B2 - Analysis

Eine Brauerei stellt Fassbrause (Limonade aus Malzextrakt mit Kräuterzusätzen) und alkoholfreies Bier her.

Die Entwicklung der wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause über das Jahr hinweg lässt sich für das vergangene Jahr näherungsweise durch die Funktion $f$ mit

$f(t)= 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}+10$

auf dem Intervall $[0;52]$ modellieren. Hierbei gibt $t$ die Zeit in Wochen seit Jahresbeginn an;

$f(t)$ beschreibt die wöchentliche Produktionsmenge in $\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

1.1

Zeige rechnerisch, dass für $\(f$ gilt: $\(f$

(4 BE)

1.2

Berechne die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f.$

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

(4 BE)

1.3

Begründe anhand des Funktionsterms von $f,$ dass die wöchentliche Produktionsmenge den Wert von $28\;\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ nicht überschreitet.

(3 BE)

1.4

Es gilt $\(f$

Deute dies im Sachzusammenhang.

(3 BE)

1.5

Es gilt: $\; \dfrac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt \approx 18,6$

Deute diese Berechnung im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Für das vergangene Jahr soll die wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers in $\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ zum Zeitpunkt $t$ in Wochen seit Jahresbeginn durch eine quadratische Funktion $g$ auf dem Intervall $[0;52]$ beschrieben werden.

Zu Beginn des Jahres betrug die wöchentliche Produktionsmenge $7\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{woche}}.$

Zum Zeitpunkt $t=30$ Wochen wurde mit $25\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ die größte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht.

2.1

Leite die Funktionsgleichung von $g$ her und zeige, dass gilt:

$g(t)= -0,02t^2+1,2t+7$

Skizziere den Funktionsgraphen von $g$ in das Koordinatensystem aus der Aufgabenstellung.

(7 BE)

2.2

Der Marketingberater der Brauerei trifft die folgenden Aussagen:

„Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause und die entsprechende Differenz für das alkoholfreie Bier unterscheiden sich um weniger als $1\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ “

„Die Gesamtproduktion der Fassbrause innerhalb des vergangenen Jahres in $\text{m}^3$ war größer als die des alkoholfreien Biers.“

„In der Nachbarbrauerei beträgt die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers innerhalb eines Jahres mehr als $1.000.000$ Liter. Um dies zu erreichen, müssten wir unsere Produktion deutlich steigern.“

Prüfe die Aussagen des Beraters.

(8 BE)

Die wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers soll erhöht werden. Zur Modellierung dieses Sachverhalts werden im Folgenden geignete Funktionen der Funktionenschar $g_m$ und $g_n$ verwendet mit $g_m(t)= m\cdot (-0,02t^2 +1,2t+7)$ und $g_n(t) = -0,02t^2+1,2t+7+n.$

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Wochen seit Jahresbeginn an; $g_m(t)$ und $g_n(t)$ beschreiben die wöchentliche Produktionsmenge in $\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Es wird prognostiziert, dass die wöchentliche Produktionsmenge für den Zeitpunkt $t=30$ Wochen $35\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ beträgt.

3.1

Bestimme die Parameter $m$ und $n$ der beiden Funktionenscharen so, dass zum Zeitpunkt $t=30$ Wochen die prognostizierte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht wird.

(4 BE)

3.2

Es sei $m=1,4$ und $n=10.$

Beschreibe jeweils im Sachzusammenhang die Wirkung des Parameters auf den Verlauf der Graphen $g_m$ bzw. $g_n$ im Vergleich zum Graphen von $g.$

(4 BE)

1.1

Mit der Kettenregel ergibt sich:

$\( f$

Rechenweg anzeigen

1.2

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Es gilt:

$\( f$

Rechnung anzeigen

Da die Untersuchung der notwendigen Bedingung laut Aufgabenstellung ausreichend ist, folgt, dass der Graph von $f$ seinen Hochpunkt an der Stelle $t_H=26$ besitzt.

2. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(26)&=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(26-26)^2} + 10 \\[5pt] &=& 28 \end{array}$

Die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$ lauten somit $H(26\mid 28).$

1.3

Es gilt $-\dfrac{1}{200}(t-26)^2\leq 0$ für alle $t\in \mathbb{R}.$

Der Faktor $\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}$ kann daher maximal den Wert $1$ annehmen.

Insgesamt gilt daher:

$\underbrace{18\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}}_{\leq 1}}_{\leq 18} +10 \leq 28$

Die wöchentliche Produktionsmenge kann somit den Wert von $28\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ nicht überschreiten.

1.4

Da $\(f$ gilt, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $t=36$ einen Wende- oder Sattelpunkt.

Aus Aufgabe 1.2 folgt, dass der einzige Extrempunkt an der Stelle $t_H=26$ vorliegt, somit muss an der Stelle $t=36$ ein Wendepunkt, also ein Punkt mit maximaler Steigung oder maximalem Gefälle des Graphen vorliegen.

Mit der Abbildung aus der Aufgabenstellung folgt, dass der Graph von $f$ für $t=36$ sein maximales Gefälle aufweist.

Nach 36 Wochen nimmt die wöchentliche Produktionsmenge also am stärksten ab.

1.5

Mit dem Term $\dfrac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt$ wird der mittlere Funktionswert von $f$ für $0\leq t \leq 26$ berechnet.

Dies entspricht der mittleren wöchentlichen Produktionsmenge in den ersten $26$ Wochen.

In den ersten 26 Wochen werden also im Schnitt ca. $18,6\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ Fassbrause produziert.

2.1

Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$ herleiten

Allgemeine quadratische Funktionsgleichung:

$g(t) = a\cdot (t-b)^2 + c$

Hierbei sind $(b\mid c)$ die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g.$

Die größte wöchentliche Produktionsmenge betrug laut Aufgabenstellung $25\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ und wurde zum Zeitpunkt $t=30$ erreicht. Somit besitzt der Hochpunkt des Graphen von $g$ die Koordinaten $(30\mid 25)$ und es folgt:

$g(t)= a\cdot (t-30)^2 +25$

Da die wöchentliche Produktionsmenge zu Beginn des Jahres $7\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ betrug, gilt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& 7 &\\[5pt] a\cdot (0-30)^2 +25 &=& 7\\[5pt] 900\cdot a +25 &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 900\cdot a &=& -18&\quad \scriptsize \mid\; :900 \\[5pt] a &=& -0,02 \end{array}$

Eine Gleichung der Funktion $g$ lautet somit $g(t)= -0,02\cdot(t-30)^2+25.$

Anwenden der 2. binomischen Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& -0,02\cdot(t-30)^2+25 \\[5pt] &=& -0,02 \cdot \left(t^2-60t +900\right)+25 \\[5pt] &=& -0,02t^2+1,2t-18+25\\[5pt] &=& -0,02t^2+1,2t +7 \end{array}$

Funktionsgraphen skizzieren

2.2

1. Aussage

Die größte wöchentliche Produktionsmenge der Fassbrause beträgt $28\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Da der Graph von $f$ nur einen Extrempunkt besitzt, bei dem es sich um einen Hochpunkt handelt, kann es keinen lokalen Tiefpunkt geben. Der kleinste Funktionswert im betrachteten Intervall $[0;52]$ muss daher auf einem der beiden Intervallrändern liegen:

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(0-26)^2}+10 \\[5pt] &\approx& 10,613 \\[10pt] f(52) &=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(52-26)^2}+10 \\[5pt] &\approx& 10,613 \\[10pt] \end{array}$

Die kleinste wöchentliche Produktionsmenge der Fassbrause beträgt also ca. $10,613\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Die Differenz zwischen der kleinsten und der größten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause beträgt folglich ca. $28- 10,613 = 17,387\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Die größte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers beträgt $25\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Da die Funktion $g$ quadratisch ist, kann auch ihr Graph keinen weiteren Extrempunkt als den Hochpunkt besitzen. Hier muss also ebenfalls der kleinste Funktionswert auf einem der beiden Intervallränder angenommen werden:

$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& -0,02\cdot 0^2 +1,2\cdot 0 +7 \\[5pt] &=& 7 \\[10pt] g(52) &=& -0,02\cdot 52^2 +1,2\cdot 52 +7 \\[5pt] &=& 15,32 \\[10pt] \end{array}$

Die kleinste wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers beträgt also $7\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Die Differenz zwischen der kleinsten und der größten wöchentlichen Produktionsmenge des alkoholfreien Biers beträgt also ca. $25 - 7 = 18\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause und die entsprechende Differenz des alkoholfreien Biers unterscheiden sich also um ca. $18-17,387=0,613\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$

Diese Aussage des Beraters ist also wahr.

2. Aussage

Aus Aufgabe 1.5 folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt &\approx& 18,6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 26 \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt &=& 483,6 \end{array}$

Aufgrund der Symmetrie des Graphen von $f$ ergibt sich die Gesamtproduktion der Fassbrause zu:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{52}f(t)\;\mathrm dt&=& 2\cdot \displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &\approx & 2\cdot 483,6 \\[5pt] &=& 967,2 \;[\text{m}^3]\\[5pt] \end{array}$

Für die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{52}g(t)\;\mathrm dt \approx 1049,013 \;[\text{m}^3]$

Rechenweg anzeigen

Alternativ können die beiden Integrale auch mit dem CAS berechnet werden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Damit war die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers im vergangenen Jahr größer als die der Fassbrause.

Die zweite Aussage des Beraters ist somit nicht korrekt.

3. Aussage

Im vergangenen Jahr hat die betrachtete Brauerei ca. $1049\,\text{m}^3$ alkoholfreies Bier produziert.

Es gilt $1 \,\text{m}^3 = 1000 \, l$ und somit $1049\,\text{m}^3 = 1.049.000\,l.$

Dies sind mehr als die Gesamtproduktion der Nachbarbrauerei von $1.000.000\,l.$

Die dritte Aussage des Beraters ist also ebenfalls falsch.

3.1

Für $g_m$ soll gelten:

$g_m(30) = 35$

Rechenweg anzeigen

Analog ergibt sich für $g_n:$

$g_n(30) = 35$

Rechenweg anzeigen

Für $m=1,4$ und $n=10$ wird zum Zeitpunkt $t=30$ die prognostizierte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht.

3.2

Der Parameter $m=1,4$ führt zu einer Streckung des Graphen von $g$ in $y$ -Richtung. Dadurch wird die wöchentliche Produktionsmenge zu jedem Zeitpunkt um das 1,4-Fache erhöht.

Der Parameter $n=10$ verschiebt den Graphen von $g$ in positive $y$ -Richtung. Dadurch wird die wöchentliche Produktionsmenge zu jedem Zeitpunkt um $10\,\dfrac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ erhöht.

Hilfsskizze