B2 - Analytische Geometrie

Auf dem Rasen eines Fußballstadions soll eine Bühne für eine Kundgebung aufgebaut werden. Der verantwortliche Architekt legt für die Planung ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem an. Die Rasenfläche liegt in der $x_{1}x_{2}$ -Ebene. Die $x_3$ -Achse zeigt senkrecht zur $x_{1}x_{2}$ -Ebene in Richtung des Betrachters. Im grau unterlegten Bereich wird ein Bühnenboden errichtet, der sich $1\;\text{m}$ über dem Rasen befindet (Abbildung 1).

Alle in der Skizze eingetragenen Zahlenwerte sind in der Einheit Meter angegeben.

Abbildung 1

Um leichter auf den Bühnenboden zu gelangen, soll eine $3\,\text{m}$ breite Rampe mit rechteckigem Grundriss gebaut und in $R_{2}(35\mid-5\mid0)$ und $R_{3}(25\mid-5\mid1)$ verankert werden.

1.1

Gib die Koordinaten der Eckpunkte $R_1$ und $R_4$ an und berechne die Länge der Rampe.

(5 BE)

1.2

Nach DIN 18024-1 darf der Steigungswinkel einer barrierefreien Rampe maximal $3,4^\circ$ betragen.

Berechne den Steigungswinkel der Rampe und entscheide, ob diese die DIN erfüllt.

(4 BE)

Mit Seilen soll über dem Fußballplatz eine dreieckige Fläche aus Segeltuch gespannt werden. Zwei der drei Eckpunkte dieses Dreiecks liegen in $A(5\mid26\mid25)$ und $B(2\mid30\mid18).$

Der dritte Eckpunkt $C$ ist ein variabler Punkt auf dem Seil, welches von $A$ zur Spitze des Flutlichtmastes $P(35\mid66\mid35)$ gespannt wird.

2.1

Zeige, dass im Dreieck $ABP$ bei $A$ ein rechter Winkel vorliegt.

Erläutere, dass das Dreieck $ABC$ immer rechtwinklig ist - egal, wo sich der Punkt $C$ auf dem Seil zwischen $A$ und $P$ befindet.

(5 BE)

2.2

Das Segeltuch, mit dem das Dreieck $ABC$ bespannt werden soll, darf aus Gewichtsgründen höchstens $100\;\text{m}^2$ groß sein.

Bestimme die Koordinaten des Punktes $C$ auf dem Seil, für den die Dreiecksfläche die zugelassene Maximalgröße hat.

(6 BE)

Das Segeltuch wird bei $C(17\mid42\mid29)$ fixiert und straff gespannt. Zu einer gewissen Uhrzeit fallen Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}$ ein, so dass das Segeltuch einen dreieckigen Schatten auf den geplanten Bühnenboden wirft.

Die Schattenpunkte der Punkte $B$ und $C$ liegen bei $B_{S}\left(-3\dfrac{2}{3}\,\bigg \vert \, 1\dfrac{2}{3}\,\bigg \vert \,1\right)$ und $C_{S}\left(7\dfrac{2}{3}\,\bigg \vert \,-4\dfrac{2}{3}\,\bigg \vert \,1\right)$ .

3.1

Berechne die Koordinaten des Schattenpunktes $A_S$ des Punktes $A$ auf dem Bühnenboden.

(5 BE)

3.2

Im Punkt $M(0\mid0\mid1)$ soll ein Mikrofon aufgestellt werden.

Zeichne unter Angabe einer geeigneten Skalierung der Achsen den Schatten des Segeltuchs in das Koordinatensystem in Abbildung 2 ein.

Prüfe zeichnerisch, ob der Fußpunkt $M$ des Mikrofonstativs im Schatten liegt.

Falls Aufgabe 3.1 nicht gelöst wurde, kann der Ersatzpunkt $\(A_{S}$ verwendet werden.

Abbildung 2

(5 BE)

1.1

Koordinaten angeben

Da die Rampe 3 Meter breit sein soll, folgen die Koordinaten mit:

$R_1(35\mid -8\,id 0)$

$R_4(25\mid -8\mid 1)$

Länge berechnen

Eine Seite der Rampe wird durch den Vektor $\overrightarrow{R_2R_3}$ dargestellt.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{R_2R_3}\right|&=& \left| \pmatrix{10\\0\\-1} \right|& \\[5pt] &=& \sqrt{10^2+(-1)^2} & \\[5pt] &=& \sqrt{101}& \\[5pt] &\approx& 10,05 \; [\,\text{m}] \end{array}$

Die Rampe ist somit ca. 10,05 Meter lang.

1.2

Steigungswinkel berechnen

Um den Steigungswinkel $\alpha$ berechnen zu können, werden zwei Seiten des Dreiecks benötigt. Da der Punkt $R_5$ senkrecht unter dem Punkt $R_3$ liegt, besitzt er die Koordinaten $R_5(25\mid-5\mid 0).$

Somit folgt der Steigungswinkel mit:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} &\\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{R_3R_5} \right|}{\left| \overrightarrow{R_2R_3}\right|} & \\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\-1} \right|}{\left| \pmatrix{-10\\0\\1} \right|}&\\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\sqrt{(-1)^2}}{\sqrt{(-10)^2+1^2}} &\\[5pt] \sin(\alpha)&\approx& 0,0995 &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 5,71^\circ \end{array}$

Hilfsskizze Rampe Fussballplatz Hessen Mathe Abi 2014

$\quad \quad$ Hilfsskizze (nicht maßstäblich)

Der Steigungswinkel der Rampe beträgt folglich $5,71^\circ.$

Entscheidung

Da der Steigungswinkel einer barrierefreien Rampe maximal $3,4^\circ$ betragen darf und der Steigungswinkel der Rampe in der Aufgabe $5,71^\circ$ beträgt, wird diese DIN nicht erfüllt.

2.1

Rechten Winkel nachweisen

Ein rechter Winkel bei $A$ liegt genau dann vor, wenn die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ orthogonal zueinander stehen, d.h. wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ergibt.

Verbindungsvektoren bestimmen:

$\overrightarrow{AP}=\pmatrix{35\\66\\35} - \pmatrix{5\\26\\25}= \pmatrix{30\\40\\10}$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{2\\30\\18} - \pmatrix{5\\26\\25}= \pmatrix{-3\\4\\-7}$

Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ kann mit Hilfe des dotP()-Befehls des CAS berechnet werden. Dieser kann unter 7: Matrix und Vektor C 3 gefunden werden.

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Matrizen und Vektoren.

Da das Skalarprodukt Null ergibt und die Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ somit orthogonal zueinander stehen, liegt bei Punkt $A$ ein rechter Winkel vor.

Erläuterung

Die unterschiedliche Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ verkürzt den Vektor, ändert aber nicht seine Richtung.

Damit bleibt der rechte Winkel bei $A$ erhalten.

Mathematisch lässt sich das durch das Einführen eines Parameters $r$ zeigen, der die Länge des Vektors variieren lässt.

Mit dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}$ gilt für das Skalarprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{30r\\40r\\10r} \circ \pmatrix{-3\\4\\-7}& \\[5pt] &=& -90r+160r-70r&\\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Somit ist das Skalarprodukt eines beliebig langen Vektors $\overrightarrow{AC}$ mit $\overrightarrow{AB}$ Null, sodass der rechte Winkel bei $A$ unabhängig von der Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ existiert.

2.2

Da es sich bei dem Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann der Flächeninhalt wie folgt bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \end{array}$

Längen der Vektoren berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AB}|&=& \left|\pmatrix{-3\\4\\-7} \right| & \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2+4^2+(-7)^2} & \\[5pt] &\approx & 8,6 \;[\,\text{m}] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AP}|&=& \left| \pmatrix{30\\40\\10} \right| & \\[5pt] &=& \sqrt{30^2+40^2+10^2} & \\[5pt] &\approx& 50,99 \;[\,\text{m}] \end{array}$

Alternativ können die Beträge der Vektoren mit dem CAS unter dem dotP()-Befehl berechnet werden. Dieser kann durch 7: Matrix und Vektor C 3 gefunden werden.

Berechnung von Normen in einer mathematischen Software mit Ergebnissen für zwei Vektoren.

Für die zugelassene Maximalgröße gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& 100 & \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}|&=& 100& \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot 8,6 \cdot r\cdot 50,99&=& 100 & \\[5pt] 219,257\cdot r&=& 100 &\quad \scriptsize \mid\;:219,257 \\[5pt] r&\approx& 0,46 \end{array}$

Die Koordinaten von Punkt $C$ ergeben sich somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC}&=& \overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AP}& \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\26\\25}+0,46\cdot \pmatrix{30\\40\\10}& \\[5pt] &=& \pmatrix{18,8\\44,4\\29,6}& \\[5pt] \end{array}$

Damit die Dreiecksfläche die zugelassene Maximalgröße hat, muss der Punkt $C$ auf dem Seil die Koordinaten $C(18,8\mid 44,4 \mid 29,6)$ besitzen.

3.1

Der Schattenpunkt $A_S$ auf der Bühnenebene entspricht dem Schnittpunkt der Geraden durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ und der Bühne.

Da die Bühne in einer Höhe von 1 m aufgebaut wurde und parallel zur $x_1x_2$ -Ebene ist, liegt sie folglich in der Ebenen mit der Koordinatengleichung $x_3 = 1.$ Der Schattenpunkt $A_S$ besitzt somit ebenso die $x_3$ -Kooordinate $x_3=1.$

Die Geradengleichung durch den Punkt $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v}& \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\26\\25} +s\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \end{array}$

Für den Schattenpunkt $A_S$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=& 1&\\[5pt] 25-3\cdot s&=& 1&\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -3\cdot s&=& -24&\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] s&=& 8 \end{array}$

Einsetzen von $s=8$ in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA_S}&=& \pmatrix{5\\26\\25} +8 \cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3}&\\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-14\\1} \end{array}$

Der Schattenpunkt $A_S$ auf dem Bühnenboden besitzt somit die Koordinaten $A_S(-3 \mid -14 \mid 1).$

3.2

Beim Skalieren ist zu beachten, dass die $x_1$ -Achse nach unten zeigt und somit unterhalb der $x_2$ -Achse positive Werte annimmt.

Die $x_3$ -Achse weist aus der Zeichenebene heraus und wird somit in der Skizze vernachlässigt.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der Fußpunkt $M$ des Mikrofonstativs nicht im Schatten liegt.

1.1

Koordinaten angeben

Da die Rampe 3 Meter breit sein soll, folgen die Koordinaten mit:

$R_1(35\mid -8\,id 0)$

$R_4(25\mid -8\mid 1)$

Länge berechnen

Eine Seite der Rampe wird durch den Vektor $\overrightarrow{R_2R_3}$ dargestellt.

Es gilt also:

Die Rampe ist somit ca. 10,05 Meter lang.

1.2

Steigungswinkel berechnen

Somit folgt der Steigungswinkel mit:

$\quad \quad$ Hilfsskizze (nicht maßstäblich)

Der Steigungswinkel der Rampe beträgt folglich $5,71^\circ.$

Entscheidung

Da der Steigungswinkel einer barrierefreien Rampe maximal $3,4^\circ$ betragen darf und der Steigungswinkel der Rampe in der Aufgabe $5,71^\circ$ beträgt, wird diese DIN nicht erfüllt.

2.1

Rechten Winkel nachweisen

Verbindungsvektoren bestimmen:

$\overrightarrow{AP}=\pmatrix{35\\66\\35} - \pmatrix{5\\26\\25}= \pmatrix{30\\40\\10}$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{2\\30\\18} - \pmatrix{5\\26\\25}= \pmatrix{-3\\4\\-7}$

Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ kann mit Hilfe des dotP()-Befehls des CAS berechnet werden. Dieser kann unter Interactive Vector dotP gefunden werden.

Screenshot eines mathematischen Programms mit Vektoren und einer Dot-Produkt-Berechnung.

Da das Skalarprodukt Null ergibt und die Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ somit orthogonal zueinander stehen, liegt bei Punkt $A$ ein rechter Winkel vor.

Erläuterung

Die unterschiedliche Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ verkürzt den Vektor, ändert aber nicht seine Richtung.

Damit bleibt der rechte Winkel bei $A$ erhalten.

Mathematisch lässt sich das durch das Einführen eines Parameters $r$ zeigen, der die Länge des Vektors variieren lässt.

Mit dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}$ gilt für das Skalarprodukt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{30r\\40r\\10r} \circ \pmatrix{-3\\4\\-7}& \\[5pt] &=& -90r+160r-70r&\\[5pt] &=& 0 \end{array}$

2.2

Da es sich bei dem Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann der Flächeninhalt wie folgt bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \end{array}$

Längen der Vektoren berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AB}|&=& \left|\pmatrix{-3\\4\\-7} \right| & \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2+4^2+(-7)^2} & \\[5pt] &\approx & 8,6 \;[\,\text{m}] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} |\overrightarrow{AP}|&=& \left| \pmatrix{30\\40\\10} \right| & \\[5pt] &=& \sqrt{30^2+40^2+10^2} & \\[5pt] &\approx& 50,99 \;[\,\text{m}] \end{array}$

Alternativ können die Beträge der Vektoren mit dem CAS unter dem dotP()-Befehl berechnet werden. Dieser kann durch Interactive Matrix-Calc norm gefunden werden.

Mathematische Berechnungen in einer Software, die Normen von Vektoren zeigt.

Für die zugelassene Maximalgröße gilt:

Die Koordinaten von Punkt $C$ ergeben sich somit zu:

Damit die Dreiecksfläche die zugelassene Maximalgröße hat, muss der Punkt $C$ auf dem Seil die Koordinaten $C(18,8\mid 44,4 \mid 29,6)$ besitzen.

3.1

Der Schattenpunkt $A_S$ auf der Bühnenebene entspricht dem Schnittpunkt der Geraden durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ und der Bühne.

Die Geradengleichung durch den Punkt $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v}& \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\26\\25} +s\cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3} \end{array}$

Für den Schattenpunkt $A_S$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=& 1&\\[5pt] 25-3\cdot s&=& 1&\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -3\cdot s&=& -24&\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] s&=& 8 \end{array}$

Einsetzen von $s=8$ in die Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA_S}&=& \pmatrix{5\\26\\25} +8 \cdot \pmatrix{-1\\-5\\-3}&\\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-14\\1} \end{array}$

Der Schattenpunkt $A_S$ auf dem Bühnenboden besitzt somit die Koordinaten $A_S(-3 \mid -14 \mid 1).$

3.2

Beim Skalieren ist zu beachten, dass die $x_1$ -Achse nach unten zeigt und somit unterhalb der $x_2$ -Achse positive Werte annimmt.

Die $x_3$ -Achse weist aus der Zeichenebene heraus und wird somit in der Skizze vernachlässigt.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der Fußpunkt $M$ des Mikrofonstativs nicht im Schatten liegt.