B1 - Analysis

An einem geradlinig verlaufenden Fluss steht ein Deich älteren Baujahres, der erhöht werden soll, um den Hochwasserschutz zu verbessern.

Das horizontale ebene Gelände links und rechts des Deichs liegt bei der folgenden Modellierung auf der Höhe der $x$ -Achse.

Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen des Deichs in Bezug auf dieses ebene Gelände an. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Die obere Profillinie des alten Deichs wird für $0\leq x \leq 20$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac {3}{4}\cdot x \cdot \mathrm{e}^{1- \frac{1}{4}x}$ beschrieben.

Für $20\leq x \leq x_N$ wird die obere Profillinie des Deichs durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(20|f(20))$ beschrieben, wobei $x_N$ die Nullstelle der Tangente $t$ bezeichnet.

1.1

Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente $t.$

Zeige, dass der Deich eine Breite von $25\,\text{m}$ besitzt.

Zeichne die Profillinie des gesamten Deichs in ein geeignetes Koordinatensystem.

$\bigg[$ zur Kontrolle: $\; t(x)=-\dfrac{3}{\mathrm{e}^4}\cdot x+\dfrac{75}{\mathrm{e}^4} \bigg]$

(8 BE)

1.2

Bestimme den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs.

(4 BE)

1.3

Berechne mithilfe des Formansatzes $F(x)= (a \cdot x + b ) \cdot \mathrm{e} ^{1- \frac{1}{4}x}$ eine Stammfunktion der Funktion $f.$

(5 BE)

1.4

Berechne das Volumen des gesamten Erdreichs, das zum Bau des $1\,\text{km}$ langen alten Deichs aufgeschüttet wurde.

(5 BE)

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0\leq x\leq 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $g_k(x)=\dfrac{k}{1000}\cdot x\cdot (x-25)^2$ für $k\gt 0$ ist.

2.1

Untersuche, welchen Einfluss der Parameter $k$ auf die Höhe und auf die Breite des neuen Deichs besitzt.

Berechne, wie der Parameter $k$ gewählt werden muss, damit der neue Deich höher als $3\,\text{m}$ ist.

(6 BE)

2.2

Moderne Deiche werden mit einem möglichst flachen Gefälle auf der Flussseite konstruiert. Die Flussseite liegt in der Modellierung rechts bzw. in Richtung der positiven $x$ -Achse.

Für den Steigungswinkel $\alpha$ des (flussseitigen) Deichprofils gegenüber der Horizontalen soll $\mid\alpha\mid\leq 30^{\circ}$ gelten.

Ermittle, für welchen Wert des Parameters $k$ der Graph der Funktionsschar $g_k$ die Bedingung $\mid \alpha\mid=30^{\circ}$ an der steilsten Stelle des (flussseitigen) Deichprofils erfüllt.

(4 BE)

2.3

Für die Profillinie des neuen Deichs wird die Funktion $g$ mit $g(x)=g_2(x)$ gewählt.

2.3.1

Zeichne den Graphen der Funktion $g$ in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil 1.1 ein.

(2 BE)

2.3.2

Untersuche, in welchem Bereich für den Bau des neuen Deichs Erde vom alten Deich abgetragen werden muss und in welchem Bereich Erde neu aufgeschüttet werden muss.

Die abgetragene Erde wird bei der Erneuerung wieder eingesetzt.

Bestimme das Volumen der Erde, die zusätzlich zur abgetragenen Erde benötigt wird, um den Deich auf der gesamten Länge von $1\,\text{km}$ zu erneuern.

(6 BE)

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1.1

Tangentengleichung bestimmen

Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich die Ableitung $\(f$ mit:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $t(x) = m \cdot x + c$ .

Somit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(20) &=& \dfrac{3}{4} \cdot 20 \cdot \mathrm{e}^{1-\frac{1}{4} \cdot 20}& \\[5pt] &=& 15 \cdot \mathrm{e}^{-4}& \\[5pt] &=& \dfrac{15}{\mathrm{e}^4} & \\[5pt] \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Einsetzen der Werte in die allgemeine Tangentengleichung ergibt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Somit ergibt sich folgende Tangentengleichung:

$t(x) = -\dfrac{3}{\mathrm{e}^4} x + \dfrac{75}{\mathrm{e}^4}$

Breite des Deichs nachweisen

Die Breite des Deichs entspricht der Nullstelle der Tangente.

Nullstelle berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& 0 & \\[5pt] -\dfrac{3}{\mathrm{e}^4} x + \dfrac{75}{\mathrm{e}^4}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{3}{\mathrm{e}^4} x \\[5pt] \dfrac{75}{\mathrm{e}^4}&=& \dfrac{3}{\mathrm{e}^4}x&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{\mathrm{e}^4}{3} \\[5pt] 25&=& x \end{array}$

Der Deich besitzt folglich eine Breite von $25\,\text{m}.$

Profillinie zeichnen

Skalierung Koordinatensystem Hessen Abi 2021

1.2

Mit dem CAS ergeben sich die Koordinaten des Hochpunkts:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Die Koordinaten des höchsten Punkts des Deichs folgen mit $H(4|3)$ .

1.3

Für die Stammfunktion $F(x)$ muss gelten:

$\( F$

Rechnung anzeigen

Damit Gleichheit gilt, müssen die Terme, die $x$ enthalten, auf beiden Seiten gleich sein. Es soll also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} - \dfrac{a}{4}x&= \dfrac{3}{4}x& \quad \scriptsize \mid \cdot (-4) \quad \scriptsize \mid :x \\[5pt] a&= -3& \end{array}$

Einsetzen in die obere Gleichung ergibt:

$b=-12$

Rechenweg anzeigen

Einsetzen der Werte von $a$ und $b$ in den Formansatz liefert nun eine Stammfunktion von $f:$

$F(x) = (-3x -12) \cdot \mathrm{e}^{1- \frac{1}{4}x}$

1.4

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche $A$ des Deichs setzt sich wie folgt zusammen:

$A=\displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{20}^{25}t(x)\;\mathrm dx$

$\displaystyle\int_{0}^{20}f(x)\;\mathrm dx= -\dfrac{72}{\mathrm{e}^4} +12\mathrm{e}$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{20}^{25}t(x)\;\mathrm dx= \dfrac{75}{2\mathrm{e}^4}$

Rechenweg anzeigen

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& -\dfrac{72}{\mathrm{e}^4} +12\mathrm{e} + \dfrac{75}{2\mathrm{e}^4}& \\[5pt] &\approx & 31,99 \; [\,\text{m}^2] \end{array}$

Da der Deich $1\,\text{km}$ lang ist, folgt das Volumen mit:

$V = 1000 \,\text{m} \cdot 31,99\,\text{m}^2 = 31990 \; \text{m}^3$

2.1

Einfluss von $k$ untersuchen

Umformen von $g_{k}$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} g_{k}(x)&=& \dfrac{k}{1000} \cdot x \cdot (x-25)^2& \\[5pt] &=& k \cdot \dfrac{x}{1000} \cdot (x^2 - 50x +625)& \\[5pt] &=& k \cdot \left(\dfrac{x^3 - 50x^2 + 625x}{1000}\right)& \\[5pt] \end{array}$

Aus dem Funktionsterm geht nun hervor, dass der Parameter $k$ den Graphen der Funktion entlang der $y$ -Achse streckt beziehungsweise staucht.

Da $k \gt 0$ gilt, hat $k$ also keinen Einfluss auf die Nullstellen und somit auch nicht auf die Streckung beziehungsweise Stauchung des Graphen entlang der $x$ -Achse.

Der Parameter $k$ hat folglich Einfluss auf die Höhe des Deichs, jedoch nicht auf die Breite.

Wert von $k$ berechnen

Mit dem CAS lassen sich die erste und zweite Ableitung von $g_k$ bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(\begin{array}[t]{rll} g_{k}$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g_k$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $x=\dfrac{25}{3}.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g_k$

3. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$g_k\left(\dfrac{25}{3}\right)= \dfrac{125}{54}\cdot k$

Rechenweg anzeigen

4. Schritt: Parameter bestimmen

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{125}{54} \cdot k& \gt 3& \quad \scriptsize \,\big \vert \, \cdot \dfrac{54}{125} \\[5pt] k& \gt \dfrac{162}{125}& \\[5pt] k& \gt 1,296& \\[5pt] \end{array}$

Somit muss $k \gt 1,296$ gewählt werden, sodass der Deich höher als $3\,\text{m}$ ist.

2.2

Die steilste Stelle eines Funktionsgraphens entspricht seiner Wendestelle.

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} g_k$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $x=\dfrac{50}{3}.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden

Dritte Ableitung bestimmen:

$\(g_k$

Wegen $k\gt 0$ gilt also:

$\(g_k$

Da sich die Wendestelle auf der Flussseite befindet und es keinen weiteren flussseitigen Wendepunkt gibt, befindet sich die steilste flussseitige Stelle bei $x=\dfrac{50}{3}.$

3. Schritt: Steigung berechnen

$\( g_{k}$

Rechenweg anzeigen

Für den Steigungswinkel $\mid\alpha\mid =30^{\circ}$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m &=& \tan(\alpha)& \\[5pt] \mid g$

Für $k\approx 2,77$ erfüllt der Graph der Funktionenschar $g_k$ somit die Bedingung $\mid\alpha\mid =30^{\circ}$ an der steilsten Stelle des flusseitigen Deichprofils.

2.3

2.3.1

2.3.2

Bereiche untersuchen

Schnittstellen bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x) & \\[5pt] \dfrac{2}{1000}\cdot x\cdot (x-25)^2&=& \dfrac{3}{4}\cdot x \cdot \mathrm e^{1-\frac{1}{4}x} \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgten die Schnittstellen mit $x_1=0, \; x_2\approx 3 , x_3\approx 23$ und $x_4 \approx 26.$

Für den Deich relevante Schnittstellen sind hierbei nur $x_1$ und $x_2.$

Aus den Graphen ergibt sich also, dass im Bereich zwischen $x_1=0$ und $x_2 \approx 3$ Erde vom alten Deich abgetragen und im Bereich zwischen $x_2 \approx 3$ und $x=25$ aufgeschüttet werden muss.

Volumen bestimmen

Volumen, das vom alten Deich abgetragen werden muss:

$V_1= 1000\cdot \displaystyle\int_{0}^{3}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx$ $\approx889 \, [\text{m}^{3}]$

Volumen, das für den neuen Deich aufgeschüttet werden muss:

Rechnung anzeigen

$V_2 \approx 34690 \, [\text{m}^{3}]$

Es wird insgesamt also das folgende Volumen an neuer Erde benötigt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{Erde}&=& V_2-V_1&\\[5pt] &=& 34690 \, \text{m}^{3}-889 \, \text{m}^{3}&\\[5pt] &=& 33801 \, \text{m}^{3} \end{array}$

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