C1 - Stochastik

Zur Fußballweltmeisterschaft 2014 bietet ein Schokoladenhersteller zusätzlich zu jeder Tafel Schokolade ein (von außen nicht erkennbares) Sammelbild an. Die Bilder zeigen Spieler aller beteiligten Nationen. Besonders beliebt sind die Sammelbilder mit den deutschen Nationalspielern.

Nach Angaben des Herstellers enthält jede fünfte Tafel ein Bild eines Spielers der deutschen Nationalmannschaft. Die Bilder werden völlig zufällig in die Verpackungen gelegt.

Peter kauft im Supermarkt 20 Tafeln Schokolade. Es sollen folgende Ereignisse betrachtet werden:

$A:$	Er findet genau vier Bilder deutscher Nationalspieler.
$B:$	Es sind mindestens sechs Bilder deutscher Nationalspieler dabei.
$C:$	Peter findet in der letzten geöffneten Verpackung zum ersten Mal das Bild eines deutschen Nationalspielers.

Begründe, dass man die Zufallsexperimente $A$ und $B$ als Bernoulli-Kette auffassen kann, und gib deren Parameter an.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der oben genannten Ereignisse.

(8 BE)

Inga möchte unbedingt ein Bild irgendeines deutschen Nationalspielers bekommen.

Berechne die Anzahl der Schokoladentafeln, die sie mindestens kaufen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\;\%$ mindestens ein solches Bild zu erhalten.

(5 BE)

Die Filialleiterin eines Supermarktes führt eine Werbeaktion durch. Sie verspricht jedem Kunden, der einen Karton mit 20 Schokoladentafeln kauft und dabei nicht mindestens zwei Bilder eines deutschen Nationalspielers bekommt, die Auszahlung von 10 Euro. An einem Karton mit 20 Tafeln Schokolade macht sie außerhalb der Werbeaktion einen Gewinn von 5 Euro.

Berechne den zu erwartenden Gewinn pro verkauftem Karton während der Werbeaktion.

(6 BE)

Die Filialleiterin hat nach einiger Zeit den Verdacht, dass der Anteil der Bilder deutscher Nationalspieler unter $20\;\%$ liegt. Sie untersucht 100 Schokoladentafeln und wird dem Hersteller weiterhin vertrauen, wenn sie mehr als 15 Bilder deutscher Nationalspieler findet.

4.1

Bestimme unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit, mit der die Filialleiterin den Hersteller zu Unrecht verdächtigen wird.

(6 BE)

4.2

Erkläre, unter welcher Voraussetzung man die Wahrscheinlichkeit berechnen könnte, mit der die Filialleiterin dem Hersteller fälschlicherweise glaubt, und leite eine Formel zur Berechnung her.

(5 BE)

Begründung

Die Zufallsexperimente $A$ und $B$ können als Bernoulli-Ketten betrachtet werden, da sie aus einer Serie unabhängiger Ereignisse mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{5}$ bestehen. Dabei werden nur die Möglichkeiten „Treffer“, also das Finden eines Bildes von einem deutschen Nationalspieler, und „Niete“, das Erhalten eines anderen Sammelbildes, betrachtet.

Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler und kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=\dfrac{1}{5}$ angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=4) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,218 &\\[5pt] &=& 21,8 \,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X \geq 6)& \\[5pt] &=& 1- P(X \leq 5)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& 1- 0,804& \\[5pt] &\approx & 0,196& \\[5pt] &=& 19,6 \,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& \left( \dfrac{4}{5}\right)^{19}\cdot \dfrac{1}{5} &\\[5pt] &\approx & 0,0029 & \\[5pt] &=& 0,29 \,\% \end{array}$

Um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens ein Bild eines deutschen Nationalspielers zu erhalten, muss gelten:

$n\geq 20,64$

Rechenweg anzeigen

Inga muss somit mindestens 21 Schokoladentafeln kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens als $99\,\%$ das Bild eines deutschen Nationalspielers zu erhalten.

Da die Filialleiterin mit jedem verkauften Karton $5\,€$ Gewinn macht und nur $10\,€$ auszahlen muss, wenn nicht mindestens 2 Bilder eines deutschen Nationalspielers enthalten sind, folgt der Erwartungswert des Gewinns mit:

$E=5\,€\cdot 100\,\% -10\,€ \cdot P(X\lt 2)$

Mit dem WTR ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\lt2)&=& P(X\leq 1) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,069 & \\[5pt] &=& 6,9 \,\% \end{array}$

Einsetzen in die Formel für den Erwartzngswert liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 5\,€\cdot 1-10\,€\cdot 0,069 &\\[5pt] &=& 4,31 \,€&\\[5pt] \end{array}$

Der zu erwartende Gewinn pro verkauftem Karton während der Werbeaktion beträgt somit etwa $4,31\,€.$

4.1

Der Hersteller der Schokoladentafeln wird zu Unrecht verdächtigt, wenn der Anteil der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler tatsächlich 20% entspricht, die Filialleiterin aber unter den 100 untersuchten Schokoladentafeln höchstens 15 findet.

Es gilt also:

$H_0: p \geq 0,2$ und $H_1: p\lt 0,2$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, also die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt weiterhin die Anzahl der Bilder eines deutschen Nationalspielrs und kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,2$ angenommen werden.

Mit dem CAS ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Fehler 1. Art zu:

$P(X\leq 15) \approx 0,129=12,9\,\%$

Die Filialleiterin verdächtigt den Hersteller der Schokoladentafeln somit mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,9\,\%$ zu Unrecht.

4.2

Voraussetzung erklären

Die Filialleiterin glaubt fälschlicher Weise dem Hersteller, wenn sie in ihrem Hypothesentest mehr als 15 Bilder deutscher Nationalspieler findet und somit entscheidet, dass der Anteil der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler bei mindestens 20% liegt, obwohl dieser eigenlich niedriger ist.

Die in Aufgabe 4.1 aufgestellte Nullhypothese mit $H_0:\; p \geq 0,2$ würde also fälschlicher Weise angenommen werden, was einem Fehler 2. Art entspricht.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art zu berechnen, muss man den tatsächlichen Anteil der gesuchten Schokoladentafeln kennen.

Für die Alternativhypothese $H_1:\; p_1 \lt 0,2$ muss also $p_1$ bekannt sein.

Formel herleiten

Ist der tatsächliche Anteil $p_1$ der Schokoladentafeln mit den Bildern deutscher Nationalspieler bekannt, so beschreibt das fälschlicherweise Verwerfen der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, dass die Filialleiterin trotz dem geringeren Anteil mehr als 15 Schokoladentafeln mit Bildern von deutschen Nationalspielern findet.

Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt die Anzahl der Bilder deutscher Nationalspieler und kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p_1$ angenommen werden.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kann dann mit folgender Formel berechnet werden:

Formel anzeigen

Mit dem Taschenrechner könnte die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z_1 \geq 16)&=& 1 - P(X \leq 15) & \\[5pt] &=& 1 - \text{Binomcdf}(100;p_1;15) \end{array}$