B1 - Analysis
Auf vielen Gebäuden befinden sich Photovoltaikanlagen. Umgangssprachlich bezeichnet man solche der Stromerzeugung dienenden Anlagen häufig als „Solaranlagen“. Die Menge des erzeugten Stroms hängt unter anderem vom Sonnenstand ab und schwankt daher im Jahres-, aber auch im Tagesverlauf.
In dieser Aufgabe wird die Leistungsabgabe einer Solaranlage auf einem Einfamilienhaus während eines sonnigen Tages im Juli 2022 näher untersucht.
Diese lässt sich in sehr guter Näherung durch die Funktion 
mit 
modellieren.
Dabei beschreibt 
die Zeit in Stunden nach Tagesbeginn um Mitternacht und 
die Leistungsabgabe in 
(Kilowatt). Der Definitionsbereich der Funktion ist 
1
Der Graph der Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.
Beschreibe den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang unter Bezugnahme auf wesentliche Eigenschaften und charakteristische Punkte.
Abbildung 1
(5 BE)
2
Im Zeitraum von 9 Uhr bis 17 Uhr, d. h. für 
, sollen anstelle der Funktion vereinfachend ganzrationale Funktionen zur Modellierung der Leistungsabgabe der Solaranlage verwendet werden.
Als erste stark vereinfachende Alternative wird die Funktion 
mit der Funktionsgleichung 
verwendet. Der Graph der Funktion ist in Abbildung 2 im nun betrachteten Intervall zusammen mit dem Graphen von dargestellt.
Als zweite Alternative werden ganzrationale Funktionen der Funktionenschar 
mit 
verwendet.
Für beide Alternativen gibt jeweils die Zeit in Stunden nach Mitternacht an, die Funktionswerte geben jeweils die Leistungsabgabe in 
an.
Abbildung 2
2.1.1
Der Graph der Funktion besitzt zwei Wendepunkte.
Erläutere, warum unter Berücksichtigung dieser Wendepunkte eine alternative ganzrationale Modellfunktion mindestens vierten Grades sein muss.
(2 BE)
2.1.2
Erläutere anhand der Funktionsgleichung, welche Symmetrieeigenschaft die Graphen der zur Funktionenschar gehörigen Funktionen aufweisen.
(2 BE)
2.2
Bestimme diejenige Funktion 
der Schar , deren Graph durch 
verläuft und den Wendepunkt 
besitzt.
Zeichne den Graphen der Funktion in die Abbildung 2.
Entscheide anschließend begründet anhand von Abbildung 2, welche der beiden Alternativen besser zur Modellierung der Funktion geeignet ist.
(7 BE)
2.3
Die in der Zeitspanne von 
bis 
bereitgestellte Energiemenge berechnet man, indem man die betrachtete Modellfunktion über dem Zeitintervall ![\(\left[t_1 ; t_2\right]\)](https://mathjax.schullv.de/d18b1aa5839b36a46174fb5c562cffbf7f4540825a7337a5ea81aad290551dda?color=5a5a5a)
integriert.
Berechne die von 10 Uhr bis 16 Uhr gemäß der Modellierung mit der Funktion bereitgestellte Energiemenge in Kilowattstunden 
(5 BE)
3
Betrachtet wird nun wieder die Funktion 
die im Vergleich zu den Funktionen und die Leistungsabgabe im Verlauf des Tages deutlich präziser beschreibt.
3.1
Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion in einem Intervall mit der -Achse einschließt, kann nicht algebraisch mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.
Um die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energiemenge näherungsweise zu ermitteln, soll daher der Inhalt der zugehörigen Fläche mit Hilfe einer Rechtecksumme approximiert werden.
Skizziere in der Abbildung 1 die zur Untersumme zugehörige Fläche, die man bei Unterteilung des Intervalls ![\([10 ; 16]\)](https://mathjax.schullv.de/e401cf2b79cd99f1c677e252c0558ff7e51477cfa48e1840f3a3079f68218d63?color=5a5a5a)
in drei Abschnitte gleicher Breite erhält.
Berechne den Wert dieser Untersumme.
(7 BE)
3.2
Nimm ohne Verwendung einer Rechnung Stellung zu der Aussage:
„Die Rechtecksumme, durch die in Aufgabe 3.1 die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energiemenge näherungsweise ermittelt wird, ist sicher kleiner als die gemäß der Modellierung mit der Funktion bereitgestellte Energiemenge in dieser Zeitspanne.“
(2 BE)
3.3
Gib den Wert des Terms 
an.
Dieser Wert weicht deutlich von dem mit Hilfe der Untersumme in Aufgabe 3.1 bestimmten Wert ab.
Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an, wie man die in Aufgabe 3.1 vorgenommene Approximation verbessern könnte.
(4 BE)
4
Die Hauseigentümer besitzen ein Elektroauto und eine Ladestation. Diese bezieht so viel Strom wie möglich direkt von der Solaranlage auf dem eigenen Hausdach.
Zum Laden des Elektroautos wird eine konstante Ladeleistung von 
benötigt. Fällt die Leistungsabgabe der Solaranlage unter diesen Wert, so wird der zusätzlich benötigte Strom zum Preis von 
pro 
aus dem öffentlichen Stromnetz hinzugefügt.
Vereinfachend kann davon ausgegangen werden, dass über den Ladevorgang hinaus im betrachteten Zeitraum kein Strom benötigt wird.
Die Hauseigentümer schließen ihr Elektroauto um 14 Uhr an die Ladestation an und wollen 
aufladen. Demnach bleibt das Elektroauto für drei Stunden angeschlossen.
Zur Modellierung der Leistungsabgabe der Solaranlage wird im Folgenden die Funktion verwendet.
Erläutere den Ansatz in Zeile 
sowie die Berechnung in Zeile 
im Sachzusammenhang.
Deute die Rechnung und das Ergebnis in Zeile 
im Sachzusammenhang.
(6 BE)
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1
Der Graph der Funktion zeigt den Verlauf der Leistungsabgabe über einen Zeitraum von 24 Stunden, was einem kompletten Tag entspricht. Die Zeit auf der 
-Achse reicht von 0 bis 24 Stunden, wobei 0 Uhr Mitternacht und 24 Uhr Mitternacht des nächsten Tages entspricht.
Der Graph erreicht seinen höchsten Punkt bei ungefähr 
da die Solaranlage um etwa 13 Uhr, wenn die Sonne am höchsten am Himmel steht, die maximale Leistung erzeugt.
Die Leistungsabgabe am Anfang und Ende des Tages ist niedrig, weil die Sonne niedriger am Himmel steht oder aufgeht bzw. untergeht.
Der Graph ist annähernd symmetrisch um 
Das bedeutet, dass die Leistungsabgabe morgens und abends ähnlich ist, da die Sonnenintensität zu diesen Zeiten vergleichbar ist.
2.1.1
Die notwendige Bedingung für Wendestellen ist gegeben durch 
Da der Graph von genau zwei Wendepunkte besitzt, gibt es für die Gleichung 
folglich zwei Lösungen. Die Funktion von muss somit mindestens zweiten Grades sein.
Beim Ableiten einer Funktion geht jeweils ein Grad verloren. Hat die Funktion 
mindestens den Grad zwei, so muss die Funktion folglich mindestens vierten Grades sein.
2.1.2
Da der Funktionsterm von 
ganzrational ist und ausschließlich Potenzen von 
mit geradzahligen Exponenten enthält, ist der Graph von achsensymmetrisch bezüglich der Geraden, die durch Verschiebung der 
-Achse um 
in -Richtung erhalten wird. Somit ist der Graph von symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung 
2.2
Funktion bestimmen
Da der Graph durch den Punkt verlaufen soll, gilt:
Zudem soll der Graph den Wendepunkt besitzen. Mit der notwendigen Bedingung für Wendestellen ergeben sich damit also die beiden folgenden Bedingungen:
Insgesamt soll also folgendes Gleichungssystem erfüllt werden:
Mit dem CAS ergeben sich:
Die gesuchte Funktion von ist somit gegeben durch 
Graphen zeichnen
Entscheidung
Die Abbildung 2 zeigt, dass sich der Graph von deutlich stärker dem Graphen von annähert als der Graph von 
Somit ist die Funktion die bessere Alternative zur Modellierung der Funktion 
2.3
3.1
Untersumme skizzieren
Wert berechnen
Wegen 
folgt, dass auch die Flächen des ersten und des dritten Abschnitts gleich groß sind.
Für diese gilt:
![\(A_{1/3}= 2\cdot 6,5= 13 \left[\,\text{kWh}\right]\)](https://mathjax.schullv.de/76489d793eb57ffd99a0baac197d8c89630fc9f8406127200380922c4657b90b?color=5a5a5a)
Die Fläche des zweiten Abschnitts ergibt sich analog mit:
![\(A_2=2\cdot 15,2=30,4 \left[\,\text{kWh}\right] \)](https://mathjax.schullv.de/5d01a471da6d59d08a13dce795f81cdbc18162083ce778e142c7e49596504846?color=5a5a5a)
Der Wert der Untersumme ist somit gegeben durch:
![\(\begin{array}[t]{rll}
U&=& A_1+A_2+A_3 & \\[5pt]
&=& 13+30,4+13 & \\[5pt]
&=& 56,4 \left[\,\text{kWh}\right]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2123354396b21cf9251e4ff8fbeb71021226291373fa6a9d0f801230f7cc2abc?color=5a5a5a)
3.2
Die Rechtecksumme, die die von 10 Uhr bis 16 Uhr bereitgestellte Energie näherungsweise ermittelt, ist eine Untersumme und approximiert die Fläche unter der tatsächlichen Energiekurve durch Rechtecke.
Die Rechtecke der Untersumme haben den kleinsten Funktionswert 
im jeweiligen Teilintervall als Höhe. Daher ist der Flächeninhalt aller Rechtecke der Untersumme insgesamt sicher kleiner als die Fläche
Die Aussage ist somit korrekt.
3.3
Wert angeben
Mit dem CAS ergibt sich:
Verbesserungsmöglichkeiten angeben
Umso kleiner die Abschnitte sind, desto besser nähert sich die Approximation der tatsächlichen Kurve an. Eine Möglichkeit zur Verbesserung wäre somit die Unterteilung des Intervalls in kürzere und dementsprechend mehr Abschnitte.
Eine weitere Verbesserungsmöglichkeit wäre die Wahl des Durchschittsfunktionswertes anstatt des kleinsten Funktionswertes der jeweiligen Abschnitte als Höhe.
4
Zeile (1)
Im ersten Schritt werden die Zeitpunkte berechnet, zu denen die Leistungsabgabe der Solaranlage 
beträgt.
Aufgrund des Verlauf des Graphen von lässt sich also schließen, dass zwischen 11 Uhr und 15 Uhr eine konstante Ladeleistung von mindestens gegeben ist.
In diesem Zeitraum ist somit genügend Solarstrom für die Ladestation verfügbar.
Zeile (2)
Im zweiten Schritt wird der verfügbare Solarstrom während den drei Stunden, in welchen das Elektroauto an die Ladestation angeschlossen ist, berechnet.
Aus dem Ansatz aus Zeile folgt, dass die Leistungsabgabe der Solaranlage in der ersten Stunde zwischen 14 Uhr und 15 Uhr ausreichend ist. Für eine Stunde werden somit die benötigten bereitgestellt.
Das Integral repräsentiert die Energiemenge, die in den folgenden zwei Stunden von der Solaranlage erzeugt wird.
Zeile (3)
In dieser Zeile wird der Gesamtstrombedarf für das Laden des Elektroautos berechnet. Es sollen insgesamt 
geladen werden.
Die bereits durch die Solaranlage und die konstante Ladeleistung gedeckte Energiemenge von 
wird von den abgezogen, um den noch benötigten Strom zu erhalten.
Da dieser zusätzliche Strom aus dem öffentlichen Netz bezogen wird und 
pro 
kostet, ergeben sich für die Gesamtkosten des zusätzlichen Stroms somit 