,\%$

neue Maschine

Gewicht in $\color{#fff}{g}$	Anteil Brote
$497$	$0,1\,\%$
$498$	$0,0\,\%$
$499$	$1,0\,\%$
$500$	$98\,\%$
$501$	$0,5\,\%$
$502$	$0,4\,\%$
$503$	$0,0\,\%$

Berechne für die neue Maschine den Erwartungswert und die Standardabweichung von $Y$ und beurteile aufgrund dieser Ereignisse, ob die Anschaffung der neuen Maschine eine Verbesserung in Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde.

(7 BE)

Bei der Überprüfung der Verpackungsmaschine stellt sich heraus, dass $2\,\%$ der Brote nicht ordnungsgemäß verpackt werden. Die Warenausgangskontrolle lässt mit einer Wahrscheinlichkeit von $3\,\%$ ein fehlerhaft verpacktes Brot passieren und sortiert mit einer Wahrscheinlichkeit von $4\,\%$ ein ordnungsgemäß verpacktes Brot fälschlicherweise aus.

3.1

Stelle diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel dar.

(4 BE)

3.2

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist.

(4 BE)

3.3

Seit einiger Zeit häufen sich die Reklamationen wegen fehlerhafter Verpackungen. Daraufhin lässt die Großbäckerei die Verpackungsmaschine genauer untersuchen und testet die Nullhypothese $H_0:\ p\leq0,02$ .

Bei einer Stichprobe von 100 Broten werden vier fehlerhaft verpackte Brote gefunden. Die Nullhypothese wird daraufhin nicht verworfen.

Prüfe auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ , ob diese Entscheidung gerechtfertigt ist.

(7 BE)

1.1

Erwartungswert berechnen

Der Aufgabenstellung können die Anzahl der gelieferten Toastbrote sowie die Wahrscheinlichkeit für Brote mit einer Abweichung vom Sollgewicht entnommen werden:

$n=50$ und $p=2\,\%$

Somit gilt für den Erwartungswert $\mu$ :

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,02 \cdot 50 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Der Einzelhändler kann erwarten, dass von den 50 gelieferten Toastbroten 1 Toastbrot vom Sollgewicht abweicht.

Aufassung als Bernoullikette erläutern

Bei einer Bernoullikette gibt es nur zwei mögliche Ereignisse. Dies ist bei der Prüfung der Toastbrote auch der Fall, da ein Toastbrot entweder dem Sollgewicht entspricht oder davon abweicht.

Außerdem muss gelten, dass die einzelnen Ereignisse stochastisch unabhängig voneinander sind. Da sich hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot vom Sollgewicht abweicht, nicht ändert, kann die Prüfung der Toastbrote folglich als Bernoullikette aufgefasst werden.

1.2

Ereignis $A$

$X$ beschreibt die Anzahl der Toastbrote, die eine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, und ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,02\,\%.$

Es gilt: $P(X\gt 4)= 1- P(X \leq 4)$

Mit dem CAS ergibt sich für $P(X \leq4)$ :

5: Wahrscheinlichkeit 5: Verteilungen D: Binomial Cdf

Screenshot einer Software mit Eingabefeldern für eine binomiale Verteilung.

Screenshot eines Computerbildschirms mit einer Berechnung in einer Software.

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\gt 4)&=& 1- P(X \leq 4)& \quad \scriptsize \mid CAS \\[5pt] &\approx& 1- 0,99679 & \\[5pt] &=& 0,00321 & \\[5pt] &\approx& 0,3 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Somit tritt das Ereignis $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $0,3\,\%$ auf.

Ereignis $B$

$Y$ beschreibt die Anzahl der Toastbrote, die keine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, und ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,98\,\%.$

Analog zu Ereignis $A$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq 47)&=& 1- P(Y \lt 47 )& \\[5pt] &=& 1- P(Y \leq 46 )&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx & 1- 0,01775&\\[5pt] &= & 0,98225& \\[5pt] &\approx & 98,2\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $98,2\,\%$ auf.

Erwartungswert bestimmen

Für den Erwartungswert des Brotgewichts mit der neuen Maschine gilt:

Vollständige Rechnung anzeigen

$E_{\text{Neu}}(Y)=500\text{g}$

Der Erwartungswert der neuen Maschine beträgt somit $500\text{g}$ .

Standardabweichung bestimmen

Die Standardabweichung lässt sich anhand der Varianz wie folgt berechnen: $\sigma =\sqrt{\text{Var}(Y)}$

Varianz $\text{Var}(Y)$ berechnen:

Vollständige Rechnung anzeigen

$\text{Var}(Y)=0,04 \text{g}^2$

Die Standardabweichung $\sigma_{\text{Neu}}(Y)$ folgt nun mit:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{\text{Neu}}(Y)&=&\sqrt{\text{Var}(Y)} \\[5pt] &=& \sqrt{0,04\text{ g}^2} \\[5pt] &=& 0,2 \text{g} \end{array}$

Somit beträgt die Standardabweichung für die neue Maschine $0,2 \,\text{g}.$

Neue Maschine beurteilen

Der Erwartungswert der beiden Maschinen ist identisch und liegt bei $E(Y)=500$ . Die Standardabweichung beträgt bei der alten Maschine $\sigma_{\text{Alt}}(Y)\approx 0,26$ und bei der neuen Maschine $\sigma_{\text{Neu}}(Y)= 0,2$ .

Da die Standardabweichung bei der neuen Maschine geringer als bei der alten Maschine ist, würde das Gewicht des Toastbrots mit der neuen Maschine also nicht mehr so stark vom Sollgewicht abweichen.

Die Anschaffung einer neuen Maschine würde somit eine Verbesserung in Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken.

3.1

$V\mathrel{\widehat{=}} \text{ „ordnungsgemäße Verpackung"}$

$W \mathrel{\widehat{=}} \; \text{„Brot passiert die Warenausgabe"}$

Baumdiagramm

Aus der Aufgabenstellung können einige Wahrscheinlichkeiten bereits entnommen werden:

$P(\overline{V})=0,02$

$P_\overline{V}(W)=0,03$

$P_V(\overline{W})=0,04$

Baumdiagramm Verpackung Brot Hessen 2016

Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten können nun durch die Gegenereignisse berechnet werden:

$P(V) = 1 - P (\overline{V}) = 1 - 0,02 = 0,98$

$P_{\overline{V}}(\overline{W}) = 1 - P_{\overline{V}} (W) = 1 - 0,03 = 0,97$

$P_{V}(W) = 1 - P_{V} (\overline{W}) = 1 - 0,04 = 0,96$

Vierfeldertafel

Aus der Aufgabenstellung können bereits folgende Werte entnommen werden:

	$\, \; \; \color{#fff}{W }\; \; \;$	$\; \; \; \color{#fff}{\overline{W}}$
$\color{#fff}{V}$	$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$	$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$	$0,98$
$\color{#fff}{\overline{V}}$			$0,02$
$\; \; \; \; \;$			$1$

Gegeben sind zudem die Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline{V}} (W)=0,03$ und $P_{V} (\overline{W})=0,04.$

Die weiteren Felder können nun wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rl} P (\overline{V} \cap W)=& P (\overline{V}) \cdot P_{\overline{V}} (W) \\[5pt] =& 0,02 \cdot 0,03 \\[5pt] =&0,0006 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rl} P (V \cap \overline{W})=& P (V) \cdot P_{V} (\overline{W}) \\[5pt] =& (1-0,02) \cdot 0,04 \\[5pt] =&0,0392 \end{array}$

Mit den Rechenregeln für Vierfeldertafeln können nun die fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P (V \cap W)=& P (V) -P (V \cap \overline{W}) \\[5pt] =& 0,98 - 0,0392 \\[5pt] =&0,9408 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{V} \cap \overline{W})=& P (\overline{V}) -P (\overline{V} \cap W) \\[5pt] =& 0,02 - 0,0006 \\[5pt] =&0,0194 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{W})=& P (\overline{V} \cap \overline{W}) +P (V \cap \overline{W}) \\[5pt] =& 0,0194 + 0,0392 \\[5pt] =&0,0586 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (W)=& P (\overline{V} \cap W) +P (V \cap W) \\[5pt] =& 0,0006 + 0,9408 \\[5pt] =&0,9414 \end{array}$

Die vollständige Vierfeldertafel ist somit gegeben durch:

	$\; \; \; \color{#fff}{W}$	$\; \; \;\color{#fff}{\overline{W}}$
$\color{#fff}{V}$	$0,09408$	$0,0392$	$0,98$
$\color{#fff}{\overline{V}}$	$0,0006$	$0,0195$	$0,02$
	$0,9414$	$0,0586$	$1$

3.2

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{W}}(\overline{V})$ .

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{W}}(\overline{V})&=&\dfrac{P_{\overline{V}}(\overline{W})\cdot P(\overline{V})}{P(\overline{W})} & \\[5pt] &=& \dfrac{0,97 \cdot 0,02}{0,98\cdot 0,04+0,02\cdot 0,97}& \\[5pt] &=& \dfrac{0,97 \cdot 0,02}{0,586}& \\[5pt] &\approx& 0,3311& \\[5pt] &=& 33,11 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist, $33,11\,\%$ .

3.3

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaft verpackten Brote und ist binomialverteilt mit $n=100.$

Es soll ein rechtsseitiger Hypothesentest mit der Nullhypothese $H_0: p\leq 0,02$ durchgeführt werden:

Der Ablehnungsbereich ist definiert als $\; \overline{A}={k,\dotsc ,100}.$

Es soll also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k)&\leq& 5 \,\% & \\[5pt] 1- &\leq& 0,05 & \\[5pt] P(X\leq k-1)&\geq& 0,95& \\[5pt] \end{array}$

Aus der Tabelle folgt:

$P(X\leq 4)=0,9492$

$P(X\leq 5)=0,9845$ .

Somit folgt für den Ablehungsbereich:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{A}&=& {5+1,\dotsc ,100}& \\[5pt] &=&{6,\dotsc ,100} \end{array}$

Da nur 4 fehlerhafte Verpackungen vorliegen, wird die Nullhypothese nicht verworfen und die Entscheidung ist somit gerechtfertigt.

1.1

Erwartungswert berechnen

Der Aufgabenstellung können die Anzahl der gelieferten Toastbrote sowie die Wahrscheinlichkeit für Brote mit einer Abweichung vom Sollgewicht entnommen werden:

$n=50$ und $p=2\,\%$

Somit gilt für den Erwartungswert $\mu$ :

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,02 \cdot 50 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Der Einzelhändler kann erwarten, dass von den 50 gelieferten Toastbroten 1 Toastbrot vom Sollgewicht abweicht.

Aufassung als Bernoullikette erläutern

Bei einer Bernoullikette gibt es nur zwei mögliche Ereignisse. Dies ist bei der Prüfung der Toastbrote auch der Fall, da ein Toastbrot entweder dem Sollgewicht entspricht oder davon abweicht.

1.2

Ereignis $A$

$X$ beschreibt die Anzahl der Toastbrote, die eine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, und ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,02\,\%.$

Es gilt: $P(X\gt 4)= 1- P(X \leq 4)$

Mit dem CAS ergibt sich für $P(X \leq4)$ :

Aktion $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf

Screenshot einer mathematischen Software mit der Berechnung der binomialen kumulativen Verteilungsfunktion.

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\gt 4)&=& 1- P(X \leq 4)& \quad \scriptsize \mid CAS \\[5pt] &\approx& 1- 0,99679 & \\[5pt] &=& 0,00321 & \\[5pt] &\approx& 0,3 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Somit tritt das Ereignis $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $0,3\,\%$ auf.

Ereignis $B$

$Y$ beschreibt die Anzahl der Toastbrote, die keine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, und ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,98\,\%.$

Analog zu Ereignis $A$ ergibt sich:

Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $98,2\,\%$ auf.

Erwartungswert bestimmen

Für den Erwartungswert des Brotgewichts mit der neuen Maschine gilt:

Vollständige Rechnung anzeigen

$E_{\text{Neu}}(Y)=500\text{g}$

Der Erwartungswert der neuen Maschine beträgt somit $500\text{g}$ .

Standardabweichung bestimmen

Die Standardabweichung lässt sich anhand der Varianz wie folgt berechnen: $\sigma =\sqrt{\text{Var}(Y)}$

Varianz $\text{Var}(Y)$ berechnen:

Vollständige Rechnung anzeigen

$\text{Var}(Y)=0,04 \text{g}^2$

Die Standardabweichung $\sigma_{\text{Neu}}(Y)$ folgt nun mit:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{\text{Neu}}(Y)&=&\sqrt{\text{Var}(Y)} \\[5pt] &=& \sqrt{0,04\text{ g}^2} \\[5pt] &=& 0,2 \text{g} \end{array}$

Somit beträgt die Standardabweichung für die neue Maschine $0,2 \,\text{g}.$

Neue Maschine beurteilen

Da die Standardabweichung bei der neuen Maschine geringer als bei der alten Maschine ist, würde das Gewicht des Toastbrots mit der neuen Maschine also nicht mehr so stark vom Sollgewicht abweichen.

Die Anschaffung einer neuen Maschine würde somit eine Verbesserung in Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken.

3.1

$V\mathrel{\widehat{=}} \text{ „ordnungsgemäße Verpackung"}$

$W \mathrel{\widehat{=}} \; \text{„Brot passiert die Warenausgabe"}$

Baumdiagramm

Aus der Aufgabenstellung können einige Wahrscheinlichkeiten bereits entnommen werden:

$P(\overline{V})=0,02$

$P_\overline{V}(W)=0,03$

$P_V(\overline{W})=0,04$

Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten können nun durch die Gegenereignisse berechnet werden:

$P(V) = 1 - P (\overline{V}) = 1 - 0,02 = 0,98$

$P_{\overline{V}}(\overline{W}) = 1 - P_{\overline{V}} (W) = 1 - 0,03 = 0,97$

$P_{V}(W) = 1 - P_{V} (\overline{W}) = 1 - 0,04 = 0,96$

Vierfeldertafel

Aus der Aufgabenstellung können bereits folgende Werte entnommen werden:

	$\, \; \; \color{#fff}{W }\; \; \;$	$\; \; \; \color{#fff}{\overline{W}}$
$\color{#fff}{V}$	$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$	$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$	$0,98$
$\color{#fff}{\overline{V}}$			$0,02$
$\; \; \; \; \;$			$1$

Gegeben sind zudem die Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline{V}} (W)=0,03$ und $P_{V} (\overline{W})=0,04.$

Die weiteren Felder können nun wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rl} P (\overline{V} \cap W)=& P (\overline{V}) \cdot P_{\overline{V}} (W) \\[5pt] =& 0,02 \cdot 0,03 \\[5pt] =&0,0006 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rl} P (V \cap \overline{W})=& P (V) \cdot P_{V} (\overline{W}) \\[5pt] =& (1-0,02) \cdot 0,04 \\[5pt] =&0,0392 \end{array}$

Mit den Rechenregeln für Vierfeldertafeln können nun die fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P (V \cap W)=& P (V) -P (V \cap \overline{W}) \\[5pt] =& 0,98 - 0,0392 \\[5pt] =&0,9408 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{V} \cap \overline{W})=& P (\overline{V}) -P (\overline{V} \cap W) \\[5pt] =& 0,02 - 0,0006 \\[5pt] =&0,0194 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{W})=& P (\overline{V} \cap \overline{W}) +P (V \cap \overline{W}) \\[5pt] =& 0,0194 + 0,0392 \\[5pt] =&0,0586 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P (W)=& P (\overline{V} \cap W) +P (V \cap W) \\[5pt] =& 0,0006 + 0,9408 \\[5pt] =&0,9414 \end{array}$

Die vollständige Vierfeldertafel ist somit gegeben durch:

	$\; \; \; \color{#fff}{W}$	$\; \; \;\color{#fff}{\overline{W}}$
$\color{#fff}{V}$	$0,09408$	$0,0392$	$0,98$
$\color{#fff}{\overline{V}}$	$0,0006$	$0,0195$	$0,02$
	$0,9414$	$0,0586$	$1$

3.2

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{W}}(\overline{V})$ .

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist, $33,11\,\%$ .

3.3

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaft verpackten Brote und ist binomialverteilt mit $n=100.$

Es soll ein rechtsseitiger Hypothesentest mit der Nullhypothese $H_0: p\leq 0,02$ durchgeführt werden:

Der Ablehnungsbereich ist definiert als $\; \overline{A}={k,\dotsc ,100}.$

Es soll also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k)&\leq& 5 \,\% & \\[5pt] 1- &\leq& 0,05 & \\[5pt] P(X\leq k-1)&\geq& 0,95& \\[5pt] \end{array}$

Aus der Tabelle folgt:

$P(X\leq 4)=0,9492$

$P(X\leq 5)=0,9845$ .

Somit folgt für den Ablehungsbereich:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{A}&=& {5+1,\dotsc ,100}& \\[5pt] &=&{6,\dotsc ,100} \end{array}$

Da nur 4 fehlerhafte Verpackungen vorliegen, wird die Nullhypothese nicht verworfen und die Entscheidung ist somit gerechtfertigt.