B2 - Analysis

Bei der Dampfpfeife handelt es sich um eine technische Vorrichtung, bei der durch hochkomprimierten Wasserdampf ein akustisches Signal erzeugt wird. Dampfpfeifen werden beispielsweise bei Dampfschiffen oder Dampflokomotiven eingesetzt. Über eine Änderung der Dosierung des durchströmenden Wasserdampfs können unterschiedliche Pfeifsignale erzeugt werden.
Zur Untersuchung verschieden erzeugter Pfeifsignale kann mithilfe einer speziellen Messvorrichtung der sogenannte Wasserdampfstrom bestimmt werden. Darunter versteht man das Volumen des ausströmenden Wasserdampfs pro Zeiteinheit.
Die im Folgenden verwendeten Funktionen $g$ , $f$ und $m$ sowie die Funktionenschar $f_k$ modellieren jeweils den gemessenen Wasserdampfstrom für unterschiedliche Pfeifsignale. Hierbei gibt $t$ die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn an; die Funktionswerte beschreiben den Wasserdampfstrom in $\dfrac{\text Liter}{Sekunde}$ $\left(\dfrac{l}{s}\right)$ .

In der Abbildung sind der Graph der Funktion $g$ im Intervall $[0;3,5]$ sowie die hellgrünen Rechtecke der Obersumme $\overline {S_7}$ und ein dunkelgrünes Rechteck der Untersumme $\underline {S_7}$ dargestellt.

1.1

Zeichne die fehlenden Rechtecke der Untersumme $\underline {S_7}$ in das Koordinatensystem.

(2 BE)

1.2

Berechne die Obersumme $\overline {S_7}$ sowie die Untersumme $\underline {S_7}$ unter Verwendung der Wertetabelle.

$t$	$g(t)$
$0$	$0$
$0,5$	$4,3$
$1$	$3,6$
$2$	$3$
$2,5$	$2,6$
$3$	$2,3$
$3,5$	$1,4$

Schätze den Inhalt der Fläche $A$ ab, die der Graph der Funktion $g$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[0;3,5]$ einschließt.

(5 BE)

1.3

Erkläre unter Verwendung der Einheiten, warum der Flächeninhalt der Rechtecke aus Aufgabe 1.2 im Sachzusammenhang ein Volumen beschreibt.

(3 BE)

2.1

Der Wasserdampfstrom eines weiteren Pfeifsignals kann im Intervall $[0;2,6]$ durch eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades modelliert werden.
Hierbei soll gelten: Zu den Zeitpunkten $t=0\,\text{s}$ und $t=2,6^\,\text{s}$ beträgt der Wasserdampfstrom jeweils $0 \dfrac{\,\text{l}}{\,\text{s}}$ , bei $t=0,5s$ beträgt der Wasserdampfstrom $2,46\dfrac{\,\text{l}}{\,\text{s}}$ . Zum Zeitpunkt $t=2,6\,\text{s}$ besitzt die Funktion ein lokales Minimum.
Ermittle die Gleichung der Funktion $f$ . Gib hierzu die Koeffizienten auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

(7 BE)

Betrachtet wird im Folgenden die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(t)=1,12\cdot t^3-k\cdot t^2+7,54\cdot t$ , $k\in\mathbb{R^+}$ , im Intervall $I=[0;2,6]$ .

2.2

Für $k=5,8$ modelliert die zugehörige Funktion den Wasserdampfstrom des Pfeifsignals aus Aufgabe 2.1. Bestimme den Zeitpunkt des maximalen Wasserdampfstroms sowie den maximalen Wasserdampfstrom.

(3 BE)

2.3

Berechne für die Modellierung mit der Funktion $f_{5,8}$ das Volumen des insgesamt im Zeitraum von $0$ bis $2,6$ Sekunden ausgeströmten Wasserdampfs.

(3 BE)

2.4

Beschreibe den Einfluss des Parameters $k$ auf die Lage und den Wert des jeweiligen lokalen Maximums der Funktionenschar $f_k$ , indem man $k$ zwischen $5,6$ und $6$ variiert. Stelle dein Ergebnis auch durch eine Skizze dar.
Bedründe, warum zum Beispiel $f_6$ zur Modellierung des Wasserdampfstroms eines Pfeifsignals nicht geeignet ist.

(5 BE)

In der Abbildung sind Ausschnitte der Graphen der Funktionen $m$ , $M_1$ und $M_2$ dargestellt.

3.1

Bestätige durch Angabe von drei unterschiedlichen Argumenten, dass $M_1$ und $M_2$ mögliche Stammfunktionen von $m$ sind.

(3 BE)

Der Wasserdampfstrom eines weiteren Pfeifsignals mit der Dauer von $2,65$ Sekunden kann durch die Funktion $m$ modelliert werden. Für $M_1$ und $M_2$ gilt im Intervall $[0;2,65]$ :
$M_1(t)=0,36\cdot t^4-2,54\cdot t^3+5,04 \cdot t^2$ und $M_2(t)=0,36\cdot t^4-2,54\cdot t^3+5,04 \cdot t^2+1$

3.2

Begründe, warum $M_2$ nicht geeignet ist, das Volumen des bis zu einem beliebigen Zeitpunkt ausgeströmten Wasserdampfs dieses Pfeifsignals zu modellieren.
Gib $M_1(2)$ an und erkläre die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

(4 BE)

3.3

Erläutere die Bedeutung der Zeilen $(1)$ und $(2)$ im Kasten.

Bestimme die Lösungen der Ungleichung in Zeile $(2)$ und deute diese im Sachzusammenhang.

(1)

$\(M$

(2)

$1,44\cdot t^3-7,62\cdot t^2+10,08\cdot t \geq 3$

Bestimme die Lösungen der Ungleichung in Zeile $(2)$ und deute diese im Sachzusammenhang.

(5 BE)

1.1

Rechtecke der Untersumme $\underline {S_7}$

1.2

Obersumme:

$0,5\cdot 4,3$ $+0,5\cdot 4,3$ $+0,5\cdot 3,6$ $+0,5\cdot 3$ $+0,5\cdot 2,6$ $+0,5\cdot 2,3$ $+0,5\cdot 1,4$ $=10,75$

Untersumme:

$0,5\cdot 0$ $+0,5\cdot 3,6$ $+0,5\cdot 3$ $+0,5\cdot 2,6$ $+0,5\cdot 2,3$ $+0,5\cdot 1,4$ $+0,5\cdot 0=6,45$

Abgeschätzter Inhalt der Fläche $A$ :

$\dfrac{\text{Obersumme}+\text{Untersumme}}{2}$ $=\dfrac{10,75+6,45}{2}$ $=8,6$

1.3

Auf der $y$ -Achse wird der Wasserdampfstrom in Liter pro Sekunde dargestellt: $\dfrac{l}{s}$

Auf der $x$ -Achse wird die Zeit in Sekunden erfasst: $s$

Für ein Rechteck mit der Länge $a$ und der Breite $b$ ergibt sich somit der Flächeninhalt $A$ :

$A=a\cdot b= s\cdot \dfrac{l}{s}=l$

Da es sich bei Liter um eine Volumeneinheit handelt, beschreibt der Flächeninhalt der Rechtecke im Sachzusammenhang ein Volumen.

2.1

Ganzrationale Funktion dritten Grades:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& a x^3+b x^2+cx+d \quad \scriptsize \\[5pt] f$

Gegebene Werte für $x$ und $y$ einsetzen:

$\(\begin{array}[t]{rll} (1)& f(0)&=& a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d \quad \scriptsize \\[5pt] &&=& 0 \\[5pt] (2) & f(2,6)&=& a\cdot 2,6^3+b\cdot 2,6^2+c\cdot 2,6 \quad \scriptsize \\[5pt] &&=& 0 \\[5pt] (3) & f(0,5)&=& a\cdot 0,5^3+b\cdot 0,5^2+c\cdot 0,5 \quad \scriptsize \\[5pt] &&=& 2,46 \\[5pt] (4) & f$

Aus der Gleichung $(1)$ folgt, dass $d=0$ ist.

Die Gleichungen $(2)-(4)$ werden mithilfe des CAS Befehls für Gleichungssystem gelöst:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Der CAS liefert die Werte $a=1,12$ , für $b=-5,80$ und für $c=7,54.$

Für die Gleichung der Funktion $f$ ergibt sich:

$f(x)=1,12x^3-5,80x^2+7,54x$

2.2

$f_{5,8}(t)=1,12t^3-5,8t^2+7,54t$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Zum Zeitpunkt $t\approx0,87$ ist der Wasserdampfstrom maximal.

$f(0,87)\approx2,91$

Der maximale Wasserdampfstrom beträgt zu diesem Zeitpunkt etwa $2,91 \dfrac{\,\text{l}}{\,\text{s}}$ .

2.3

Berechnen des Integrals der Funktion $f_{5,8}$ mit $0$ als untere Grenze und $2,6$ als obere Grenze:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0}^{2,6}1,12\cdot t^3-k\cdot t^2+7,54\cdot t \text{ } \mathrm dt=4,3\text{[VE]}$

Das Volumen des insgesamt im Zeitraum von $0$ bis $2,6$ Sekunden ausgeströmten Wasserdampfs beträgt $4,3\,\text{l}$ .

2.4

Durch das Variieren des Parameters $k$ zwischen $5,6$ und $6$ erkennt man, dass je kleiner der Wert des Parameters $k$ ist, desto höher liegt das jeweilige Maximum.

$f_6$ eignet sich nicht zur Modellierung des Wasserdampfstroms eines Pfeifsignals, da der durchströmende Wasserdampf keinen negativen Wert annehmen kann.

3.1

(1)

$m\geq 0$ ist für alle $t\in[0;2,6]$ , sodass die Graphen der Stammfunktionen von $m$ in diesem Intervall monoton steigend sein müssen.

(2)

Bis etwa $t=0,9$ ist der Graph von $m$ monoton steigend, sodass die Graphen der Stammfunktionen in dem Intervall $[0;0,9]$ linksgekrümmt sein müssen.
Ab dem Zeitpunkt $t=0,9$ ist der Graph von $m$ monoton fallend, sodass die Graphen der Stammfunktionen ab diesem Zeitpunkt rechtsgekrümmt sein müssen.

(3)

Der Graph von $m$ weist zum Zeitpunkt $t\approx 0,9$ einen Hochpunkt auf, sodass an dieser Stelle ein Wendepunkt des Graphen der Stammfunktion existiert. Da zum Zeitpunkt $t\approx 0,9$ die Graphen $M_1$ und $M_2$ einen Wechsel von Linkskrümmung zu Rechtkrümmung aufweisen, handelt es sich bei $M_1$ und $M_2$ um mögliche Stammfunktionen von $m$ .

$M_1$ und $M_2$ erfüllen für die drei Argumente die Bedingungen, sodass $M_1$ und $M_2$ mögliche Stammfunktionen von $m$ sind.

3.2

$M_2$ eignet sich nicht zur Modellierung, da bereits zu Beginn, also zum Zeitpunkt $t=0$ , ein Liter Wasserdampfstrom pro Sekunde ausströmen müsste.

3.3

(1)

Zeile (1) ist die Ableitung der Funktion $M_1$ , die das ab dem Zeitpunkt $t=0$ ausgeströmte Dampfvolumen angibt. Die Ableitung $\left( M _1^{\prime}= m \right)$ gibt also den Wasserdampfstrom in Liter pro Sekunde $\left(\frac{\text { Liter }}{\text { Sekunde }}\right)$ für einen bestimmten Zeitpunkt an.

(2)

Zeile (2) stellt die Frage, für welchen Zeitraum die Ableitung $M_1^{\prime}(t)$ größer oder gleich 3 ist bzw. - im Sachzusammenhang - für welchen Zeitraum der Wasserdampfstrom größer oder gleich $3 \frac{\text { Liter }}{\text { Sekunde }}$ beträgt.

$\begin{array}[t]{rll} 1,44\cdot t^3-7,62\cdot t^2+10,08\cdot t &\geq& 3 \quad \scriptsize \mid -3 \\[5pt] 1,44\cdot t^3-7,62\cdot t^2+10,08\cdot t-3 &\geq& 0\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit Hilfe des CAS ergibt sich für $t$ :

$0,42\leq t\leq1,44$ und $t\geq3,43$ .

Da im Vortext zu der Teilaufgabe $3.2$ der Definitionsbereich $[0 ; 2,65]$ beträgt, liegt die zweite Lösung außerhalb dieses Bereiches. Also beträgt der Wasserdampfstrom im Bereich von etwa 0,42 bis 1,44 Sekunden mindestens 3 Liter pro Sekunde.