B2 - Analysis

Der Ederstausee in Hessen ist bezogen auf sein Volumen der drittgrößte Stausee in Deutschland und wird unter anderem dazu genutzt, die Schifffahrt auf der Weser in den Sommermonaten sicherzustellen.

Sein maximales Fassungsvermögen beträgt rund 200 Millionen Kubikmeter Wasser. Über eine Staumauer wird der Pegelstand und somit die Füllmenge reguliert.

Für die Monate Januar $(t=0)$ bis Oktober 2019 konnten folgende Füllmengen ermittelt werden:

Zeit $\color{#fff}{t}$ in Monaten	Füllmenge in $\color{#fff}{\text{Mio. m}^3}$
$0$	$22$
$1$	$120$
$2$	$180$
$3$	$198$
$4$	$185$
$5$	$155$
$6$	$115$
$7$	$75$
$8$	$40$
$9$	$25$

Dabei beziehen sich die Zeitpunkte $t$ jeweils auf die Monatsmitte, die Füllmengen sind Mittelwerte der jeweiligen Monate. Vereinfachend wird angenommen, dass jeder Monat mit 30 Tagen gleich lang ist.

Die Füllmenge des Stausees $($ in $\text{Mio. m}^3)$ soll in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Monaten) näherungsweise durch verschiedene Funktionen modelliert werden.

1.1

Zeichne die gegebenen Datenpunkte in ein skaliertes und beschriftetes Koordinatensystem ein.

(3 BE)

1.2

Die Füllmenge des Stausees soll durch zwei ganzrationale Funktionen dritten Grades, $f$ und $g,$ modelliert werden.

1.2.1

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion $f,$ deren Graph durch die vier Datenpunkte zu den Zeitpunkten $t=0, 3, 6$ und $9$ verläuft.

(4 BE)

1.2.2

Erläutere den folgenden Lösungsansatz zur Rekonstruktion der Funktion $g.$

Beurteile, ob er geeignet ist.

$\(\begin{array}[t]{rll} (1)&& g(1)&=&120 \\[5pt] (2)&& g(6)&=&115 \\[5pt] (3)&& g$

(4 BE)

1.3

Eine andere Näherungsfunktion für die Modellierung der Füllmenge des Stausees ist die Funktion $i$ mit $i(t)=1,525t^3-28t^2+129t+21.$

Bestimme mithilfe der Funktionsgleichung unter Angabe aller notwendigen Ableitungen die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von $i$ und deute die Ergebnisse im Sachzusammenhang.

(8 BE)

1.4

Berechne die mittlere Füllmenge des Stausees in den Monaten April bis Oktober, die sich aus den Datenpunkten der zu Beginn der Aufgabe gegebenen Tabelle ergibt.

Entscheide begründet ohne weitere Rechnung, mit welchem der nachfolgenden Terme die mittlere Füllmenge des Stausees in dem betrachteten Zeitraum näherungsweise berechnet werden kann und mit welchem nicht.

$(1) \; \dfrac{1}{6}\displaystyle\int_{3}^{9}i(t)\;\mathrm dt$ $\quad$ $(2)\; \dfrac{1}{7}\displaystyle\int_{2,5}^{9,5}i(t)\;\mathrm dt$

(5 BE)

Am Fuße der Staumauer befindet sich das Kraftwerk Hemfurth I, welches aus dem herabströmenden Wasser Strom erzeugt.

Die Zuflussgeschwindigkeit durch den Fluss "Eder" in den Stausee beträgt konstant $5,2\dfrac{\text{m}^3}{\text{s}}.$ Durch den zusätzlichen Zulauf durch Bäche ist die tatsächliche Zuflussgeschwindigkeit allerdings um $10\,\%$ höher.

Für die Stromerzeugung wird täglich in der Zeit von $17.00$ Uhr bis $21.15$ Uhr Wasser abgegeben. Die Abflussgeschwindigkeit aus dem Stausee beträgt hierbei konstant $36\dfrac{\text{m}^3}{\text{s}}.$

Untersuche anhand einer geeigneten Rechnung die Auswirkung der Zu- und Abflüsse auf die tägliche Füllmenge des Stausees.

(4 BE)

Zum Schutz vor Hochwasser wird im Stausee ein sogenannter Hochwasserschutzraum mit einem Volumen von $30\,\text{Mio. m}^3$ freigehalten. Nach starken Regenfällen kann die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den Stausee innerhalb der ersten 72 Stunden durch die Funktion $z$ mit $z(t)=-\dfrac{1}{600}(t-30)^2+1,5$ und die Abflussgeschwindigkeit nach dem Öffnen von Notschleusen durch die Funktion $a$ mit $a(t)=-\dfrac{1}{1620}(t-36)^2+0,8$ dargestellt werden.

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden ab dem Beginn des Zu- bzw. Abflusses an und $z(t)$ bzw. $a(t)$ die Fließgeschwindigkeit in $\text{Mio.}\dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}.$ Dabei sind die Funktionen $z$ und $a$ nur in Intervallen mit positiven Funktionswerten definiert, sonst seien die Funktionswerte konstant null.

3.1

Erläutere die folgende Rechnung im Sachzusammenhang.

Begründe, dass die getroffene Schlussfolgerung nicht richtig sein muss.

$\displaystyle\int_{0}^{60}z(t)\;\mathrm dt-\displaystyle\int_{0}^{72}a(t)\;\mathrm dt$ $=60-38,4=21,6$
Der Hochwasserschutzraum von $30\,\text{Mio. m}^3$ ist ausreichend, da in dem betrachteten Zeitraum nur $21,6\,\text{Mio. m}^3$ mehr zu- als abfließen.

(3 BE)

3.2

Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Füllmenge des Hochwasserschutzraums in den betrachteten 72 Stunden maximal ist.

(3 BE)

Die maximale Füllhöhe $h$ über dem tiefsten Punkt des Sees beträgt ca. $40\,\text{m},$ die maximale Füllhöhe $200\,\text{Mio. m}^3.$

Der zugehörige Füllgraph, der die Füllmenge $V$ des Sees in $\text{Mio. m}^3$ in Abhängigkeit von der Höhe $h$ der Wasseroberfläche über dem tiefsten Punkt des Sees in Meter beschreibt, ist in der folgenden Abbildung dargestellt und kann durch eine quadratische Funktion $V$ beschrieben werden.

4.1

Im Folgenden sind zwei stark vereinfachte Formen eines Seebeckens vorgegeben.

Entscheide, welche der Formen zum Füllgraph $V$ gehört, und welche nicht. Begründe jeweils deine Entscheidung unter Bezugnahme auf die beiden Formen.

Illustration eines Prismas und eines Zylinders in einfacher geometrischer Darstellung.

Abb.: Prisma (links), Zylinder (rechts)

(4 BE)

4.2

Durch das Fluten des Edersees befinden sich heute einige Gebäude, Straßen und Brücken je nach Füllmenge des Sees unter Wasser. Beträgt die Füllmenge des Sees nur ca. $80\,\text{Mio. m}^3,$ kommt der alte Friedhof wieder zum Vorschein.

Ermittle mithilfe der Abbildung aus der Aufgabenstellung die zugehörige Höhe $h$ der Wasseroberfläche über dem tiefsten Punkt des Sees.

(2 BE)

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1.1

1.2

1.2.1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades lautet:
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

Es gilt:

$\text{I}: \begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 22 &\\[5pt] a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d &=& 22 &\\[5pt] d&=& 22 \end{array}$

$f(3)=198$

Vollständige Gleichung anzeigen

$f(6)=115$

Vollständige Gleichung anzeigen

$f(9)=25$

Vollständige Gleichung anzeigen

Mit dem CAS können die Gleichungen $\text{II}, \; \text{III}$ und $\text{IV}$ nach den Parametern $a, b, c$ aufgelöst werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Es ergeben sich:

$a= \dfrac{14}{9}\quad$ $b=-\dfrac{511}{18}\quad c=\dfrac{779}{6}$

Daraus folgt:

$f(x)=\dfrac{14}{9} x^3 -\dfrac{511}{18}x^2+\dfrac{779}{6}x+22$

1.2.2

Durch die drei gegebenen Bedingungen wird die Funktion so rekonstruiert, dass sie die Daten des ersten und sechsten Monates beinhaltet. Die dritte Bedingung legt den sechsten Monat als Wendestelle fest.

Dies entspricht zwar dem Verlauf der Füllmenge des Stausees, jedoch werden mindestens vier Gleichungen benötigt, um eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit den Parametern $a,\; b, \; c$ und $d$ aufstellen zu können. Das Gleichungssystem ist somit unterbestimmt.

Mit dem angegebenen Lösungsansatz können die Parameter folglich nur in Abhängigkeit eines anderen Parameters bestimmt werden. Der Lösungsansatz ist deshalb eher ungeeignet.

1.3

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$i(t)= 1,525 t^3-28 t^2+129 t+21$

Mit dem CAS werden die ersten beiden Ableitungen ermittelt:

$\(i$

2. Schritt: Extrempunkte bestimmen

Mit dem CAS lassen sich die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte graphisch ablesen:

$H(3,08 \mid 197,26).$

$T(9,16 \mid 25,36)$

$W(6,12 \mid 111,31)$

Sachzusammenhang deuten

Im April ist die Füllmenge des Stausees maximal mit einem Volumen von etwa $197$ Millionen $\,\text{m}^3$ und im Oktober ist die Füllmenge minimal mit einem Volumen von etwa $25$ Millionen $\,\text{m}^3$ . Im Juli nimmt die Füllmenge am stärksten ab.

1.4

Mittlere Füllmenge berechnen

Rechnung anzeigen

Terme deuten

Term (2) berechnet näherungsweise die mittlere Füllmenge des Stausees im betrachteten Zeitraum. Der Zeitpunkt $t$ bezieht sich auf auf die Monatsmitte, weshalb die Integrationsgrenzen dem Monatsanfang und dem Ende des Monats entsprechen.

Term (1) beschreibt die mittlere Füllmenge nur im Zeitraum von Mitte April bis Mitte Oktober, also nur für sechs Monate, und ist somit nicht korrekt.

Zufluss bis 17 Uhr

Zwischen 0 Uhr und 17 Uhr beträgt die Zuflussgeschwindigkeit konstant $5,2 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} .$ Da diese durch den Zufluss der Bäche um $10\,\%$ erhöht wird, folgt für die gesamte Zuflussgeschwindigkeit:

$5,2 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 1,1=5,72 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}}$

In den ersten 17 Stunden lässt sich der gesamte Zulauf somit wie folgt berechnen:

$5,72 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 3600 s \cdot 17 =350 064 \, \text{m}^3$

Zu- und Abfluss von 17 Uhr bis 21.15 Uhr

Der Zeitraum, in welchem Wasser abfließt, entspricht 255 Minuten und somit $255\cdot 60 =15300$ Sekunden.

Für den Abfluss gilt somit:

$15300 \; s\cdot 36 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}}= 550800 \, \text{m}^3$

Gleichzeitig gilt für den Zufluss in diesem Zeitraum:

$15300 \, s \cdot 5,72 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} = 87516 \, \text{m}^3$

Von 0 Uhr bis 21.15 Uhr sind somit insgesamt $437580 \, \text{m}^3$ zugeflossen und $550800 \, \text{m}^3$ abgeflossen. Im Vergleich zur Füllmenge des Stausees zu Tagesbeginn sind zu diesem Zeitpunkt $113220 \, \text{m}^3$ Wasser weniger im See.

Zufluss bis 0 Uhr

Der Zeitraum von 21.15 Uhr bis 0 Uhr entspricht 165 Minuten und somit $165\cdot 60=9900$ Sekunden.

Der Zufluss folgt also mit:

$9900\, s \cdot 5,72 \, \dfrac{\text{m}^3}{\text{s}} = 56628 \, \text{m}^3$

Am Ende des Tages befinden sich somit $113220 \, \text{m}^3- 56628 \, \text{m}^3= 56592 \text{m}^3$ Wasser weniger im Stausee als zu Beginn des Tages.

3.1

$\displaystyle\int_{0}^{60}z(t)\;\mathrm dt$ beschreibt die Gesamtmenge des Wassers aus den Zuflüssen im beobachteten Zeitraum.

$\displaystyle\int_{0}^{72}a(t)\;\mathrm dt$ beschreibt die Gesamtmenge des Wassers, welches im beobachteten Zeitraum durch die Notschleusen abfließt.

Es wird also die Gesamtmenge der Abflüsse von der Gesamtmenge der Zuflüsse abgezogen und somit die im Vergleich zum Beobachtungsstart zugeflossene Wassermenge berechnet.

Die getroffene Schlussfolgerung muss nicht richtig sein, da nur eine Aussage über die Gesamtbilanz nach dem beobachteten Zeitraum getroffen wird. Es wird lediglich berechnet, wieviel Wasser nach Ablauf der 70 Stunden in dem Stausee ist, allerdings kann durch diese Rechnung keine Aussage zur maximalen Füllmenge während dem beobachteten Zeitraum gemacht werden.

3.2

Die Schnittstelle der Funktionen $z$ und $a$ beschreibt den Zeitpunkt, an dem die Abflussgeschwindigkeit erstmals größer als die Zuflussgeschwindigkeit ist. An diesem Punkt ist die Füllmenge maximal.

Es soll also gelten:

$z(t)=a(t)$

Vollständige Gleichung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$t\approx 52,94$

Nach ungefähr 53 Stunden ist die Füllmenge des Hochwasserschutzraums somit maximal.

4.1

Das Prisma gehört zum Füllgraphen $V$ da es einen eindeutig tiefsten Punkt gibt und das Volumen quadratisch mit der Höhe zunimmt. Beim Zylinder existiert kein eindeutig tiefster Punkt und das Volumen würde linear mit der Höhe zunehmen.

4.2

Der Wert kann aus der Abbildung abgelesen werden.

Die Füllhöhe über dem tiefsten Punkt des Sees bei 80 Millionen $\text{m}^3$ beträgt $25 \;\text{m}.$

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